(完整word版)二面角平面角求法

1、怎樣解關(guān)于二面角問題二面角是立體幾何中最重要的章節(jié)。二面角中的內(nèi)容綜合了線面垂直，三垂線定理及其逆定理和異面直線所成角等較多的知識(shí)點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。在總結(jié)時(shí)，若能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)解二面角的問題進(jìn)行探究和總結(jié)，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法是有幫助的，對(duì)提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的也有很重要的作用。為此我對(duì)這方面進(jìn)行總結(jié)，以供教學(xué)和學(xué)習(xí)參考。（一）對(duì)本內(nèi)容進(jìn)行思考時(shí)，必須弄清兩個(gè)概念：（ 1）什么是二面角， 如何表示？而二面角的大小是可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是幾度，就說(shuō)這個(gè)二面角是幾度 .（ 2）什么是二面角的平面角，如何表示？這一概念特別重要，要能夠很快地反應(yīng)出二面角的平面角是以二面角

2、的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角。，二面角的平面角的定義三個(gè)主要特征是：過(guò)棱上任意一點(diǎn)；分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線；射線垂直于棱。明白這一點(diǎn)對(duì)于能夠作出或找出二面角的平面是很關(guān)鍵。在腦子里要能想象出二面角平面角的圖形。如圖， 0 a， OA， OB ,OA a， OB a。（二）尋找有棱二面角的平面角的方法和求解。尋找和求作二面角的平面角是解二面角問題的關(guān)鍵，這也是個(gè)難點(diǎn)。在從圖形中作出二面角的平面角時(shí)，要結(jié)合已知條件來(lái)對(duì)圖形中的線線、線面和面面的位置關(guān)系先進(jìn)行分析，確定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面圖形，然后運(yùn)用這些的有關(guān)性質(zhì)和二面角的平面角的定義

3、進(jìn)行找出二面角的平面角。所以解關(guān)于二面角問題需要有很好的對(duì)線線、線面和面面的位置關(guān)系的分析判斷能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三種：定義法、三垂線法、垂面法。至于在求解有關(guān)平面角的問題時(shí)，這平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知識(shí)，這包括正弦和余弦定理的知識(shí)，也會(huì)用到其它的平面幾何知識(shí)。（ 1）定義法 ：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個(gè)“主要特征”來(lái)找出平面角，當(dāng)然這種找出的角要有利于解決問題。下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例 1

4、：如圖，立體圖形 V ABC的四個(gè)面是全等的正三角形，畫出二面角VAB C 的平面角并求出它的度數(shù)。AB，兩個(gè)面是面VAB和面 CAB。由已V分析 ：由圖可知，所求的二面角的棱是知可知這是一個(gè)正四面體，各個(gè)面是全等的正三角形，根據(jù)二面角的平面角CAB邊上的中點(diǎn) D，連A的定義，我們可利用正三角形的性質(zhì)來(lái)找出平面角，取D結(jié) VD和 CD。則 VDC是所求二面角的平面角?？稍O(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，用B解三解形的知識(shí)求出 VD CD 3 a ，在 VDC中，利用余弦定理可求得cosP2 VDC=1/3， VDC arccos1/3評(píng)注： 在本題中主要是利用已知條件中的特殊條件和二面角平面角的定義來(lái)找出

5、所要求的平面角。在求解時(shí)利用的是平面幾何解三角形的知識(shí)。這也就是把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題的數(shù)學(xué)思想。. 例 2：在三棱錐 P-ABC中，0APB= BPC= CPA=60，求二面角 A-PB-C 的余弦值。分析：所求二面角的棱是PB，兩個(gè)面為面PBA和面 PBC。用二面角的平面角的定義找出平面角，在二面角的棱PB上任取一點(diǎn) Q，在半平面 PBA和半平面 PBC上作 QM PB，QN PB，則由定義可得MQN即為二面角的平面角。設(shè)PM=a,則第 1頁(yè)（共 4頁(yè)）QMNBACD11CA 1B 1DCAB在 Rt PQM和 Rt PQN中可求得 QM=QN= 3 a；又由 PQNPQM得

