典型極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題帶答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題 1在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為4(R R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積 解：(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2， C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40. (2)將4代入22cos 4sin 40，得23240，解得122，22.故122，即|MN|2. 由于C2的半徑為 1，所以C2MN的面積為1

2、2. 4(2014遼寧，23，10 分，中)將圓x2y21 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，得曲線(xiàn)C. (1)寫(xiě)出C的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線(xiàn)l：2xy20 與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為C上點(diǎn)(x，y)，依題意，得 xx1，y2y1， 由x21y211 得x2y221. 即曲線(xiàn)C的方程為x2y241. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 故C的參數(shù)方程為 xcos t，y2sin t(t為參數(shù)) (2)由x2y241，2xy

3、20解得 x1，y0或 x0，y2. 不妨設(shè)P1(1， 0)，P2(0，2)，則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為12，1 ，所求直線(xiàn)斜率為k12，于是所求直線(xiàn)方程為y112x12.化為極坐標(biāo)方程，并整理得 2cos 4sin 3， 即34sin 2cos . (2)(2015吉林長(zhǎng)春二模，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為cos31，M，N分別為曲線(xiàn)C與x軸，y軸的交點(diǎn) 寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； 設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線(xiàn)OP的極坐標(biāo)方程 【解析】 (1)將 2cos2sin 兩邊同乘以，得 2(cos )2sin

4、 ，化為直角坐標(biāo)方程為 2x2y， C2：cos 1 化為直角坐標(biāo)方程為x1， 聯(lián)立可解得 x1，y2， 所以曲線(xiàn)C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，2) (2)cos31， 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) cos cos3sin sin31. 又 xcos ，ysin ，12x32y1， 即曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x3y20. 令y0，則x2；令x0，則y233. M(2，0)，N0，233. M的極坐標(biāo)為(2，0)，N的極坐標(biāo)為233，2. M，N連線(xiàn)的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為1，33， P的極角為6. 直線(xiàn)OP的極坐標(biāo)方程為6(R R) 注：極坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)表示不唯一 【點(diǎn)撥】 解答題

5、(1)的關(guān)鍵是掌握直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法；題(2)先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問(wèn)題求解，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo) (2013課標(biāo)，23，10 分)已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 x45cos t，y55sin t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為2sin . (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0，02) 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 【解析】 (1)將 x45cos t，y55sin t消去參數(shù)t，化為普通方程為(x4)2(y5)225， 即C1：x2y28x10y160. 將 xcos ，ysin 代入x2y28

6、x10y160，得 28cos 10sin 160. 所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160. (2)C2的普通方程為x2y22y0. 聯(lián)立C1，C2的方程 x2y28x10y160，x2y22y0， 解得 x1，y1或 x0，y2. 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2，4，2，2. 【點(diǎn)撥】 本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解 (2012遼寧，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24. (1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓C1

7、，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程 解：(1)由xcos ，ysin ，x2y22知圓C1的極坐標(biāo)方程為2，圓C2的極坐標(biāo)方程為4cos . 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 解 2，4cos 得2，3， 故圓C1與圓C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為2，3，2，3. 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一 (2)方法一： 由 xcos ，ysin 得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1， 3)， (1， 3) 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 x1，yt(3t3) 或參數(shù)方程寫(xiě)成 x1，yy，3y3 方法二：將x1 代入 xcos ，

8、ysin ， 得cos 1，從而1cos . 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 x1，ytan 33. 5(2015河北邯鄲二模，23，10 分)已知圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x1232t，y1212t(t為參數(shù))，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為22，4，設(shè)直線(xiàn)l與圓C交于點(diǎn)P，Q. (1)寫(xiě)出圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)求|AP|AQ|的值 解：(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為2cos ， 所以22cos ， 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 將其轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2y22x， 即(x1)2y21. (2)由點(diǎn)A的極坐標(biāo)22，4得直角坐標(biāo)為A12，12. 將直線(xiàn)l的參數(shù)

9、方程x1232t，y1212t(t為參數(shù))代入圓C的直角坐標(biāo)方程(x1)2y21，得t2312t120. 設(shè)t1，t2為方程t2312t120 的兩個(gè)根，則t1t212， 所以|AP|AQ|t1t2|12. 2(2015課標(biāo)，23，10 分，中)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1： xtcos ，ytsin ，(t為參數(shù)，t0)，其中 0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：2sin ，C3：23cos . (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值 解：(1)曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0， 曲線(xiàn)C3的直角

