經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機變量及其變量分布

1、第一章 隨機變量及其變量分布§2.1離散型隨機變量（一）隨機變量引例一：擲骰子?？赡芙Y(jié)果為=1,2,3,4,5,6.我們可以引入變量X,使X=1，表示點數(shù)為1；x=2表示點數(shù)為2；，X=6，表示點數(shù)為6。引例二，擲硬幣，可能結(jié)果為=正，反.我們可以引入變量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在燈泡使用壽命的試驗中，我們引入變量X，使a<X<b，表示燈泡使用壽命在a（小時）與b（小時）之間。例如，1000X2000表示燈泡壽命在1000小時與2000小時之間。 0<X<4000表示燈泡壽命在4000小時以內(nèi)的事件。定義1：若變量X取某些值表示隨機事件

2、。就說變量X是隨機變量。習(xí)慣用英文大寫字母X,Y,Z表示隨機變量。例如，引例一、二、三中的X都是隨機變量。（二）離散型隨機變量及其分布律定義2若隨機變量X只取有限多個值或可列的無限多個（分散的）值，就說X是離散型隨機變量。例如，本節(jié)中的引例一、引例二的X是離散型隨機變量。定義3若隨機變量X可能取值為且有（k=1,2,n,）或有 其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相應(yīng)值的概率。就說公式（k=1,2,n,）或表格是離散型隨機變量x的（概率）分布律，記作分布律有下列性質(zhì)（1）；（2）由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之，若一數(shù)列具有以上兩條性質(zhì)，則它必可以作為某隨機變量的分布律。例

3、1設(shè)離散型隨機變量X的分布律為求常數(shù)c?！敬鹨删幪枺?0020101針對該題提問】解由分布律的性質(zhì)知1=0.2+c+0.5,解得c=0.3.例2擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記X為出現(xiàn)的點數(shù)，求X的分布律?！敬鹨删幪枺?0020102針對該題提問】解X的全部可能取值為1,2,3,4,5,6,且則X的分布律為在求離散型隨機變量的分布律時，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每個值相應(yīng)的概率。例3袋子中有5個同樣大小的球，編號為1，2.，3，4，5。從中同時取出3個球，記X為取出的球的最大編號，求X的分布率。【答疑編號：10020103針對該題提問】解X的取值為3,4,5，由古典概型的概率計算方法，得（

4、三個球的編號為1,2,3）（有一球編號為4，從1，2，3中任取2個的組合與數(shù)字4搭配成3個）（有一球編號為5，另兩個球的編號小于5）則X的分布律為例4已知一批零件共10個，其中有3個不合格，今任取一個使用，若取到不合格零件，則丟棄掉，再重新抽取一個，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個數(shù)X的分布率?！敬鹨删幪枺?0020104針對該題提問】解X的取值為0，1，2，3，設(shè)表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可計算，得故X的分布率為在實際應(yīng)用中，有時還要求“X滿足某一條件”這樣的事件的概率，比如等，求法就是把滿足條件的所對應(yīng)的概率相加可得，如在例2中，求擲得奇數(shù)點的概率

5、，即為PX=1,或3,或5 =PX=1+ PX=3+ PX=5=在例4中，PX1= PX=0+ PX=1=，PX>1= PX=2+ PX=3=，P1X<2.5= PX=1+ PX=2=，例5若X的分布律為 求（1）P(X<2),【答疑編號：10020105針對該題提問】（2）P(X2),【答疑編號：10020106針對該題提問】（3）P(X3),【答疑編號：10020107針對該題提問】（4）P(X>4)【答疑編號：10020108針對該題提問】解（1）P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3(2) P(X2)= P(X=0)+P(X=1)

6、 +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5(3) P(X3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5(4)x>4=Px>4=0（三）0-1分布與二項分布下面，介紹三種重要的常用離散型隨機變量，它們是0-1分布、二項分布與泊松分布。定義4若隨機變量X只取兩個可能值：0,1,且PX=1=p, PX=0=q其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從0-1分布。X的分布律為在n重貝努利試驗中，每次試驗只觀察A是否發(fā)生，定義隨機變量X如下：因為，所以X服從0-1分布。0-1分布是最簡單的分布類，任何只有兩種結(jié)果的隨機現(xiàn)象，比如新生兒是男是女，明天是否下雨，抽查一

