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1、三角恒等變換問題三角恒等變換是三角函數(shù)部分??嫉闹R點,是求三角函數(shù)極值與最值的一個過渡步驟,有時求函數(shù)周期求函數(shù)對稱軸等需要將一個三角函數(shù)式化成一個角 的一個三角函數(shù)形式,其中化簡的過程就用到三角恒等變換, ??嫉念}型及解析總結(jié)如下,供大家參考。例1 (式的變換-兩式相加減,平方相加減)11亠,sin cos 一求 sin(23已知cos sin)的值解:兩式平方得,cos 2cos sin sin2兩式相加得,2 2(cos sin sin cos141336化簡得,即 sin(輸方法評析:? 1、? 2、?3、?4、?5、例2 (角的變換59sin( )79)5972式的變換包括:tan
2、( a±3 )公式的變用齊次式“ 1的運用(1 ± sin a , 1 ± cos a湊完全平方) 兩式相加減,平方相加減 一串特殊的連鎖反應(yīng)(角成等差,連乘) -已知角與未知角的轉(zhuǎn)化)已知sin( )47,27,cos 2,求 sin 及 tan(1025解:由題設(shè)條件,應(yīng)用兩角差的正弦公式得7 2、2si n( ) (sin1042cos),即 sincos有關(guān)三角恒等變換由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得535故 cos sin由和式得sincos是tan故 tan(tantan ' 331 v3ta n48 25.311方法評析:1.本題以三角函數(shù)的
3、求值問題考查三角變換能力和運算能力,可從已知角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系(均含)進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到.以防出現(xiàn)多解或漏解2.在求三角函數(shù)值時, 必須靈活應(yīng)用公式, 注意隱含條件的使用,的情形.例3 (合一變換-輔助角公式)設(shè)關(guān)于 x的方程 sin x . 3 cosx a0在(0,2 )內(nèi)有相異二解和.求a的取值范圍三cosx) 2sin( x -)23 ' 1解: t sin x 3 cosx 2( sinx2方程化為sin(x )方程 sin x3 cosxa 0在(0,2 )內(nèi)有相異二解, s"(x i)sin 3又 sin(x )31 (等于3和1時僅有一解),21且 -i乜即2a的
4、取值范圍是(2,磯(3,2).(0, 2 )這一條件.方法評析:要注意三角函數(shù)實根個數(shù)與普通方程的區(qū)別,這里不能忘記例4 (, 一題多解型)右cos2sin5,求 tan 的值解:方法一:(T的運用)將已知式兩端平方得方法二:(合一變換)5sin5,其中+ 1 tan2再由sin1知,2k - kZ ,所以2k22 ,sin 所以tantan 2ktan2cos222cos sin2方法三:(式的變換)令sin 2cost,和已知式平方相加得 5 5 t2,故t 0,即 sin 2cos 0,故 tan 2 .方法四:(與單位圓結(jié)合)我們可以認(rèn)為點 M cos ,sin 在直線x 2y 、5上,的.而點M又在單位圓x2y21上,解方程組可得52 一 5,5從而tany 2 這個解法和用方程組xCOs 2 2sin 2 f求解實質(zhì)上是一致sin cos 1方法評析:本題考查利用三角恒等變換求值的能力,試題的根源是考生所常見的已知1sin cos ,0,求tan 的值(人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題 B組最后5一題第一問)”之類的題目,背景是熟悉的,但要解決這個問題還需要學(xué)生具有相當(dāng)?shù)闹R 遷移能力.有關(guān)
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