6、 PN=a,故在正三角形 PMN中 MN=a,2在三角形 MQN中由余弦定理得cosMQN=1/3，即二面角的余弦值為1/3 。這樣的類型是不少的，如下列幾道就是利用定義法找出來(lái)的：1、如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1 中，找出二面角 B AC B1 的平面角并求出它的度數(shù)。0600的二面2、邊長(zhǎng)為 a 的菱形 ABCD ， ACB=60，現(xiàn)沿對(duì)角線 BD將其折成才B1A 1角，則 A、 C 之間的距離為。（菱形兩條對(duì)角線互相垂直，對(duì)折后的一條對(duì)C1角線成兩條線段仍都垂直于另一條對(duì)角線，則所成的角是二面角的平面角）D3、正三棱柱 ABC A B C 的底面邊長(zhǎng)是4，過(guò) BC的一個(gè)平面與

7、AA 交于 D，若 AD=3，1111求二面角 D BC A 的正切值。BA總之， 能用定義法來(lái)找二面角的平面角的，一般是圖形的性質(zhì)較好，能夠較C快地找到滿足二面角的平面角的三個(gè)主要特征。并且能夠很快地利用圖形的一些條件來(lái)求出所要求的。在常見的幾何體有正四面體，正三棱柱，正方體，以及一些平面圖形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，這些有較好的一些性質(zhì)，可以通過(guò)它們的性質(zhì)來(lái)找到二面角的平面角。至于求角，通常是把這角放在一個(gè)三角形中去求解。由圖形及題目的已知條件來(lái)求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)或者角，再用解三角形的知識(shí)去求解。（2）三垂線法： 是利用三垂線的定理及其逆定理來(lái)證明線線垂直，來(lái)找到二面角的平

8、面角的方法。這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的。例 3：如圖，在三棱錐0中， PA平面 ABC，PA=AB，AC=BC=1， ACB=90，M是 PB的中點(diǎn)。 (1)P-ABC求證： BC PC，(2) 平面 MAC與平面 ABC所成的二面角的正切。P分析 ：第 1 小題較簡(jiǎn)單。第2 小題，觀察圖形中的線面位置關(guān)系，已知PA平面 ABC，M是 PB 的中點(diǎn)，若在 PAB中取 AB的中點(diǎn) N，則很快發(fā)現(xiàn) MN平面，ABCM作 KN AC，連 MK，則由三垂線定理可得MKAC，所以 MKN為所求的二面角的C平面角。而求其正切值，在Rt MNK中求出 MN和 KN，而求 M

9、N和 KN，只需在KBPAB和 ABC中就可求出，從而求出其正切值為2 。AN評(píng)注： 本題用定義法較難以實(shí)現(xiàn)，但由圖可找到二面角一個(gè)面的垂線。從而作S棱的垂線，由三垂線定理證明是所要找的平面角。關(guān)鍵找到MN這條垂線。N例 4：如圖，已知 ABC中， AB BC，S 為平面 ABC外的一點(diǎn)， SA平面 ABC，AM SB于 M，ANSC 于 N,(1) 求證平面 SAB平面 SBC (2) 求證 ANM是二面角MA SC B 的平面角 .AC分析 ：由圖和題意可得BC平面 SAB，從而可得證平面SAB平面 SBC，而要證二面角 A SCB 的平面角是 ANM，從已知條件 AM SB 于 M,由兩

10、個(gè)平面垂直的B性質(zhì)可得 AM平面 SBC，又有 ANSC，所以由三垂線逆定理可得MNSC，從而證明了 ANM是二面角 A SC BC的平面角 .評(píng)注： 本題提供了運(yùn)用如何從一系列的垂直關(guān)系中來(lái)逐步找到二面角的一個(gè)面的垂線，再由三垂線的定理證明所要找的平面角。本題要特別注意的是這條垂線不是在水平上的，所以觀察分析圖時(shí)要注意多運(yùn)用有關(guān)定理去判斷。本題可變形為：如圖，已知ABC中， AB BC，S 為平面 ABC外的一點(diǎn)， SA平面 ABC， ACB 600，SA AC a， (1) 求證平面 SAB平面 SBC (2)求二面角 A SC BC的正弦值 .解第 2 小題的第一步是按例4 做出二面角的