10、坐標(biāo)方程為x2y223x0. 聯(lián)立x2y22y0，x2y223x0， 解得 x0，y0或x32，y32. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和32，32. (2)曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為(R R，0)，其中 0. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(23cos ，) 所以|AB|2sin 23cos | 4sin3. 當(dāng)56時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為 4. 3(2015陜西，23，10 分，易)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x312t，y32t(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為

11、23sin . (1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程； (2)P為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo) 解：(1)由23sin ，得 223sin ， 從而有x2y223y， 所以x2(y3)23. (2)設(shè)P312t，32t，又C(0，3)， 則|PC|312t232t32t212， 故當(dāng)t0 時(shí)，|PC|取得最小值， 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3，0) 5(2014課標(biāo)，23，10 分，中)在直線(xiàn)坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，0，2. (1)求C的參數(shù)方程； (2)設(shè)點(diǎn)D

12、在C上，C在D處的切線(xiàn)與直線(xiàn)l：y3x2 垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo) 解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1) 可得C的參數(shù)方程為 x1cos t，ysin t(t為參數(shù)，0t) (2)設(shè)D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1 為半徑的上半圓因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線(xiàn)與l垂直，所以直線(xiàn)GD與l的斜率相同，tan t3，t3. 故D的直角坐標(biāo)為1cos 3，sin3，即32，32. 7(2013課標(biāo)，23，10 分，中)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線(xiàn)C： x2cos t，y2sin t(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)

13、(1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)， 因此M(cos cos 2，sin sin 2) M的軌跡的參數(shù)方程為 xcos cos 2，ysin sin 2(為參數(shù)，02) 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 dx2y222cos (02) 當(dāng)時(shí)，d0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) (2014課標(biāo)，23，10 分)已知曲線(xiàn)C：x24y291.直線(xiàn)l： x2t，y22t(t為參數(shù)) (1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，直線(xiàn)l的普通方

14、程； (2)過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為 30的直線(xiàn)，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值 【思路導(dǎo)引】 (1)由基本關(guān)系式可消參求出普通方程；(2)把|PA|用參數(shù)來(lái)表示，從而求其最值 【解析】 (1)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 x2cos ，y3sin (為參數(shù)) 直線(xiàn)l的普通方程為 2xy60. (2)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為 d55|4cos 3sin 6|. 則|PA|dsin 30255|5sin()6|，其中為銳角，且 tan 43. 當(dāng) sin()1 時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為2255. 當(dāng) sin()1 時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為25

15、5. (2013遼寧，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C1，直線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin ，cos422. (1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)； 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) (2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，已知直線(xiàn)PQ的參數(shù)方程為xt3a，yb2t31(tR R 為參數(shù))，求a，b的值 【解析】 (1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24， 直線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為xy40. 解 x2（y2）24，xy40得 x10，y14， x22，y22. 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為4，2，22，4. 注：極坐標(biāo)

16、系下點(diǎn)的表示不唯一 (2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，2)，(1，3)故直線(xiàn)PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20. 由參數(shù)方程可得yb2(xa)1b2xab21， 所以b21，ab212， 解得a1，b2. 【點(diǎn)撥】 解答本題的關(guān)鍵是明確轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，即把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把參數(shù)方程化為普通方程求解問(wèn)題 2011課標(biāo)全國(guó)，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 x2cos ，y22sin (為參數(shù))，M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足OP2OM，P點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C2. (1)求C2的方程； 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸

17、為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|. 解：(1)設(shè)P(x，y)， 則由條件知Mx2，y2. 由于M點(diǎn)在C1上，所以x22cos ，y222sin ， 即 x4cos ，y44sin . 從而C2的參數(shù)方程為 x4cos ，y44sin (為參數(shù)) (2)C1化為普通方程為x2(y2)24，故曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，同理可得曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為8sin . 射線(xiàn)3與C1的交點(diǎn)A的極徑為 14sin323， 射線(xiàn)3與C2的交點(diǎn)B的極徑為 28sin343. 所以|AB|21|23. 5(2014遼寧錦州一模，23，10 分)已知

18、圓的極坐標(biāo)方程為242cos(4)60. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) (1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程； (2)若點(diǎn)P(x，y)在該圓上，求xy的最大值和最小值 解：(1)原方程變形為24cos 4sin 60， 化直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22. (2)設(shè)圓的參數(shù)方程為x22cos ，y22sin (為參數(shù))，點(diǎn)P(x，y)在圓上， 則xy42sin4. 所以xy的最大值為 6，最小值為 2. 6(2015山西太原聯(lián)考，23，10 分)已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為23，6，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為223sin 1. (1)寫(xiě)出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程； (2)若Q為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線(xiàn)l： x32t，y2t(t為參數(shù))距離的最