圓周運(yùn)動(dòng)典型例題及答案詳解

1、“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”的典型例題【例1】如圖所示的傳動(dòng)裝置中，A、B兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng).A、B、C三輪的半徑大 小的關(guān)系是RA=RC=2RB.當(dāng)皮帶不打滑時(shí)，三輪的角速度之比、三輪邊緣的線速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？【例2】一圓盤可繞一通過圓盤中心 0且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)在圓盤上放 置一木 塊，當(dāng)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)（見圖），那么A. 木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向背離圓盤中心B.木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向指向圓盤中心運(yùn)動(dòng)C. 因?yàn)槟緣K隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的 方向相同D. 因?yàn)槟Σ亮偸亲璧K物體運(yùn)動(dòng)，所以木塊所受圓盤對(duì)它的

2、摩擦力的方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向相反E. 因?yàn)槎呤窍鄬?duì)靜止的，圓盤與木塊之間無摩擦力【例3】在一個(gè)水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B、C三個(gè)物體，它們跟臺(tái)面間的摩擦因數(shù)相同. A的質(zhì)量為2m, B、C各為m. A、B離轉(zhuǎn)軸均為r, C為2r則A. 若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，A、C的向心加速度比B大B. 若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，B所受的靜摩擦力最小C. 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，C最先發(fā)生滑動(dòng)D. 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，A比B先滑動(dòng)【例4】如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘 A、B,相距Lo=Om.長L=lm的柔軟細(xì) 線一端拴在 A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為 500g的小球.小球的初

3、始位 置在AB連線上 A的一側(cè).把細(xì)線拉直，給小球以 2m/s的垂直細(xì)線方向的水 平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng). 由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在 A、B±.若細(xì)線能承受的最大張力 Tm=7N,則從開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂歷時(shí)多長？【說明】圓周運(yùn)動(dòng)的顯著特點(diǎn)是它的周期性通過對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，用遞推法則寫出解答結(jié)果的通式（一般表達(dá)式）有很重要的意義對(duì)本題，還應(yīng)該熟練掌 握數(shù)列求和細(xì)線如果題中的細(xì)線始終不會(huì)斷裂，有興趣的同學(xué)還可計(jì)算一下，從小球開始運(yùn)動(dòng)到 完全繞在A、B兩釘子上，共需多少時(shí)間？【例5如圖（a）所示，在光滑的圓錐頂用長為 L的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為 m的小球，圓 錐頂角為20 ,當(dāng)圓錐和球一

4、起以角速度 3勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球壓緊錐面.此時(shí) 繩的張力是多 少？若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？圖（a）【說明】本題是屬于二維的牛頓第二定律問題，解題時(shí)，一般可以物體為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立xoy直角坐標(biāo)，然后沿 x軸和y軸兩個(gè)方向，列出牛頓第二定律的方 程，其 中一個(gè)方程是向心力和向心加速度的關(guān)系，最后解聯(lián)立方程即可。例 6】雜技節(jié)目中的“水流星”表演，用一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面上做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)杯口朝下，但水不會(huì)流下，如下圖所示，這是為什么？例 7】如下圖所示，自行車和人的總質(zhì)量為 M,在一水平地面運(yùn)動(dòng).若自行車 以速度 v轉(zhuǎn)過半徑為R的彎道.（1）求自行

5、車的傾角應(yīng)多大？ （ 2）自行車所 受的地面的摩 擦力多大？【例8】用長Li=4m和長為L2=3m的兩根細(xì)線，拴一質(zhì)量m=2kg的小球 A, Li和L2的另兩端點(diǎn)分別系在一豎直桿的Oi, Ch 處，已知 OiO2=5m 如下圖(g = 10m ? s-2)（1）當(dāng)豎直桿以的角速度 3勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，02A線剛好伸直且不受拉力.求此時(shí) 角速度31.（2） 當(dāng)O1A線所受力為1OON時(shí)，求此時(shí)的角速度 32.【說明】向心力是一種效果力，在本題中02A受力與否決定于物體 A做圓周運(yùn) 動(dòng)時(shí)角速度的臨界值.在這種題目中找好臨界值是關(guān)鍵.例9 一輛實(shí)驗(yàn)小車可沿水平地面（圖中紙面）上的長直軌道勻速向右運(yùn)動(dòng)，有一