11、平面角，然后利用各個(gè)直角三角形求出AN和 AM的長(zhǎng)?？傊谶\(yùn)用三垂線找平面角時(shí)，找垂線注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，第 2頁(yè)（共 4頁(yè)）按三垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個(gè)面，還有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點(diǎn)在二面角的面內(nèi)。（ 3）垂面法： 作一與棱垂直的平面，該垂面與兩二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角。這關(guān)鍵在找與二面角的棱垂直且與兩二面角兩半平面都有交線的平面。例 5：如圖在三棱錐 S ABC中， SA底面 ABC， ABBC， DE 垂直平分 SCS且分別交 AC、SC于 D、E，又 SA AB，SB BC，求二面角 E BDC 的

12、度數(shù)。分析 ：由題意和圖，可得SC平面 BDE，則 SC DB，又 SA平面 ABC，則E.SA DB，從而得 BD平面 SAC。所以 BD DC， BD DE，則 DEC是二面角D的平面角。要求它的度數(shù)，可在Rt SAC和 DEC中求，先求出 SCA的度CA數(shù)。設(shè) SA a，在圖的直角三角形中求出SB BC2a，AC 3a，故得B到 SCA 300，從而得到 DEB 600。評(píng)注： 本題的垂直關(guān)系很多，如何利用好這些關(guān)系？這需解題的目標(biāo)要明確才能運(yùn)用好這些關(guān)系。從這些垂直關(guān)系很容易就判定BD平面 SAC，而 BD是二面角的的棱， 所以平面 SAC是二面角的垂面，由二面角的平面角的定義就找到了

13、EDC是所求二面角的平面角。它的應(yīng)用例如：如圖， AC, BD，與 所成的角為600， ACl 于 C， BDl 于 B， AC 3，BD 4，CD 2，求 A、 B兩點(diǎn)間的距離。AA由題意要應(yīng)用二面角的度數(shù)，要找出它的平面角，可過(guò)C 作CE DB，且 CE DB，連 AE，則很容易得到l面 ACE， ACECCllDD是二面角的平面角，為了求AB，連 BE，在 ACE中由余弦定B BE理求出 AE，在 Rt AEB中可求出 AB的長(zhǎng)?？傊獣?huì)運(yùn)用此法，對(duì)線線、線面、面面的垂直關(guān)系要有很好的判斷能力，才能找到解的思路。（三）尋找無(wú)棱二面角的平面角的方法和求解。無(wú)棱的二面角一般是只已知一個(gè)共點(diǎn)，

14、但兩個(gè)面的交線不知道。若要找出二面角的平面角，則需要根據(jù)公理 2或公理4 來(lái)找出二面角的棱，化為有棱二面角問題，再按有棱二面角的解法解題。這種主要有兩類：一類是分別在兩個(gè)面內(nèi)有兩條直線不是異面又不是平行的二面角（兩條在同一平面內(nèi)且不平行） 。那么延長(zhǎng)這兩條線有一交點(diǎn)，根據(jù)公理2，這點(diǎn)在二面角的棱上，連公共點(diǎn)和這點(diǎn)就是二面角的棱；另一類是分別在兩個(gè)面內(nèi)有兩條直線是平行的二面角。這由直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理知這直線和面平行，所以直線平行于二面角的兩個(gè)面的交線。由公理4，可知這兩條直線平行于二面角的棱。所以過(guò)公共點(diǎn)作一條直線平行于這兩直線，那么所作的直線是二面角的棱。例5：如圖， ABC 在平

