勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固(相當(dāng)經(jīng)典-不容錯(cuò)過(guò))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固(學(xué)習(xí)目標(biāo))1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.(知識(shí)網(wǎng)絡(luò))(要點(diǎn)梳理)要點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問(wèn)題；（3）求作長(zhǎng)度為的線段.要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論

2、和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則ABC是以C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù) 滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.常見(jiàn)的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾

3、股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).(典型例題)類(lèi)型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用1、如圖所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90°，AD，AB，BC，E是AB上一點(diǎn)，且AE，求點(diǎn)E到CD的距離EF

4、(思路點(diǎn)撥)連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長(zhǎng)度，即可求出EF的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H，在RtDCH中利用勾股定理即可求出DC(答案與解析)解：過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H，連接DE、CE，則ADBH，ABDH， CHBCBH DHAB，在RtCDH中， CD25， 又 ， ， EF10(總結(jié)升華)（1）多邊形的面積可通過(guò)輔助線轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡(jiǎn)易方法（2）利用勾股定理求邊長(zhǎng)、面積時(shí)要注意邊長(zhǎng)、面積之間的轉(zhuǎn)換 舉一反三：(變式)如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)

5、，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的長(zhǎng)(答案)解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90°在RtADC中，類(lèi)型二、勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問(wèn)在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？(思路點(diǎn)撥)作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB，交CD于點(diǎn)E，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對(duì)稱性知GB的長(zhǎng)為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決(答案與解析)解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)

6、G，連接GB交CD于點(diǎn)E，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可以知道在E點(diǎn)處飲水，所走路程最短說(shuō)明如下：在直線CD上任意取一異于點(diǎn)E的點(diǎn)I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點(diǎn)G、A關(guān)于直線CD對(duì)稱， AIGI，AEGE由“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長(zhǎng)，自點(diǎn)B作CD的垂線，自點(diǎn)G作BD的垂線交于點(diǎn)H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米(總結(jié)升華)這是一道有關(guān)極值的典型題目解決這類(lèi)題目，一方面要考慮“兩點(diǎn)之間線段最短”；另一

7、方面，證明最值，常常另選一個(gè)量，通過(guò)與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來(lái)證明，如本題中的I點(diǎn)本題體現(xiàn)了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用舉一反三：(變式)如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE3，EB1，在AC上有一點(diǎn)P，使EPBP最短求EPBP的最小值(答案)解：根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根據(jù)勾股定理得： ED0， ED5， 最短距離EPBP53、等腰直角ABC中，ACB90°，E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且ECF45°，如圖所示：?jiǎn)?/p>

8、AE、EF、BF之間有何關(guān)系?并說(shuō)明理由(思路點(diǎn)撥)：由于ACB90°，ECF45°，所以ACEBCF45°，若將ACE和BCF合在一起則為一特殊角45°，于是想到將ACE旋轉(zhuǎn)到BCF的右外側(cè)合并，或?qū)CF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個(gè)直角，聯(lián)想勾股定理而可得到AE、EF、BF之間的關(guān)系(答案與解析)解：(1)，理由如下： 將BCF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得ACF，使BCF的BC與AC邊重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB90°，ACBC， CAFB45°， EAF90° ECF45°，

9、 ACEBCF45° ACFBCF， ECF45° 在ECF和ECF中： ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中， (總結(jié)升華)若一個(gè)角的內(nèi)部含有同頂點(diǎn)的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個(gè)半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識(shí)解決問(wèn)題4、已知：如圖，ABC中，CAB120°，AB4，AC2，ADBC，D是垂足，求AD的長(zhǎng)(答案與解析)解：作CEAB于E，則CAE180°120°60°，在RtACE

10、中，CEA90°，AC2，ACE30°由勾股定理可得BEABAE415在RtACE中，BC由三角形面積公式：. (總結(jié)升華)勾股定理要在直角三角形中才能應(yīng)用，沒(méi)有直角三角形要構(gòu)造直角三角形.類(lèi)型三、本章中的數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪牵蜻M(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決5、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE12，CF5求線段EF的長(zhǎng).(答案與解析)解：連接AD因?yàn)锽AC90°，ABAC又因?yàn)?AD為ABC的中線，所以

