四川省德陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)及答案

1、四川省德陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分)1.( 5 分)已知集合 A=x|3x2-4x+1W0 , B= :廠：，：-，則 AHB=()A& I】B& I】C 寺剖 D.芥和2.5分)若復(fù)數(shù) z 滿足 z (1 - i) =| 1- i|+i (其中 i 為虛數(shù)單位)，則 z 的虛部 為A.3.(5 分)已知函數(shù) f (x) =si n (3X-) (30)滿足：？X1,R,當(dāng) |f (x1)TT-f (X2)1=2 時，|X1- x2|min二一，那么 f (X)的最小正周期是()A.丄 B.C.nD.2n424. (5 分)已知函

2、數(shù) f (x)在 R 上存在導(dǎo)數(shù) f( x)，下列關(guān)于 f (x), f( x)的描述正確的是()A.若 f (x)為奇函數(shù)，貝Uf (x)必為奇函數(shù)B若 f (x)為周期函數(shù)，貝Uf (x)必為周期函數(shù)C若 f (x)不為周期函數(shù)，則 f (x)必不為周期函數(shù)D.若 f (x)為偶函數(shù)，貝Uf (x)必為偶函數(shù)5. (5 分)如圖的平面圖形由 16 個全部是邊長為 1 且有一個內(nèi)角為 60的菱形組成，那么圖形中的向量滿足-?=()2A. 1 B. 2 C. 4 D. 66.(5 分)榫卯是在兩個木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式，凸出部分 叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，榫和卯咬合，起到連接作用，代

3、表建筑有：北京的紫禁城、 天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖所示是一種榫卯的三視圖，其表面積為()A. 192 B. 186 C. 180 D. 1987.（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若 m=4,則輸出的結(jié)果為（）f (x)滿足： f (x+y) =f (x) f (y)且 f (1)卜_ 小 |=(ft2017)=(A. 1009 B. 2018C. 3027 D. 40369.（5 分）在如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC 的邊長為 1,函數(shù) y=a （x- 1）2+b 圖象位于正方形內(nèi)的部分，直線 AC 恰好是函數(shù) y=a （x- 1）2+b 在 x=0 處的切線，現(xiàn)從正方形內(nèi)

4、任取一點 P,那么點 P 取自陰影部分的概率等于（）f2(l)+f0間的最短距離是二，那么這兩條平行直線的斜率是 _ .516.(5 分)若函數(shù) f (x)- sin (x+)是偶函數(shù)，f (x)- cos (x+)是奇函數(shù)，已知？xi(0,n,使得函數(shù) f(x)在點 P(xi, f (xi), Q (X1, f (X1)處的切線斜率互為倒數(shù)，那么點 P 的坐標(biāo)為_.三、解答題(本大題共 5 小題，共 70 分)17.(12 分)已知an是等差數(shù)列，且 a1=3,羽=12,數(shù)列bn滿足 3=4, b4=20, 且bn- an為等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列an和bn的通項公式；(2) 若數(shù)列 的前

5、n 項和 Sn,證明：丄wsv丄.只廿18418.(12 分)已知 ABC 中，/ B=60,點 D 在 BC 邊上，且 AC= .(1) 若 CD= :, AD=2,求 AB;(2) 求厶 ABC 的周長的取值范圍.19.(12 分)某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間 進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實驗室 每天每100 棵種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日溫差 x/攝氏101113128度發(fā)芽 y/顆2325302616該農(nóng)科所確定的研究

6、方案是：先從這 5 組數(shù)據(jù)中選取 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程， 再用剩下的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.(1) 若選取的 3 組數(shù)據(jù)恰好是連續(xù)E天的數(shù)據(jù)(E=表示數(shù)據(jù)來自互不相鄰的三 天)，求E的分布列及期望；(2)根據(jù) 12 月 2 日至 4 日數(shù)據(jù)，求出發(fā)芽數(shù) y 關(guān)于溫差 x 的線性回歸方程，.-=x+由所求得線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不 超過2 顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問所得的線性回歸方程是否可靠？n _K Cxi-i)-y)-1二1 -附：參考公式：b - -， a=y - bx.E 3廠1=120.(12 分)已知函數(shù) f (x) =-vx+x2- b