6、臺(tái)發(fā)出細(xì)光束的激光器裝在小轉(zhuǎn)臺(tái)M上，到軌道的距離 MN為d=10m,如圖 所示。轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使激光束在水平面內(nèi)掃描，掃描一周的時(shí)間為T=60s，光 束轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖箭頭所示。當(dāng)光束與 MN的夾角為45°時(shí)，光束正好射到小車上如果再經(jīng)過 t=2.5s光束又射到小車上，則小車的速度為多少？（結(jié)果保留二位數(shù)字M/:If j例10圖所示為測(cè)量子彈速度的裝置，一根水平轉(zhuǎn)軸的端部焊接一個(gè)半徑為R的薄壁圓筒（圖為其橫截面），轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是每分鐘n轉(zhuǎn)，一顆子彈沿圓筒的水平 直徑由A點(diǎn)射入圓筒，在圓筒轉(zhuǎn)過不到半圓時(shí)從B點(diǎn)穿出，假設(shè)子彈穿壁時(shí)速 度大小不變，并在飛行中保持水平方向，測(cè)量出A、B兩點(diǎn)間的孤長

7、為L,寫出 子彈速度的表達(dá)式說明解題過程中，物理過程示意圖，是常用的方法，它可以使抽象的物理過程具體形象化，便于從圖中找出各物理量之間關(guān)系，以幫助建立物理方程，最后求出答案。典型例題答案【例1】【分析】皮帶不打滑，表示輪子邊緣在某段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長總是跟皮帶移動(dòng)的距離相等，也就是說，用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線速度大小相等.根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，結(jié)合線速度、角速度、向心加速度的公式即可得解【解】由于皮帶不打滑，因此， B、C兩輪邊緣線速度大小相等，設(shè)VB=VC=V.由V=3R得兩輪角速度大小的關(guān)系CO B : 3 C=Rc : RB=2 : 1因A、B兩輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，即3A=3B，所以A

8、、B、C三輪角速度 之比COA : 3B : w C=2 ： 2 ： 1因A輪邊緣的線速度VA= 3 ARA=2 3 BRB=2VB ,所以A、B、C三輪邊緣線速度之比VA : VB : VC=2 :1 : 1 ?根據(jù)向心加速度公式a=3 2R,所以A、B、C三輪邊緣向心加速度之比S： % : ac = O) aRa:船 re：叱兔=8 ： 4 ： 2=4 ： 2 ： 1.【例 2】【分析】 由于木塊隨圓盤一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻存在著一個(gè)沿半徑指向圓心的向心加速度，因此，它必然會(huì)受到一個(gè)沿半徑指向中心、產(chǎn)生向心加速度的力向心力 .以木塊為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析：在豎直方向受到重力和盤面的支持力

9、，它處于力平衡狀態(tài) ?在盤面方向，可能受到的力只有來自盤面的摩擦力（靜摩擦力）， 木塊正是依 靠盤面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng) . 所以，這個(gè)摩 擦力的方向必沿半 徑指向中心答 B.【說明】 常有些同學(xué)認(rèn)為，靜摩擦力的方向與物體間相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反， 木塊 隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，時(shí)時(shí)有沿切線方向飛出的趨勢(shì)，因此靜摩擦力的方 向應(yīng)與木 塊的這種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，似乎應(yīng)該選 D. 這是一種極普遍的錯(cuò)誤認(rèn) 識(shí)，其原因是忘 記了研究運(yùn)動(dòng)時(shí)所相對(duì)的參照系 . 通常說做圓運(yùn)動(dòng)的物體有沿線 速度方向飛出的趨勢(shì)， 是指以地球?yàn)閰⒄障刀缘?. 而靜摩擦力的方向總是跟相 對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，