7、產(chǎn)品是正品還是次品等，都可用它來描述。例6一批產(chǎn)品有1000件，其中有50件次品，從中任取1件，用X=0表示取到次品，X=1表示取到正品，請寫出X的分布律。【答疑編號：10020109針對該題提問】解定義5若隨機變量X的可能取值為0,1,n，而X的分布律為;其中，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，簡記為XB（n,p）。顯然，當n=1時，X服從0-1分布，即0-1分布實際上是二項分布的特例。在n重貝努利試驗中，令X為A發(fā)生的次數(shù)，則;即X服從參數(shù)為n,p的二項分布。二項分布是一種常用分布，如一批產(chǎn)品的不合格率為p，檢查n件產(chǎn)品，n件產(chǎn)品中不合格品數(shù)X服從二項分布；調(diào)查n個人，n個人中的色盲人數(shù)Y

8、服從參數(shù)為n,p的二項分布，其中p為色盲率；n部機器獨立運轉(zhuǎn)，每臺機器出故障的概率為p，則n部機器中出故障的機器數(shù)Z服從二項分布，在射擊問題中，射擊n次，每次命中率為p，則命中槍數(shù)X服從二項分布。例7某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？【答疑編號：10020110針對該題提問】解設(shè)X為10人中被治愈的人數(shù)，則XB(10，095)，而所求概率為例8設(shè)XB（2,p），YB（3,p）。設(shè)，試求PY1.【答疑編號：10020111針對該題提問】解，知，即由此得.再由可得例9考卷中有10道單項選擇題，每道題中有4個答案，求某人猜中6題以上的概率?！敬鹨删幪枺?0

9、020112針對該題提問】解：已知猜中率，用X表示猜中的題數(shù)則在計算涉及二項分布有關(guān)事件的概率時，有時計算會很繁，例如n=1000,p=0.005時要計算就很困難，這就要求尋求近似計算的方法。下面我們給出一個n很大、p很小時的近似計算公式，這就是著名的二項分布的泊松逼近。有如下定理。泊松（Poisson）定理設(shè)>0是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且，則對于任意取定的非負整數(shù)k，有證明略。由泊松定理，當n很大，p很小時，有近似公式，其中=np.在實際計算中，當n20,p0.05時用上述近似公式效果頗佳。例10一個工廠中生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為0.005，任取1000件，計算：（1）其中至少有兩件是廢品

10、的概率；【答疑編號：10020113針對該題提問】（2）其中不超過5件廢品的概率?！敬鹨删幪枺?0020114針對該題提問】解設(shè)X表示任取得1000件產(chǎn)品中的廢品中的廢品數(shù)，則XB(1000,0.005)。利用近似公式近似計算，=1000×0.005=5.（1）（2）（四）泊松分布定義6設(shè)隨機變量X的可能取值為0,1,n,，而X的分布律為其中>0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，簡記為Xp()即若Xp()，則有例11設(shè)X服從泊松分布，且已知PX=1= PX=2，求PX=4.【答疑編號：10020115針對該題提問】解設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，則由已知，得解得=2，則§2.

11、2隨機變量的分布函數(shù)（一）分布函數(shù)的概念對于離散型隨機變量X，它的分布律能夠完全刻畫其統(tǒng)計特性，也可用分布律得到我們關(guān)心的事件，如等事件的概率。而對于非離散型的隨機變理，就無法用分布率來描述它了。首先，我們不能將其可能的取值一一地列舉出來，如連續(xù)型隨機變量的取值可充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間(a,b)，甚至是幾個區(qū)間，也可以是無窮區(qū)間。其次，對于連續(xù)型隨機變量X，取任一指定的實數(shù)值x的概率都等于0，即PX=x=0。于是，如何刻畫一般的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律成了我們的首要問題。定義1設(shè)X為隨機變量，稱函數(shù)F(x)=PXx,x(-,+ ) 為X的分布函數(shù)。注意，隨機變量的分布函數(shù)的定義適應(yīng)于任意的隨機變量，其

12、中也包含了離散型隨機變量，即離散型隨機變量既有分布律也有分布函數(shù)，二者都能完全描述它的統(tǒng)計規(guī)律性。例1若X的分布律為求(1)F(1),【答疑編號：10020201針對該題提問】(2)F(2.1), 【答疑編號：10020202針對該題提問】(3)F(3), 【答疑編號：10020203針對該題提問】(4)F(3.2)【答疑編號：10020204針對該題提問】解由分布函數(shù)定義知F(x)=P(Xx)(1)F(1)=P(X1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.3(2)F(2.1)= P(X2.1)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)=0.6(3)F(3) = P(X3)=P(X=0)+

