一元二次方程的解法數(shù)學(xué)教學(xué)課件PPT

1、第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2 2。2 2 一元二次方程的解法（第一元二次方程的解法（第4 4課時(shí)）課時(shí)） 用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程例例1 1 用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1 1） x x2 2- - x-1=0 x-1=0； （2 2）( (x-2x-2)()(3x-53x-5) )=1=1。分析：要求使用公式法解一元二次方程分析：要求使用公式法解一元二次方程, ,關(guān)鍵要關(guān)鍵要把方程化為一般形式把方程化為一般形式, ,弄清弄清a a, ,b b, ,c c的值的值。 第（第（1 1）小題為了計(jì)算方便可先把系數(shù)化為整數(shù)小題為了計(jì)算方便可先把系數(shù)化為

2、整數(shù), ,然后再然后再找出找出a a, ,b b, ,c c的值；第（的值；第（2 2）小題需先把方程化為一）小題需先把方程化為一般形式后般形式后, ,再求解再求解。5152解：（解：（1 1）方程兩邊同乘）方程兩邊同乘5 5, ,得得2x2x2 2-x-5=0-x-5=0。 a=2a=2, ,b=-1b=-1, ,c=-5c=-5, ,b b2 2-4ac=-4ac=( (-1-1) )2 2-4-42 2( (-5-5) )=41=41。 x=x= , ,x x1 1= = , ,x x2 2= = ；（2 2）方程可化為）方程可化為3x3x2 2-11x+9=0-11x+9=0。 a=3

3、a=3, ,b=-b=-1111, ,c=9c=9, ,b b2 2-4ac=-4ac=( (-11-11) )2 2-4-43 39=139=13。 x= x= , ,x x1 1= = , ,x x2 2= = 。注意點(diǎn)：用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是先弄注意點(diǎn)：用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是先弄清方程中的清方程中的a a, ,b b, ,c c的值的值, ,當(dāng)系數(shù)不是整數(shù)時(shí)當(dāng)系數(shù)不是整數(shù)時(shí), ,要先要先把系數(shù)化為整數(shù)把系數(shù)化為整數(shù), ,可使計(jì)算變得簡(jiǎn)單可使計(jì)算變得簡(jiǎn)單。 當(dāng)原方程當(dāng)原方程不是一般形式時(shí)不是一般形式時(shí), ,先要把它化為一般形式先要把它化為一般形式。4411441144116

4、13116131161311變式：用公式法解下列方程：變式：用公式法解下列方程：（1 1）x x2 2-2x-8=0-2x-8=0； （2 2）x x2 2+2x-4=0+2x-4=0；（3 3）2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0； （4 4）3x3x( (3x-23x-2) )+1=0+1=0。答案：（答案：（1 1）x x1 1=4=4, ,x x2 2=-2=-2； （2 2）x x1 1=-1+=-1+ , ,x x2 2=-1-=-1- ；（3 3）x x1 1=2=2, ,x x2 2=- =- ； （4 4）x x1 1=x=x2 2= = 。552131 一元二次方程的

5、根的判別式一元二次方程的根的判別式例例2 2 （1 1）下列關(guān)于）下列關(guān)于x x的一元二次方程中的一元二次方程中, ,有兩個(gè)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（ ） A A。 x x2 2+1=0+1=0 B B。 9x 9x2 2-6x+1=0-6x+1=0 C C。 x x2 2-x+2=0-x+2=0 D D。 x x2 2-2x-2=0-2x-2=0（2 2）已知關(guān)于）已知關(guān)于x x的方程的方程x x2 2-2-2( (k-3k-3) )x+kx+k2 2-4k-1=0-4k-1=0。若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根, ,求求k k的取值范圍；的取值范圍；若這個(gè)方

6、程有一個(gè)根為若這個(gè)方程有一個(gè)根為1 1, ,求求k k的值的值。分析：（分析：（1 1）根據(jù)根的判別式）根據(jù)根的判別式, ,若方程有兩個(gè)不相若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等的實(shí)數(shù)根, ,則則b b2 2-4ac-4ac0 0, ,代入值判斷即可；（代入值判斷即可；（2 2）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根, ,則則b b2 2-4ac-4ac0 0；若這個(gè)方程；若這個(gè)方程有一個(gè)根為有一個(gè)根為1 1, ,可將可將x=1x=1代入方程求代入方程求k k的值的值。解：（解：（1 1）D D （2 2）由題意）由題意, ,得得b b2 2-4ac=-2-4ac=-2( (k-3k-3) ) 2 2-4