7、x (b R).(1) 若？x0，使得 f (x) bx2+x 成立，求實數(shù) b 的最小值；(2) 若 f (x)的三個零點 0，X1, x2滿足 1vX1VX2，|1，|2分別是 y=f (x) 在 X1, x2處的切線，設(shè) P (xo, yo)是 11，12的交點，求 yo的取值集合.21.(12 分)已知 f (x) =ex- 1+ln (土+1).a(1) 若函數(shù) f (x)在(-1, 0) 上單調(diào)遞增，求實數(shù) a 的取值范圍；(2) 若 a(0，1且 x0,證明：f (x)2x.請考生在 22、23 題中任選一題作答.22.(10 分)已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程是p=4cos.B以極

8、點為原點，極軸為 x 的.42工二時1(1)將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，將直線 l 的參數(shù)方程化成普通方程；(t 為參數(shù)).正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程是:異于原點 O 的交點為 B,求三角形 AOB 的面積.(2)當(dāng) m=0 時，直線 l 與曲線 C 異于原點 O 的交點為 A,直線p=7T與曲線 C23. 已知函數(shù) f (x) =m-|x-2| , m R,且 f (x+2) 0 的解集為-1, 1.(1) 求 m 的值；(2) 若 a, b, c(0, +x),且丄L_=m,證明：a+2b+3c9.2018 年四川省德陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)參考答案與

9、試題解析一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分)1. (5 分)已知集合 A=x| 3x2- 4x+1 0 , Br：:,:，則 AnB=()【解答】解：集合 A= x| 3x2- 4x+1 0)滿足：？X1,血 R,當(dāng) |f (X1)TT-f (X2)| =2 時，|X1- x2|min=一，那么 f (X)的最小正周期是()A.BC-nD.2n【解答】解：根據(jù)正弦型函數(shù) f (x) =sin ( 一)的圖象與性質(zhì)知，JF對？X1，X2R,當(dāng) | f (X1)- f(X2)| =2 時，|X1-X2|B=i-=x| AnB=x|,1.A.B.C.iD. Jz f (x

10、)的最小正周期是 T=2X=n2故選：C.4. (5 分)已知函數(shù) f (x)在 R 上存在導(dǎo)數(shù) f( x),下列關(guān)于 f (x), f( x)的描 述正確的是()A. 若 f (x)為奇函數(shù)，貝 U f (x)必為奇函數(shù)B. 若 f (x)為周期函數(shù)，貝 U f (x)必為周期函數(shù)C若 f (x)不為周期函數(shù)，則 f (x)必不為周期函數(shù)D.若 f (x)為偶函數(shù)，貝 U f (x)必為偶函數(shù)【解答】解：對于 A:例如：f (x) =x3為奇函數(shù)，貝 U f(x) =3x2，為偶函數(shù)，故 A錯誤，對于 B: f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，貝 U f (x+T) =f (x)，兩邊對 x 求導(dǎo)得(x+

11、T) ( (x+T)=f (x)，f(x+T) =f (x)，周期為 T.故若 f (x)為周期函數(shù)，則 f(x)必為周期函數(shù).故 B 正確，對于 C:例如：f (x) =sinx+x 不是周期函數(shù)，當(dāng) f(x) =cosxH 為周期函數(shù)，故 C 錯誤，對于 D:例如：f (x) =為偶函數(shù)，貝 U f(x) =2x 為奇函數(shù)，故 D 錯誤， 故選：B.5.(5 分)如圖的平面圖形由 16 個全部是邊長為 1 且有一個內(nèi)角為 60的菱形組成，那么圖形中的向量 I.滿足.?=()A. 1 B. 2 C. 4 D. 6【解答】解：如圖，由題意可知， |包|二|麗|二 1,且辦與屁的夾角為 60 O