13、 P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9(4)F(3.2)= P(X3.2)=1- P(X>3.2)=1- P(X=4) =1-0.1=0.9例2設(shè)離散型隨機變量X的分布律為求X的分布函數(shù)【答疑編號：10020205針對該題提問】解當x<-1時，F(xiàn)(x)=PXx=P(X<-1)=0當-1x<0時，F(xiàn)(x)=PXx=PX= -1=0.2當0x<1時，F(xiàn)(x)=PXx=PX= -1+ PX=0=0.2+0.1=0.3當1x<2時，F(xiàn)(x)=PXx=PX= -1+ PX=0+ PX=1=0.2+0.1+0.3=0.

14、6當x2時，F(xiàn)(x)=PXx=PX= -1+ PX=0+ PX=1+ PX=2=0.2+0.1+0.3+0.4=1則X的分布函數(shù)F(x)為F(x)的圖象見圖2.1。從F(x)的圖像可知，F(xiàn)(x)是分段函數(shù)，y=F(x)的圖形階梯曲線，在X的可能取值-1,0,1,2處為F(x)的跳躍型間斷點。一般地，對于離散型隨機變量X，它的分布函數(shù)F(x)在X的可能值處具有跳躍，跳躍值恰為該處的概率，F(xiàn)(x)的圖形是階梯形曲線，F(xiàn)(x)為分段函數(shù)，分段點仍是。另一方面，由例2中分布函數(shù)的求法及公式（）可見，分布函數(shù)本質(zhì)上是一種累計概率。一般地，若X的分布律是則有X的分布函數(shù)為公式：所以，例2中X的分布函數(shù)為（

15、二）分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)：（1）0F(x) 1.由于F(x) =PXx，所以0F(x) 1.（2）F(x)是不減函數(shù)，即對于任意的有因為當時，即 從而（3）F(-)=0，F(xiàn)(+)=1，即從此，我們不作嚴格證明，讀者可從分布函數(shù)的定義F(x) =PXx去理解性質(zhì)（3）。（4）F(x)右連續(xù)，即證明略。例2設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為其中>0為常數(shù)，求常數(shù)a與b的值?！敬鹨删幪枺?0020206針對該題提問】解，由分布函數(shù)的性質(zhì)F(+)=1，知a=1；又由F(x)的右連續(xù)性，得到由此，得b= -1.已知X的分布函數(shù)F(x)，我們可以求出下列重要事件的概率：1°PXb=F

16、(b).【答疑編號：10020207針對該題提問】2°Pa<Xb=F(b)-F(a)，其中a<b.【答疑編號：10020208針對該題提問】3°PX>b=1-F(b)【答疑編號：10020209針對該題提問】證1°F(x)=PXxF(b)=PXb2°Pa<Xb= PXb- P Xa= F(b)-F (a)3°PX>b=1- PXb=1- F(b)例3設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為求【答疑編號：10020210針對該題提問】【答疑編號：10020211針對該題提問】【答疑編號：10020212針對該題提問】解例4求0-1分

17、布的x的分布函數(shù)【答疑編號：10020213針對該題提問】解：已知所以例5設(shè)XF(x)=a+barctanx(-<x+)求（1）a與b【答疑編號：10020214針對該題提問】（2）P(-1<X1)【答疑編號：10020215針對該題提問】解：（1）F(-)=0，F(xiàn)(+)=1解得,（2）§2.3連續(xù)型隨機變量及概率密度（一）連續(xù)型隨機變量及其概率密度 定義若隨機變量X的分布函數(shù)為其中f(t)0。就是說X是連續(xù)型隨機變量，并且非負函數(shù)f(x)是連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。由連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)的定義知概率密度有下列性質(zhì)（1）【答疑編號：100202

18、16針對該題提問】（2）【答疑編號：10020217針對該題提問】（3）（ab）【答疑編號：10020218針對該題提問】前面已曾經(jīng)證明，由于連續(xù)型隨機變量是在一個區(qū)間或幾個區(qū)間上連續(xù)取值，所以它在任何一點上取值的概率為零，即若X是連續(xù)型隨機變量則有P(X=x)=0,其中X是任何一個實數(shù)。有（4）f(x)0【答疑編號：10020219針對該題提問】證（1）在微積分中已知積分上限的函數(shù)對上限x的導(dǎo)數(shù)它說明分布函數(shù)是概率密度的原函數(shù)，并且證明連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是處處可導(dǎo)函數(shù)，所以連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)處處連續(xù)。（2）（3）P(a<Xb)=F(b)-F(a)因為F(x)

