一道競賽考試的進(jìn)一步探究

1、一道競賽試題的進(jìn)一步探究中學(xué)數(shù)學(xué)論文競賽試題的進(jìn)一步探究江蘇省常熟市中學(xué)(215500)錢春蘭賽題呈現(xiàn)已知 a,b,c 是正實數(shù)，求證： a3c(a2+bc) + b3a(b2+ca)+c3b(c2+ab)>32o這是2009年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的一道不等式證明題，文1給出了這道試 題的一個證明和推廣。筆者對這個結(jié)構(gòu)優(yōu)美、內(nèi)涵豐富的齊次分式不等式再作進(jìn) 坯探究”供參考。1試題變形根據(jù)不等式是齊次的特點可將上述待證不等式作適當(dāng)變形,得ac2ac+ba+ba2ba+cb+cb2cb+ac>32o令ba二x , cb二y , ac=z ,則上述不等式等價于下列結(jié)論:若正實數(shù) x,y,z

2、 滿足 xyz二 1,則 x2x+y+y2y+z+z2z+x>32o2解法薈萃證明 1 : x2x+y+y2y+z+z2z+x>32 (2x)2x+y+(2y)2y+z+(2z)2z+x>6o 由基本不等式a2 + b2>2ab在b0時變形，得a2b>2a - b ,因此 (2x)2x+y+(2y)2y+z+(2z)2z+x>4x - (x+y)+4y - (y+z)+4z - (z+x)>2(x+y+z)>63xyz=6o證明2 :由a - b22>0在b0時變形，得a2b>a - b4 ,于是x2x+y+y2y+z+z2z+x&g

3、t;x - x+y4+y - y+z4+z - z+x4=x+y+z2>33xyz2=32o證明3 :利用簡單的均值不等式a2a+b+a+b4na z得x2x+y+x+y4>x f y2y+z+y+z4>y f z2z+x+z+x4>zo上述三式相加 / 得 x2x+y+y2y+z+z2z+x>x+y+z2>33xyz2=32o證明4:利用柯西不等式z得 x2x+y+y2y+z+z2z+xn（x+y+z）2x+y+y+z+z+x 二 x+y+z2n33xyz2=32。3追根溯源在上述證明中我們獲得了一個中間不等式x2x+y+y2y+z+z2z+xnx+y+z

4、2,由此自然聯(lián)想到一道友誼杯國際邀請賽不等式試題:已知 x,y,z 是正數(shù),則 x2y+z+y2z+x+z2x+y>x+y+z2o （ 1998 年第二屆友誼 杯國際數(shù)學(xué)邀請賽）由對稱性不妨設(shè)xnynz ,則有 x2>y2>z2 , ly+z>lz+x>lx+yo 由排序不等式,得 x2y+z+y2z+x+z2x+ynx2x+y+y2y+z+z2z+x, 故本題是對友誼杯邀請賽不等式的一個加強。另外,注意到 x2y+z+y2z+x+z2x+y>x+y+z2 xy+z+yz+x+zx+y>32o 而后一個不等式就是著名的Nesbitt不等式： 已知 x,

5、y,zeR+ ,求證 xy+z+yz+x+zx+yn32。（Nesbittl903o 1963莫斯科數(shù)學(xué)競賽）因此2009年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽不等式的本質(zhì)是Nesbitt不等式一個加強 版。4.探究拓展采用上述證明方法,同樣可證得x2x+y+y2z+x+z2y+z>32o由排序不等式, 得x2x+y+y2y+z+z2z+xnx2x+y+y2z+x+z2y+z ;x2y+z+y2z+x+z2x+ynx2x+y+y2z+x+z2y+z ;x2z+x+y2x+y+z2y+znx2x+y+y2z+x+z2y+z;x2y+z+y2x+y+z2z+xnx2x+y+y2z+x+z2y+z;x2z+x

6、+y2y+z+z2x+ynx2x+y+y2z+x+z2y+z。將ba二x , cb二y , ac二z回代，可得到這個賽題的四個類似不等式和一個加強不等 式：若a,b,c是正實數(shù)，則b3ca2(c2+ab)+c3b(c2+ab)+a3bc2(b2+ca)>32; a2bc(c2+ab)+b2ca(a2+bc)+c2ab(b2+ca)>32; a3c(a2+bc) + b3ca2(c2+ab)+c2ab(b2+ca)>32; c3b(c2+ab)+a3bc2(b2+ca)+b2ca(a2 + bc)>32;b3a(b2+ca)+ac3b2(a2 + bc)+a2bc(c2+ab)>32o另外,可將這一問題推廣至n元情形：命題已知xiwR+(i二12,n),求證：x31x2(x21+xnx2)+x32x3(x22+xlx3)+x33x4(x23+x2x4)+.+x3n - lxn(x2n-1+xn - 2xn)+x3nxl(x2n+xn - lxl)>n2。證明：利用柯西不等式的變式，得xlx22xnxl+xlx2+x2x32xlx2+x2x3+.+xnxl2x n-lxl+x nxlnxlx2+x2x3+.+xnxl22xlx2+x2x3+.+