12、A二 10A 卜 | 0B |rco60Q=1X1 x今.則 1、I， “，- I ; I |i. I . -, :;| | -故選：D.6.（5 分）榫卯是在兩個木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式，凸出部分 叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，榫和卯咬合，起到連接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、 天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖所示是一種榫卯的三視圖，其表面積為（）A. 192 B. 186 C. 180 D. 198【解答】解：由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為組合體，上部分為長方體, 棱長分別為 2、6、3，下部分為長方體.棱長分別為 & 6、3，其表面積公式 S=4X 6X3+2X6X6+ (2+

13、6)X2X2=192故選：A.O A-7.（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若m=4,則輸出的結(jié)果為（【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得p=4， k=0不滿足條件 k2 3k+4, p=4, k=1不滿足條件 k2 3k+4, p=8, k=2不滿足條件 k2 3k+4, p=32, k=3不滿足條件 k2 3k+4, p=256, k=4滿足條件 k23k+4， 退出循環(huán)， 可得 z=- 故選：D.8.(5 分)已知函數(shù) f (x)滿足：f (x+y) =f (x) f (y)且 f (1) =1,那么 -.+- .：+_ ：卜一+_ 小+一” =()A. 1009B. 2018 C. 30

14、27D. 4036【解答】解：由意題 f (x+y) =f (x) f (y),且 f (1) =1，可得令 x=n, y=1, 可得 f (n+1)=f (n)，可得 f (1) =f (2) =f (3) = =f (n) =1, 那么：+樣+f 十+.+代(1009)+吃 01 刃:f(l)f(3)f(2017)=f2(1) +f2(2) +-+f2(1009) +f (2) +f (4) +f (6) +-+f (2018)=1009+1009=2018,故選：B.9.(5 分)在如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC 的邊長為 1,曲線 m 是 函數(shù)y=a (x- 1)2+b 圖

15、象位于正方形內(nèi)的部分，直線 AC 恰好是函數(shù) y=a (x- 1)2+b 在x=0 處的切線，現(xiàn)從正方形內(nèi)任取一點 P,那么點 P 取自陰影部分的概率等于()2=logaF輸出尼結(jié)束【解答】解：正方形 OABC 的邊長為 1,二 S正方形OABC=1,由函數(shù) y=a (x 1)2+b,得 y =2gx 1),貝Uy |x=o= 2a= 1,得 a 十.又當(dāng) x=0 時，y=a+b=1，可得 b|2| -y =： 廠斗:J -點 P 取自陰影部分的概率等于丄.6故選：D.2 210.（5分）設(shè)點P為橢圓 C -+上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，且厶 PF1F2的重心為點 G,若| P

16、F| : | PR| =3:4,那么 GPF 的面積為（）A. 24 B. 12 C. 8 D. 6(X- 1)咚,曲線 m 的解析式為 y=!陰影部分面積 S=j 1 訃 1）| PF|+| PF =2a=14【解答】 解： 點I PF| : | PF =3: 4, I PF| =6, | PF2|=8,又TFIF2=2C=10,PFF2 是直角三角形，S AFFFr 專 HPF1 亍昭, PFiF2的重心為點 G. S3F”片=號乂F.，1.1.J. GPF 的面積為 8,【解答】解:|.?_!=（入l+MJ ?匸=入廠+ 0-，=入u 甲 b=(入3+0)?b=燉、+a b=4不妨令 0

17、W入產(chǎn)111. （5 分）用 min a, b表示實數(shù) a, b 中的較小者，已知向量,滿足|自| =1,I b| =2,D?H=0,；=懇+園（補=1）,則當(dāng) min苗，匚湯取得最大值時，|；| =( )A .一B.1D.U,解得 0W尺3，可知 y=|f (x) |大致圖象如圖所示,卩 1oi設(shè)| f (x) | =t，則 | f (x) |2- m| f (x) 即為 t2- mt 2m - 3=0 有兩個根 ti, t2, 上遞增， 在Vur當(dāng)2w，f(2取得最小值,1上遞減,若關(guān)于 x 的方程 f2(X)- m|f (x) | - 2m-3=0 有三個不同的實數(shù)解，則 m 的取值范圍