15、面上的射影為正AB1C1，若 BB1= 1 ，C2CC=AB=1，求平面 ABC與平面 AB C 所成銳角二面角的大小。1111B分析： 所求的二面角只各一個(gè)公共點(diǎn)A，觀察圖可知二面角的兩AC1個(gè)面內(nèi) BC和 B C 共面但不平行，所以若延長(zhǎng)它們必交于一點(diǎn)D，B 111由公理 2 知，點(diǎn) D在二面角的棱上。所以連AD就找到棱。接著是找出二面角的平面角。由圖形的性質(zhì)知，1111110C D=2BC =2， A C 1， ACB 60 ，用正弦定理或余弦定理都可求出101為二面角的平面C AD 90 ，再由三垂線定理得CACC0角，然后在 Rt CAC中可求得 CAC 45 。11評(píng)注： 本題是屬

16、于第一類的問題。延長(zhǎng)兩條直線交于一點(diǎn)從而得到棱，AB再用三垂線法找二面角的平面角。此題可變?yōu)椋篊1第 3頁(yè)（共 4頁(yè)）B 1D如圖 , 在底面是直角梯形的立體圖 S ABCD中， ABC 900， SA底面 ABCD， SA ABBC 1，AD 0.5 ，求面 SCD與面 SBA所成二面角的平面角的正切值。由圖可知二面角有一個(gè)公共點(diǎn)S，但在兩面中的AB和 CD共面且不平行，所以延長(zhǎng)交于點(diǎn)E。再由題意證明BC平面 SAB，SB SE，由三垂線定理S可知 BSC是所求的二面角。在Rt SBC中可求得正切值為2 。2例 6：如圖，在所給的空間圖形中 ABCD是正方形， PD面 ABCD， PD AD

17、。求平面 PAD和 PBC所成的二面角的大小。分析：由圖知二面角有一個(gè)公共點(diǎn)P，在兩面內(nèi)的 AD和 BC是共面且平行，所以 AD平面 PBC，由直線和平面平行的性質(zhì)知，過(guò)AD的平面 PAD與平面平面 PBC的交線（即為二面角的棱）與AD平行，所以過(guò)P 作 PE AD，則 PE 為二面角的棱。由題意 PD面 ABCD，所以 PD AD， PDPE，又可證得 CD平面 PAD，由三垂線定理可得 CPD為所求二面角的平面角。 在Rt CPD中可求得 CPD 450。BAEPDCEDCAB評(píng)注： 本題是屬于第二類的問題。二面角有一個(gè)共點(diǎn)，在分別兩面內(nèi)的兩條直線平行，則平行于棱。找出二面角的棱后，再用三

18、垂線法找二面角的平面角。1 1 1a，側(cè)棱與底面成600角，側(cè)A 1例 7：如圖，斜三棱柱 ABCA B C 的棱長(zhǎng)都是面 BCC1B1面 ABC，求平面 AB1C1 與底面 ABC所成的二面角的大小。C1分析：此題 A 是二面角的一個(gè)公共點(diǎn)。又在兩面的 BC和 B1C1 平行，故過(guò)點(diǎn) A作 AE BC，則 AE為二面角的棱。如何找平面角是本題的難點(diǎn)。因?yàn)楦骼忾L(zhǎng)E都相等，所以側(cè)面是菱形，底面是正三角形。又側(cè)面ABCCB 面 ABC，過(guò) C111作 C1D BC，由兩平面垂直的性質(zhì)得C1D面 ABC，側(cè)棱與底面成600 角，所CDB以 C1CD 600，由此可得 D 為 BC的中點(diǎn)。連 AD得 AD BC，從而 AD AE，由三垂線定理得C1AD為110。二面角的平面角，在 Rt C AD中可求得 C AD 45評(píng)注： 本題除了要找棱外，用三垂線法找平面角時(shí)，關(guān)鍵在能分析已知條件的作用，來(lái)找垂線，和利用直線和平面所成的角來(lái)推算出點(diǎn)D 為 BC的中點(diǎn)