19、是f(x)的原函數(shù)因此，對連續(xù)型隨機變量X在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種：（1）若F(x)已知，則P(a<Xb)=F(b)-F(a) （2）若f(x)已知，則P(a<Xb)=例1設(shè)求（1）c【答疑編號：10020220針對該題提問】（2）【答疑編號：10020221針對該題提問】解（1）而時，p(x)=0,（2）例2.設(shè)連續(xù)函數(shù)變量X的分布函數(shù)為求：（1）X的概率密度f（x）;【答疑編號：10020301針對該題提問】（2）X落在區(qū)間（0.3，0.7）的概率?！敬鹨删幪枺?0020302針對該題提問】解：（1）（2）有兩種解法：或者例21若【答疑編號：10020303針對該題提問】

20、解： 例22若 求xf(x)【答疑編號：10020304針對該題提問】解： 例23，若【答疑編號：10020305針對該題提問】解：例3.若 【答疑編號：10020306針對該題提問】解：（1）x0時，f（x）=0，（2）0x1時，（3）1x時，注2.分段函數(shù)要分段求導(dǎo)數(shù)，分段求積分。例4.設(shè)某種型號電子元件的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度?，F(xiàn)有一大批此種元件，（設(shè)各元件工作相互獨立），問：（1）任取一只，其壽命大于1500小時的概率是多少？【答疑編號：10020307針對該題提問】（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的壽命大于1500的概率是多少？【答疑編號：10020308針對該題

21、提問】（3）任取四只，四只元件中至少有1只元件的壽命大于1500的概率是多少？【答疑編號：10020309針對該題提問】解：（1） （2）各元件工作相互獨立，可看作4重貝努利試驗，觀察各元件的壽命是否大于1500小時，令Y表示4個元件中壽命大于1500小時元件個數(shù)，則，所求概率為 （3）所求概率為3.2均勻分布與指數(shù)分布以下介紹三種最常用的連續(xù)型概率分布，均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，本小節(jié)先介紹前兩種。  定義2.若隨機變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，簡記為XU（a,b） 容易求得其分布函數(shù)為均勻分布的概率密度f（x）和分布函數(shù)F（x）的圖像分別見圖2.3和圖2

22、.4  均勻分布的概率密度f（x）在a,b內(nèi)取常數(shù) ，即區(qū)間長度的倒數(shù)。均勻分布的均勻性是指隨機變量X落在區(qū)間a,b內(nèi)長度相等的子區(qū)間上的概率都是相等的。均勻分布的概率計算中有一個概率公式。設(shè)，則使用這個公式計算均勻分布的概率很方便，比如，設(shè)，則例5.公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在5分鐘內(nèi)任一時刻到達汽車站是等可能的，求乘客候車時間在1到3分鐘內(nèi)的概率。【答疑編號：10020310針對該題提問】解：設(shè)X表示乘客的侯車時間，則XU（0,5），其概率密度為所求概率為  定義3.若隨機變量X的概率密度為其中0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，簡記為，其分布函數(shù)為f（

23、x）和F（x）的圖形分別見圖2.5和圖2.6指數(shù)分布常被用作各種“壽命”的分布，如電子元件的使用壽命、動物的壽命、電話的通話時間、顧客在某一服和系統(tǒng)接受服務(wù)的時間等都可以假定服從指數(shù)分布，因而指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用。例:若某設(shè)備的使用壽命X（小時）E（0.001）求該設(shè)備使用壽命超過1000小時的概率。【答疑編號：10020311針對該題提問】解：0.001 P（1000X）P（1000X+）F（+）F（1000）11e-1=e-1=（三）正態(tài)分布  定義4.若隨機變量X的概率密度為其中,2為常數(shù)，+，0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布，簡記為XN（,2）f（x）的圖形見圖2.7&#

24、160; 習(xí)慣上，稱服從正態(tài)分布的隨機變量為正態(tài)隨機變量，又稱正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線。設(shè)XN（,2），則X的分布函數(shù)為特別地，當0，1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布N（0，1）。為區(qū)別起見，標準正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)分別記為，即的圖象見圖2.8  顯然，的圖象關(guān)于y軸對稱，且在x=0處取得最大值。通常我們稱為標準正態(tài)分布函數(shù)，它有下列性質(zhì)：（1） 由定積分的幾何意義及的對稱性可得 （2）由（1）知 （3）因為是X服從標準正態(tài)即XN（0，1）時的分布函數(shù)，所以有當   上面公式中，不等式中是否有等號并不影響公式的正確性，原因是連續(xù)隨機變量X取一個數(shù)的概率為0