18、是(A.(-十，0)【解答】解：-| I- Ae1可得 x(-x,1)時， f(x)0, f(x)在(-x,1)遞增，在(1,C.(一D.(-二，0)x( 1, +x)時，f (x)V0,+x)遞減.| - 2m- 3=0 有三個不同的實數(shù)解,1 HM,此時= . + -k/17 V173，若 t1=1, t2=0,時，t1+t2=m=1, t1?t2= 2m - 3=0,不存在實數(shù) m,2若 ti=1, t2 1 時，當(dāng)有一個根為 1 時，12m - 2m- 3=0, m=代入 t2- mt -2m - 3=0 另一根為-丄，不符合題意.3ti(0,1),t2(-x,0)時，設(shè) h (t)

19、=t2- mt - 2m - 3h(1)=12-m-2m-30,h(0)=-2m-3v0-券 m-尋m 的取值范圍為(-_，-二).故選：C二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）13.（5 分）已知（1+x）（1+ay）5（a 為常數(shù)）的展開式中不含字母 x 的項的系 數(shù)和為 243，那么（1+x） （1+ay）5展開式中 xy2項的系數(shù)為 40 .【解答】解：（1+x） （1+ay）5展開式中不含字母 x 的項的系數(shù)和為（1+a）5=243,解得 a=2； （ 1+x） （1+2y）5展開式中 xy2項的系數(shù)為C：?22=40.故答案為：40.14.（5 分）某學(xué)校分

20、別從甲、乙兩班各抽取 7 名同學(xué)在某次物理測試中的成績 如莖葉圖所示，其中抽取的甲班成績的眾數(shù)是85,乙班成績的中位數(shù)是 83,現(xiàn)從成績 82 分以上的同學(xué)中選取 3 名組成學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流小組， 那么選取的小組中 甲班同學(xué)多于乙班同學(xué)的方法數(shù)是28 種.（用數(shù)字作答）甲-乙25 I 011 1629 j1 i 6【解答】解：甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是 85,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是 83,則加一-需I80+y=83解得 x=5, y=3,甲班 82 分以上有 4 人，乙班 82 分以上有 4 人，從這 8 位同學(xué)中選 3 名，共有 c?=56 種不同的取法,U選取的小組中甲班同學(xué)多于乙班同學(xué)的方法數(shù)與乙

21、班同學(xué)多于甲班同學(xué)的方法數(shù)相等，所求的結(jié)果是丄X56=28.2故答案為：28.15. （5 分）若平面區(qū)域* 2i-y-30間的最短距離是二，那么這兩條平行直線的斜率是k=2 或二.5-蘭【解答】解：作出平面區(qū)域如圖所示：、x-2y+30可行域是等腰三角形，平面區(qū)域加卞-30K-2y+3O夾在兩條平行直線之間的距離為:丄可得可行域的 A （1，2），B （2，1），C （3，3），IAB 吋（1 切+倍 1）鼻疤，平行線間的距離的最小值為 d= :, A 到 BC 的距離:B 到直線 AC 的距離：匚丄=丄，勺55所求直線與 AC 或 BC 重合，可得：k=2 或丄.故答案為：k=2 或-廠V

22、16. (5 分)若函數(shù) f (x)- sin (x+)是偶函數(shù)，f (x)- cos (x+)是奇函數(shù),已知？xi(0,n),使得函數(shù) f(x)在點 P(xi, f (xi), Q (xi, 處的切線斜率互為倒數(shù)，那么點 P 的坐標(biāo)為梓-，土 1).L_r【解答】解：函數(shù) f (x)- sin (x+)是偶函數(shù),可得 f (- x) - sin( x+ ) =f (x) - sin (x+ ),即有 f (- x) =f (x)- sinxcos cosxsin - sinxcos+cosxsin=fx)- 2sinxcos,f (x)- cos (x+ 是奇函數(shù)，可得 f (- x)- c

23、os (- x+ ) +f (x)- cos (x+ ) =0, f (- x) +f (x)- cosxcos sinxsin-cosxcos +sinxsin ,=0 即為 f (- x) +f (x)- 2cosxcos =0 由可得 f (x) = (sinx+cosx) cos,導(dǎo)數(shù)為 f(x) = (cosx- sinx) cos, ? xi( 0,n),使得函數(shù) f (x)在點 P (xi, f (Xi), Q (xi-, f (xi)處的切線斜率互為倒數(shù), 可得 f(xi) ?f(xi斗)=i,即為？ cosxi - sinxi) (- sinxi- cosx) cos2 =i