10、應(yīng)該 是指相互接觸的兩個(gè)相關(guān)物體來說的，即是對(duì)盤面 參照系 . 也就是說，對(duì)站在盤上跟盤 一起轉(zhuǎn)動(dòng)的觀察者，木塊時(shí)刻有沿半徑向外 滑出的趨勢(shì)，所以，木塊受到盤面的摩擦 力方向應(yīng)該沿半徑指向中心例 3分析 A、B、C 三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它們的角速度都等于轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，設(shè)為3 根據(jù)向心加速度的公式 an=32r,已知rA=rB<rc,所以三 物體向心加速度 的大小關(guān)系為 aA=aB<ac.A錯(cuò).三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由轉(zhuǎn)臺(tái)的靜摩擦力提供向心力，即f =Fn=m?2r，所 以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為f=mA 3 2rA=2m w 2r,fe=mB 3 2rB=m co 2

11、r,fc=m c 3 2rc =m co 2 ? 2r=2m co 2i即物體 B 所受靜摩擦力最小 .B 正確 .由于轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體的靜摩擦力有一個(gè)最大值，設(shè)相互間摩擦因數(shù)為u,靜摩擦力 的最大值可認(rèn)為是 fm= U mg. 由 fm=Fn, 即 mg= m3 ?r,得 不 發(fā) 生 滑 動(dòng) 的 最 大 角 速度為即離轉(zhuǎn)臺(tái)中心越遠(yuǎn)的物體，使它不發(fā)生滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的最大角速度越小由于rc>rA=rB,所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速逐漸增加時(shí)，物體C最先發(fā)生滑動(dòng).轉(zhuǎn)速繼 續(xù)增加時(shí)，物體A、B將同時(shí)發(fā)生滑動(dòng).C正確，D錯(cuò).【答】B、C.【例4】【分析】小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半 徑會(huì)逐漸

12、變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小保持不變【解】小球交替地繞A、B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減小，線中張力T不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間 t不斷減小.在第一個(gè)半圓內(nèi)Ti=m?, t=上丄；LV在第二個(gè)半圓內(nèi)芯=m ", t2 =陀7。)在第三個(gè)半圓FA)T3 = m-A t 3 兀(L-2L。)V在第n個(gè)半圓內(nèi)立喬百A7TL-(n-l)L。(L-L。)v令Tn=Tm=7N,得n=8,所以經(jīng)歷的時(shí)間為t=t+t2 + 上？=nL-1 + 2 + 3+ +(n-1) L o, V71n(n -=nL 1)l。v1x 0.1s,8.2s.【例5】【分析】小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

13、，由繩子的張力和錐面的支持力兩者的合力提供向心力，在豎直方向則合外力為零。由此根據(jù)牛頓第二定律列方程，即可求得解答。【解】對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖（b）所示，根據(jù)牛頓第二定律，向心方向上有T ? sin 9 -N ? cos 9 =m 3 2r 圖y方向上應(yīng)有N ? sin 9 +T ? cos 9 -G=0 r = L ? sin 9 由、式可得T = mgcos 9 +m 3 zLs in 9當(dāng)小球剛好離開錐面時(shí) N=0 （臨界條件）則有 Tsin 9 =m 3 2r T ? cos 9 -G=0 即小球的角速度至少為 【例6】【分析】水和杯子一起在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，需 要提供一個(gè)向心力。

14、當(dāng)水杯在最低點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由杯底的支持力提供，當(dāng)水杯在最高 點(diǎn)時(shí)，水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。只要 做圓周運(yùn)動(dòng)的 速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點(diǎn)時(shí)，水就不會(huì)流下來?！窘狻恳员兄疄檠芯繉?duì)彖，進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律 可知：恥 =m? y , 此時(shí)重力 G 與 N 的合力充當(dāng)了向心九由上式可知Vj , N | ,當(dāng)N=0時(shí)，v有最小值為靠艮.即若使水不掉下來則水杯在最高點(diǎn)的速度v必須大于廊.【例7】【分析】騎 車拐彎時(shí)不摔倒必須將身體向內(nèi)側(cè)傾斜 .從圖中可知，當(dāng)騎 車人 拐彎而使身體偏離豎直方向 a角時(shí)，從而使靜摩擦力f與地面支持力N的 合力Q