25、，即P（XK）0所以下面的公式同樣成立其中標準正態(tài)分布函數(shù)的可用教材中的附表1求得，其中同樣有 例1.若XN（0，1）求（1）P（X2.12）【答疑編號：10020312針對該題提問】（2）P（X0.23）【答疑編號：10020313針對該題提問】（3）P（0.2X2.12）【答疑編號：10020314針對該題提問】解：（1）P（X2.12）P（X2.12）（2.12）（）（2.12）0.9830（2）P（X0.23）P（0.23X+）（+）（0.23）1（0.23）由性質(zhì)（x）1（x）得（0.23）1（0.23）P（X0.23）（0.23）0.5910（3）P（0.2X2.12）（2.12）

26、（0.2）（2.12）1（0.2）（2.12）+（0.2）10.9830+0.579310.5623例2.XN（0，1）時，證明a>0時【答疑編號：10020315針對該題提問】解： （a）（a）（a）1（a）2（a）1例3.若XN（0，1），則a為何值時， 【答疑編號：10020316針對該題提問】解： 由 查標準正態(tài)分布函數(shù)值表（附表1）有a=1.96  下面我們不加證明地介紹正態(tài)分布有下面結(jié)果若XN（,2），則有（1）X的分布函數(shù)F（x） （2） 公式：XN（,2）時提供了XN（,2）時，計算概率的方法。例4.若XN（3,4）求P（3X5）【答疑編號：10020317針對

27、該題提問】解：P（3X5） （1）（0）0.84130.50.3413例5.設(shè)XN（1.5,4），求：（1）PX3.5【答疑編號：10020318針對該題提問】（2）P1.5X3.5【答疑編號：10020319針對該題提問】（3）P3【答疑編號：10020320針對該題提問】解：1.52，記F（x）為X的分布函數(shù)。（1）PX3.5P（<x<3.5）=（2）P1.5X3.5= =0.84130.50.3413（3）P31P<31P3X3=1- 1（0.75）+（2.25）1（0.75）+1（2.25）10.7734+10.98780.2388例6.設(shè)XN（,2）求X落在區(qū)間k,

28、 +k概率，其中k=1,2,3【答疑編號：10020321針對該題提問】解：PkX+k （k）-（k）=2（k）1（1）0.8413，（2）0.9772，（3）0.99865 從此可以看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是（，+），但它的值落在3, +3的概率為0.9973，幾乎是肯定的，這個性質(zhì)被稱為正態(tài)分布的“3規(guī)則”。為了方便今后的應(yīng)用，對于標準正態(tài)隨機變量，我們引入分位的定義。定義5.設(shè)XN（0,1）若ua滿足條件PXua，01，則稱點ua為標準正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)（見圖2.12）例7.用上側(cè)分位數(shù)ua的定義求（1）u0.005（2）u0.025（3）u0.01（4）u0.05（5）u0.1【答

29、疑編號：10020401針對該題提問】解：因為P（Xu）P（Xu）1P（Xu）1（u）（u）1（1）（u0.005）10.0050.995（2.58）0.995u0.005=2.58（2）（u0.025）1-0.025=0.975（1.96）0.975u0.0251.96（3）（u0.01）10.010.99（2.33）0.99u0.012.33（4）（u0. 05）10.050.95（1.64）0.95u0.051.64（5）（u0. 1）10.10.9（1.29）0.9u0.11.29正態(tài)分布是最常見的一種分布，在實際問題中，許多隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布，例如，一個地區(qū)的男性成年人的

30、身高和體重，測量某個物理量所產(chǎn)生的隨機誤差；一批原棉纖維的長度，某地區(qū)的年降水量等，它們都服從正態(tài)分布，本書第五章的中心極限定理表明：一個變量如果大量獨立，微小且均勻的隨機因素的疊加而生成，那么它就近似服從正態(tài)分布，由此可見，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的理論研究和實際應(yīng)用中正態(tài)分布都占有十分重要的地位。例8.某機床生產(chǎn)的零件長度X（mm）N（20,0.022），工廠規(guī)定該零件長度在區(qū)間（19.96，20.04）內(nèi)為合格品，求該機床產(chǎn)品的合格率。【答疑編號：10020402針對該題提問】解：19.96X20.04表示產(chǎn)品合格合格率為P（19.96X20.04） 例9.測量某零件長度時DE 誤差X（mm）