7、-4( (k k2 2-4k-1-4k-1)0 0, ,化簡(jiǎn)化簡(jiǎn), ,得得-k+5-k+50 0。 解得解得k k5 5。 k k的取值范圍是的取值范圍是k k5 5。將將x=1x=1代入方程代入方程, ,得得k k2 2-6k+6=0-6k+6=0。 解這個(gè)方程解這個(gè)方程, ,得得k k1 1=3-=3- , ,k k2 2=3+=3+ 。注意點(diǎn)：根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范注意點(diǎn)：根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范圍圍, ,一般是利用判別式關(guān)于字母系數(shù)的不等式一般是利用判別式關(guān)于字母系數(shù)的不等式, ,解解不等式求得范圍不等式求得范圍。33變式：若一元二次方程變式：若一元二次方程x x

8、2 2+2x+m=0+2x+m=0有實(shí)數(shù)解有實(shí)數(shù)解, ,則則m m的的取值范圍是（取值范圍是（ ） A A。 m m-1-1 B B。 m m1 1 C C。 m m4 4 D D。 m m 答案：答案：B B21 選擇合適的方法解一元二次方程選擇合適的方法解一元二次方程例例3 3 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋河眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海? 1）3x+15=-2x3x+15=-2x2 2-10 x-10 x； （2 2）2x2x2 2-12x+9=0-12x+9=0。分析：方程（分析：方程（1 1）可用因式分解法）可用因式分解法, ,方程（方程（2 2）可）可用公式法用公式法。解：（解：（1 1）3

9、x+15=-2x3x+15=-2x2 2-10 x-10 x。 移項(xiàng)移項(xiàng), ,得得3x+15+3x+15+( (2x2x2 2+10 x+10 x) )=0=0。 因式分解因式分解, ,得得3 3( (x+5x+5) )+2x+2x( (x+5x+5) )=0=0, ,即即( (x+5x+5)()(3+2x3+2x) )=0=0。 于是于是, ,得得x+5=0 x+5=0, ,或或3+2x=03+2x=0。 x x1 1=-5=-5, ,x x2 2=-=- 。（2 2）2x2x2 2-12x+9=0-12x+9=0。 a=2a=2, ,b=-12b=-12, ,c=9c=9, ,b b2 2

10、-4ac=-4ac=( (-12-12) )2 2-4-42 29=729=72, ,x=x= , ,x x1 1=3+=3+ , ,x x2 2=3-=3- 。232233227212223223注意點(diǎn)：解一元二次方程考慮所用方法的一般順注意點(diǎn)：解一元二次方程考慮所用方法的一般順序是：先直接開平方法序是：先直接開平方法, ,再因式分解法再因式分解法, ,然后考慮然后考慮配方法或公式法配方法或公式法。 對(duì)于形如對(duì)于形如x x2 2=p=p或或( (mx+nmx+n) )2 2=p=p（p p0 0）的方程）的方程, ,我們通常采用直接開平方法；對(duì)我們通常采用直接開平方法；對(duì)于一邊是于一邊是0

11、0, ,另一邊易于分解成兩個(gè)一次式乘積的另一邊易于分解成兩個(gè)一次式乘積的一元二次方程一元二次方程, ,我們通常采用因式分解法我們通常采用因式分解法。 配方配方法和公式法適合解所有的一元二次方程法和公式法適合解所有的一元二次方程。變式：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋ㄖ苯訉懗龇阶兪剑河眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋ㄖ苯訉懗龇匠痰慕夂颓蠼夥匠痰姆椒ǎ撼痰慕夂颓蠼夥匠痰姆椒ǎ?（1 1）12x12x2 2- - =0=0； （2 2）x x2 2-2x-4=0-2x-4=0；（3 3）5x5x2 2=9x+2=9x+2； （4 4）5x5x2 2+2x=0+2x=0。答案：（答案：（1 1）x x1 1= =