15、通過 共同的質(zhì)心0,合力Q與重力的合力F是維持自行車作勻速圓周運(yùn) 動(dòng)所需要的向心力.【解】（1 ）由圖可知，向心力 F=Mgtg a ,由牛頓第二定律有：2 2V ZH, Vmgtga = m WCL = tg-KgK（2）由圖可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的靜摩擦力f和支持力N的合力，所以靜摩擦力f在數(shù)值上就等于向心力F,即f = Mgtg a【例8】【分析】小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由兩條細(xì)線的拉力提供，當(dāng)小球的運(yùn)動(dòng)速度不同時(shí)，所受拉力就不【解】（1）當(dāng)O2A線剛伸直而不受力時(shí)，受力如圖所示貝V Ficos 9 =mg Fisin 9 =mR3 12 由式（2

16、）解得5由幾何知識(shí)知 RROA =R,且4'sincos6 ，8.?.R=2,4m 0=37°代入式3i=1.77 (rad(2)當(dāng)OiA受力為100N時(shí)，由(1)式Ficos 9 =100X0.8=80 (N) >mg 由此知 O2A 受拉力 F2。則對(duì) A受力分析得Ficos 9 -F2sin 9 -mg=0 Fi sin 9 +F2COS 9 = mR 3 22 由式得_ fi cos' -mg cos 6+ 耳O 8sin 6 mR1100X 0.64-20X 0.8 +100X0.6Q2X2.4474(rad / s)【例9分析激光器掃描一周的時(shí)間 T

17、=60s,那么光束在 t=2.5s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的 角度A = AX 360 °=15 °激光束在豎直平面內(nèi)的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但在水平方向上光點(diǎn)的掃描速度是變化的，這個(gè)速度是沿經(jīng)向方向速度與沿切向方向速度的合速度。當(dāng)小車正向N點(diǎn)接近時(shí)，在 At內(nèi)光束與 MN的夾角由45°變?yōu)?0°dv 切coscos2/cos 668隨著9減小，v掃在減小若45°時(shí)，光照在小車上，此時(shí)掃 v車時(shí)，此后光點(diǎn) 將照到車前但v打lv年不變，當(dāng)v車v打時(shí)，它們的距離在縮小。解在 At 內(nèi)，光束轉(zhuǎn)過角度學(xué) x=360 。15°(1)光束照射小車時(shí) ,15°如圖

18、，有兩種可能小車正在接近 N點(diǎn)，At內(nèi)光束與MN的夾角從45°變?yōu)?0° ,小車走過Li,速度應(yīng)為由圖可知Li=d(tg45 °-tg30 )°(D由、兩式并代入數(shù)值，得vi=1.7m/s (2)光束照到小車時(shí)，小車正在遠(yuǎn)離N點(diǎn)，At內(nèi)光束與MN的夾角從45°為60°,小車走過 L2 速度為由圖可知L2=d(tg60 °-tg45 )°(6)由、兩代并代入數(shù)值，得V2=2.9m/s說明光點(diǎn)在水平方向的掃描速度是變化的，它是沿經(jīng)向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解為切向速度的分速度，即% = r? ? cos 0 =cos 6 = d0)cos y則掃描速度不變化，就談不上與小車的“追趕” 了，將不可能發(fā) 生經(jīng)過一段時(shí)間，再照射小車的問題。這一點(diǎn)速度的合成與分解 應(yīng)理解正確。另外光束與MN的夾角為45°時(shí)，光束正好射到小車上有兩種情況（見分析）