31、N（2,9）求（1）誤差絕對值小于5的概率（2）測量三次，誤差的絕對值都小于5的概率（3）測量三次，誤差的絕對值至少有一次小于5的概率【答疑編號：10020403針對該題提問】解：（1）其中P表示誤差絕對值小于5的事件A的概率P（A）（2）用X表示測量三次，事件A發(fā)生次數(shù)XB（3,P），P0.8314P（X3） （3）P（X1）1P（X1）1P（X0）1 第4節(jié)隨機變量的函數(shù)的概率分布4.1離散型隨機變量的函數(shù)的概率分布在實際應(yīng)用中，我們常常遇到這樣的情況，所關(guān)心的隨機變量不能直接測量得到，而它卻是某個能直接測量的隨機變量的函數(shù)，例如，我們能測量圓軸截面的直徑X，而關(guān)心的卻是其截面的面積，這里

32、隨機變量Y就是隨機變量X的函數(shù)。設(shè)g（x）是一給定的連續(xù)函數(shù)，稱Yg（X）為隨機變量X的的一個函數(shù)，Y也是一個隨機變量，當X取值x時，Y取值yg（x），本節(jié)，我們將討論如何由已知的隨機變量X的概率分布去求函數(shù)Yg（x）的概率分布。先討論X為離散型隨機變量的情況。  設(shè)X為離散型隨機變量，其分布律為由于X的可能取值為x1x2xk，所以Y的可能取值為g（x1）, g（x2）g（xk）可見Y只取有限多個值或可列無窮多個值，故Y是一個離散型隨機變量。當g（x1）, g（x2）g（xn）互不相等時，Y的分布律為當g（x1）, g（x2）g（xk），有相等的情況時，則應(yīng)該把使g（xk）相等的那些

33、xi所對應(yīng)的概率相加，作為Y取值g（xk）的概率，這樣得到Y(jié)的分布律。例1.設(shè)隨機變量X的分布律為求：（1）YX3的分布律；（2）ZX2的分布律?！敬鹨删幪枺?0020404針對該題提問】解：（1）Y的可能取值為1，0，1，8.由于從而Y的分布律為（2）Z的可能取值范圍為0，1，4則Z的分布律為例2.XB（3，0.4）令，求PY1【答疑編號：10020405針對該題提問】解：因為XB（3，0.4）所以X可能取值為當X0時，Y0，X1時，Y1；X2時，Y1；X3時，Y0。所以，Y1為X1與X2其實，由等式中，當Y1時，可得X（3X）2 P（Y1）P（X1）+P（X2） 4.2連續(xù)型隨機變量的函數(shù)

34、的概率分布設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fx（x），要求Yg（x）的概率密度fy（y），我們可以利用如下定理的結(jié)論。  定理1.設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fx（x），設(shè)g（x）是一嚴格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域為（，），且g'（x）0，記x=h（y）為yg（x）的反函數(shù)，由Yg（x）的概率密度fY（y）為：特別地，當+時，例3.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為fx（x），令Yax+b其中a,b為常數(shù),a0?！敬鹨删幪枺?0020406針對該題提問】解：y=g（x）=ax+b,+由y=ax+b得x=,，由定理1得例4. XN（,2），求：（1）的概率密度。（2）YaX+b

35、的概率密度?！敬鹨删幪枺?0020407針對該題提問】解：XN（,2）Xfx（x） （1）（2）Yax+b時，由yax+b得反函數(shù)x=h（y） 例4.說明兩個重要結(jié)論；當XN（,2）時， N（0,1）且隨機變量稱為X的標準化，另外，正態(tài)隨機變量的線性變換YaX+b仍是正態(tài)隨機變量，即aX+bN（a+b,a22），這兩個結(jié)論必須記?。±?.設(shè)XU（），令Y=tanx，求Y的概率密度fY（y）?！敬鹨删幪枺?0020408針對該題提問】解：y=g（x）=tanx,值域為（，+），反函數(shù)x=h（x）=arctany,記X的概率密度為fx（x）,當這一概率分布稱為柯西（Cauchy）分布。例6.隨機變量X的概率密度為求Y2X+8的概率密度?！敬鹨删幪枺?0020409針對該題提問】解：記Y的分布函數(shù)為Fy（y），則Y的分布函數(shù)其中Fx（x）為X的分布函數(shù)，故例6