12、, ,x x2 2=-=- 。 （開平方法）（開平方法）（2 2）x x1 1=1+=1+ , ,x x2 2=1-=1- 。 （配方法）（配方法）（3 3）x x1 1=2=2, ,x x2 2=-=- 。 （公式法）（公式法）（4 4）x x1 1=0=0, ,x x2 2=-=- 。 （因式分解法）（因式分解法）316161555251一元二次方程根的判別式的應(yīng)用一元二次方程根的判別式的應(yīng)用例例4 4 若若a a, ,b b, ,c c是是ABCABC的三邊長(zhǎng)的三邊長(zhǎng), ,且關(guān)于且關(guān)于x x的方的方程程a a( (x x2 2-1-1) )-2cx+b-2cx+b( (x x2 2+1+

13、1) )=0=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, ,試判斷此三角形的形狀試判斷此三角形的形狀。分析：應(yīng)用一元二次方程根的判別式的性質(zhì)確定三角形的三邊a,b,c的關(guān)系。解：整理方程解：整理方程, ,得得( (a+ba+b) )x x2 2-2cx+-2cx+( (b-ab-a) )=0=0。 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, , =0 =0, ,即即( (-2c-2c) )2 2-4-4( (a+ba+b)()(b-ab-a) )=0=0, ,整理整理, ,得得c c2 2+a+a2 2-b-b2 2=0=0, ,即即c c2 2+a+a2 2=b=b2 2。 以以a a,

14、,b b, ,c c為邊長(zhǎng)的為邊長(zhǎng)的ABCABC是直角三角形是直角三角形。注意點(diǎn)：一般來(lái)說(shuō)注意點(diǎn)：一般來(lái)說(shuō), ,讓我們判定三角形的形狀讓我們判定三角形的形狀, ,那那么這個(gè)三角形一般會(huì)是特殊三角形么這個(gè)三角形一般會(huì)是特殊三角形。 如果是從如果是從三角形的邊出發(fā)三角形的邊出發(fā), ,那么這個(gè)三角形要么是等腰三那么這個(gè)三角形要么是等腰三角形角形, ,要么是等邊三角形要么是等邊三角形, ,當(dāng)然也有可能推出當(dāng)然也有可能推出 = =( (a a2 2+b+b2 2-c-c2 2) )2 2=0=0這種結(jié)論這種結(jié)論, ,得到得到a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, ,那它就那它就是直角三角形是直角三角

15、形。例例1 1 不解方程不解方程, ,判斷方程的根的情況判斷方程的根的情況4x4x2 2-3x+1=2-3x+1=2。錯(cuò)因：使用根的判別式時(shí)錯(cuò)因：使用根的判別式時(shí), ,必須先將方程整理求必須先將方程整理求axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a0 0）的形式）的形式。正答：整理正答：整理, ,得得4x4x2 2-3x-1=0-3x-1=0。 a=4a=4, ,b=-3b=-3, ,c=-1c=-1, ,b b2 2-4ac=-4ac=( (-3-3) )2 2-4-44 4( (-1-1) )=9+16=25=9+16=250 0。 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

16、根。錯(cuò)答：錯(cuò)答：a=4a=4, ,b=-3b=-3, ,c=1c=1, ,b b2 2-4ac=(-3-4ac=(-3) )2 2-4-44 41=9-16=-71=9-16=-70 0。 原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。錯(cuò)答：錯(cuò)答：方程有實(shí)數(shù)根方程有實(shí)數(shù)根, ,b b2 2-4ac=-4ac= -4-4（k-1k-1）3 30 0, ,解得解得k k 。 k-1k-10 0, ,解得解得k k1 1。 k k的取值范圍是的取值范圍是k k 且且k k1 1。22k例例2 2 已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方程的方程( (k-1k-1) )x x2 2+ + x+3=0 x+3=0有實(shí)數(shù)有實(shí)數(shù)根根, ,求求k k的取值范圍的取值范圍。k2正答：正答：方程有實(shí)數(shù)根方程有實(shí)數(shù)根, ,b b2 2-4ac= -4-4ac= -4（k-1k-1）3 30 0。 解得解得k k , ,又又 是二次根式是二次根式, ,則則2k2k0 0, ,