利用正余弦定理的巧妙解決三角形中的最值問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 利用正余弦定理的巧妙解決三角形中的最值問題已知一邊和其對角，求三角函數(shù)一些表達式的最值問題，三角形中的范圍問題是一類重要的問題，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，通常解決有兩種思路，一是正弦定理與輔助角相結(jié)合，二是余弦定理與基本不等式相結(jié)合。本文進行從題型上歸納總結(jié)， 注重方法的引領(lǐng)的提高。題目的基本設(shè)問題方式是：已知分別為三個內(nèi)角的對邊，求，的范圍題型一 求周長的范圍或最值 變式： 的取值范圍的取值范圍, 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，.（1）求的大??；（2）若=7，求的周長的取值范圍試題解析：（1）由正弦定理得：（2）由已知：，由余弦定理（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），又.從而的周長的取值

2、范圍是2若的圖像與直線相切，并且切點橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列.（）求和的值； （）中、分別是、的對邊。若是函數(shù) 圖象的一個對稱中心，且=4，求周長的取值范圍解：（1）= 3分由題意，函數(shù)的周期為，且最大（或最?。┲禐?，而,所以， 6分（2）（是函數(shù)圖象的一個對稱中心 又因為A為ABC的內(nèi)角，所以 ABC中， 則由正弦定理得：， b+c+a3.ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC()求C的大??；()若c=3，求ABC周長的最大值【解析】()ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，(2a+b)sinA+(2b+a)si

3、nB=2csinC由已知，得(2a+b)a2R+(2b+a)b2R=2cc2R，即a2+b2-c2=-ab，cosC=a2+b2-c22ab=-12，由0<C<，C=23()c=3，asinA=bsinB=332，a=2sinA，b=2sinB設(shè)周長為l，則l=a+b+c=2sinA+2sinB+3=2sinA+2sin(3-A)+3=2sinA+2sin3cosA-2cos3sinA+3=sinA+3cosA+3=2sin(A+3)+30<A<3，23<2sin(A+3)+32+3，ABC周長的最大值為2+3方法二：由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，解之得，

4、所以，ABC周長的最大值為2+35. (2013江西，理16)(本小題滿分12分)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大??； (2)若ac1，求b的取值范圍解：(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Acos B0，即有sin Asin Bsin Acos B0，因為sin A0，所以sin Bcos B0，又cos B0，所以tan B，又0B，所以.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.因為ac1，cos B，有.又0a1，于是有b21，即有b1.4.在銳角ABC中，邊長a=1，b=

5、2，則邊長c的取值范圍是_.解析：若c是最大邊，則cosC0.0，c.又cba=1，1c.題型二 求面積的范圍或最值 變式： 的取值范圍 的取值范圍1.(2013課標全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以.(2)ABC的面積.由已知及余弦定理得4a2c2.又a2c22ac，故，當(dāng)且僅當(dāng)ac時

6、，等號成立因此ABC面積的最大值為.2. (2014新課標)16已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且,則面積的最大值為_.解析：，且，,由，,面積的最大值為3 (2013浙江)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asin Bb.(1)求角A的大??；(2)若a6，bc8，求ABC的面積解：(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因為A是銳角，所以.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以.由三角形面積公式Sbcsin A，得ABC的面積為.題型三 其它表達式的范圍 如： 的取值范圍的取值范圍，利用公式：1 (2013重慶，文18)在

7、ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2b2c2bc.(1) 求A；(2)設(shè)，S為ABC的面積，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此時B的值解：(1)由余弦定理得cos A.又因0A，所以.(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin A··asin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，當(dāng)BC，即時，S3cos Bcos C取最大值3.2 (2013重慶，理18)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且,（I）求角的大??；（II）設(shè)，S為A