24、即為？ sin2xi- cos2xi) cos2 =,可得(cosxi - sinxi) cos ?(cos (xi-sin (xicos =i1) *+-即有cos2x?coW =1 可得 cos2 =1 cos2xi= - 1,xi( o,n,可得 xi-,即有 f (xi) = (1 +0) ?cos 1, 即 p (工，土 1).2故答案為：(一，土 1).三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分）17. （ 12 分）已知an是等差數(shù)列，且 a1=3,朮=12,數(shù)列bn滿足 b1=4, b4=20,且bn- an為等比數(shù)列.（1） 求數(shù)列an和bn的通項公式；（2） 若數(shù)列十的前

25、 n 項和 Sn,證明：丄wSv丄.5咕1，84【解答】解：（1） an是公差為 d 的等差數(shù)列，且 a1=3, a4=12,可得 3+3d=12,解得 d=3,則 an=3+3 （n - 1） =3n；數(shù)列bn滿足 b1=4, b4=20,且bn-an為等比數(shù)列，可得 b1- a1=1, b4- a4=8，且 q3=8，解得 q=2,則bn- an的首項為 1,公比 q 為 2,則 bn-an=2n-1,可得 bn=3n+2n-1;二1(加十2n_1) (3n+3+曠3n+ 211-11則前n項和張（*-t3nf嚴(yán)T )(3時討2n)（2） 證明:3n+3+2bn+l18. (12 分)已知

26、 ABC 中，/ B=60,點 D 在 BC 邊上，且 AC= .(1) 若 CD= :, AD=2,求 AB;(2) 求厶 ABC 的周長的取值范圍.【解答】 解：() ABC 中，/ B=60o，點 D 在 BC 邊上，且 AC= . CD=W ,在厶 ABC 中，利用正弦定理：AB _ AC sinC-ginB=4AB=_r =由于：0vAv120,-J： . I111,由于：0vAv120,則：30vA+30v150,得到：si 門(代十 30 ) * * 1,=1 1 =11v15 嘰衛(wèi)飛3n-F3+ 2n4,由 3n+3+2n遞增，可得-1-3n+34 2口4/GWeWe 0，使得

27、 f (x) bx2+x 成立，求實數(shù) b 的最小值;(2)若 f (x)的三個零點 0, X1, x 滿足 1VX1 0，使得 f (x) bx2+x 成立，丄 x3+x2bxbx2+x,? b(X+1)W二 x2+x1.3，3(2)由題意，計算X(11+13+12)=12,-1=5X12=3, y關(guān)于 xTx 3;X8 3=17， 且 |17 16|V2;2所求得線性回歸方程是可靠的.f (x) bx2+x? b0).令 t=x+1 1 . b1).-,當(dāng)且僅當(dāng) t= 時取等號./ t 1, tbW旦丄 X 祈空竺.3 35-沏x (x2- 3x+3b) =0,可得 xi, x2是方程 x

28、2- 3x+3b=0 的兩個 3實數(shù)根，且 10. 巧 + K 23x j x 2=3bf (x) = - x2+2x- b.h： 丫=(-請十2“-b) (x-xi),I2：y=-(-(sto-z 1) (1 ? *2x ,+b) ( Z9-2聯(lián)立解得 yo=(3xi 3b- 2xi+b) (3x2 3b - 2x2+b) =-(xi- 2b) (X2 2b)=-xix2- 2b (xi+x2)+4b2=-(3b- 6b+4b2)=-4b2+3b=- 4d円島 I，b0,證明：f （x）2x.【解答】解：（1）由+1 0 在（-1, 0）上恒成立.當(dāng) a0 時，x- a, - aw- 1，可得 a 1.當(dāng) a0 時，x0，可得 a 1 時，可得 f （x）在（-1, 0） 上單調(diào)遞增.5-2-/T(2)由 f (x)=- b的最,且 3b-20，解得 b +2x2- b) ( x- X2).=-(打-2耳+b)(遙-骯g+b).當(dāng) av