8、BC的面積，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此時B的值解（I） ,（II）由( I）得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin A··asin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，當(dāng)BC，即時，S3cos Bcos C取最大值3.題型四 求表達式的范圍 如：的取值范圍1 已知向量為的內(nèi)角，其所對的邊分別為（1）當(dāng)取得最大值時，求角的大??；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，求的取值范圍解：（1），當(dāng)，即時，取得最大值； -5分（2）由， ， 的取值范圍為. 題型五 求其它表達式的范

9、圍 1在中，若，則的最大值 解：因為，所以因為 ，所以,所以 所以，解得：，所以由正弦定理： 所以其中 所以當(dāng)時，有最大值.所以答案應(yīng)填：.解法二：由余弦定理可得，,，由柯西不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.2 設(shè)的三邊為滿足（）求的值； （）求的取值范圍【解析】：（1），所以，所以，所以所以，即 所以，所以（2）= = =，其中 因為，且 所以，所以 題型六 求其它表達式的范圍 利用放縮法求角度的范圍1（2012安徽卷理）（15）設(shè)的內(nèi)角所對的邊為；則下列命題正確的是若；則 若；則 若；則 若；則若；則【解析】正確的是 當(dāng)時，與矛盾 取滿足得： 取滿足得：解析：對于，由abc2可得故，正確

10、；對于，由ab2c可得，故故，正確；對于，由a3b3c3可得，故a2b2c2a2b2又a3b3c3，故ca，cb，故，故a2b2c2故，正確；對于，故故，不正確；對于，由(a2b2)c22a2b2可得故，不正確綜上可知，正確2.中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是_（寫出正確命題的編號）.總存在某內(nèi)角，使；若，則；存在某鈍角，有；若，則的最小角小于；若，則.來源:學(xué)【分析】通過討論三角形的形狀來判斷；構(gòu)造函數(shù)f（x）=（0x），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，從而得到BA，即可判斷；由兩角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，從而推斷；將，化簡整理運用不共線結(jié)論，得到2

11、a=b=c，再運用余弦定理求出cosA，即可判斷；構(gòu)造函數(shù)f（x）=tsinxsin（tx），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運用單調(diào)性得到tsinBsin（tB），又sinAtsinB，再根據(jù)和差化積公式，結(jié)合角的范圍即可判斷解：若cos，則0，若ABC為直角三角形，則必有一內(nèi)角在（0，若為銳角ABC，則必有一個內(nèi)角小于等于，若為鈍角三角形ABC，則必有一個內(nèi)角小于，故總存在某內(nèi)角，使cos；故正確；設(shè)函數(shù)f（x）=（0x），則導(dǎo)數(shù)f（x）=，若，則f（x）0，又AsinBBsinA，即BA，若0x，則由于tanxx，故f（x）0，即有BA，故不正確；在斜三角形中，由tan（A+B）=tanC，得tanA+tanB

12、+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC0，即tanAtanBtanC0，即A，B，C均為銳角，故不正確；若2a+b+c=，即2a（），即（2ab）=（2ac），由于不共線，故2ab=2ac=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA=，故最小角小于，故正確；若atb（0t1），則由正弦定理得，sinAtsinB，令f（x）=tsinxsin（tx），則f（x）=tcosxtcos（tx），由于0txx，則cos（tx）cosx，即f（x）0，tsinxsin（tx）即tsinBsin（tB），故有sinAsin（tB），即2cossin0，故有AtB，故正確故答

13、案為：3、(1)在中，分別是角的對邊，其中是邊上的高，證明：(2)在中，是邊上的高，已知，并且該三角形的周長是；求證：；求此三角形面積的最大值證明：（1）要證明，即證明，利用正余弦定理即證明，即證明：因為,即證明(2)，使用正弦定理，解得：，于是：，最大值4.(2014重慶，理10)已知ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面積S滿足1S2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8 Bab(ab) C6abc12 D12abc24答案：A解析：由sin 2Asin(ABC)sin(CAB)得，sin 2AsinA(BC)sinA(BC)，所以sin 2A2sin Acos(BC).所以2sin Acos Acos(BC)，所以2sin Acos(BC)cos(BC)，所以2sin Aco