11、 ADDCDBADBC且BADC45°因?yàn)镋DAADF90°又因?yàn)镃DFADF90°所以EDACDF所以AEDCFD（ASA）所以 AEFC5同理：AFBE12在RtAEF中，由勾股定理得：，所以EF13.(總結(jié)升華)此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí).通過(guò)此題，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解.舉一反三：(變式)已知凸四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，ADDC，求證： (答案)解：將ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°由于DCAD，故點(diǎn)A轉(zhuǎn)至點(diǎn)C

12、點(diǎn)B轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，連結(jié)BE BDDE，BDE60° BDE為等邊三角形，BEBD易證DABDCE，A2，CEAB 四邊形ADCB中ADC60°，ABC30° A1360°60°30°270° 121A270° 3360°(12)90° 2.方程的思想方法6、如圖所示，已知ABC中，C90°，A60°，求、的值. (答案與解析)解：在RtABC中，A60°，B90°A30°，則 ，由勾股定理，得.因?yàn)?，所以，.(總結(jié)升華)在直角三角形中，30

13、6;角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.舉一反三：(變式)直角三角形周長(zhǎng)為12，斜邊長(zhǎng)為5，求直角三角形的面積.(答案)解：設(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是，根據(jù)題意得：由（1）得：，即 (3)(3)(2)，得：直角三角形的面積是×126（）(鞏固練習(xí))一.選擇題1. 在中，若，則ABC是（ ）A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形2. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A90° B60° C45° D30°3在下列說(shuō)法中是錯(cuò)誤的（ ） A在ABC中，CA一B，則ABC為直角

14、三角形 B在ABC中，若A：B：C5：2：3，則ABC為直角三角形 C在ABC中，若，則ABC為直角三角形 D在ABC中，若a：b：c2：2：4，則ABC為直角三角形4若等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和6，則底邊上的高等于( )A. B.或 C. D.或5. 若三角形的三邊長(zhǎng)分別等于，則此三角形的面積為（ ）A. B. C. D.6如圖，RtABC中，C90°，CDAB于點(diǎn)D，AB13，CD6，則ACBC等于( )A.5 B. C. D.7. 已知三角形的三邊長(zhǎng)為，由下列條件能構(gòu)成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.8. 如圖，已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，B

15、CDC5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PAPD取最小值時(shí)，APD中邊AP上的高為（ ）A. B. C.D.3二.填空題9. 如圖，平面上A、B兩點(diǎn)處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點(diǎn)C在A的東南方向，在B的西南方向.甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30min.結(jié)果甲螞蟻用了2 min，乙螞蟻2分40秒到達(dá)C處分享食物，兩只螞蟻原來(lái)所處地點(diǎn)相距_.10如圖，AB5，AC3，BC邊上的中線AD2，則ABC的面積為_(kāi)11如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB6，BC8，將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD_12ABC中，ABAC13，若AB邊上的高C

16、D5，則BC_13如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1和3，高為6如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_,如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_.14已知：ABC中，AB15，AC13，BC邊上的高AD12，BC_15. 已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)16. 如圖所示，在ABC中，AB5，AC13，BC邊上的中線AD6，BC_.三.解答題17.如圖所示，已知D、E、

17、F分別是ABC中BC、AB、AC邊上的點(diǎn)，且AEAF，BEBD，CFCD，AB4，AC3，求：ABC的面積18有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)19. 有一塊直角三角形紙片, 兩直角邊AC 6, BC 8, 如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊, 使直角邊AC落在斜邊AB上, 且與AB重合, 則CD _. ACBD 圖1 圖2 如圖2，若將直角C沿MN折疊, 使點(diǎn)C落在AB中點(diǎn)H上, 點(diǎn)M、N分別在AC、BC上, 則、與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。20. 如圖1，四根長(zhǎng)度一定的木

18、條，其中AB6，CD15，將這四根木條用小釘絞合在一起，構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD（在A、B、C、D四點(diǎn)處是可以活動(dòng)的）?，F(xiàn)固定AB邊不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它的形狀改變，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中有以下兩個(gè)特殊位置。位置一：當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)C在線段AD上（如圖2）；位置二：當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，C90°（1）在圖2中，若設(shè)BC的長(zhǎng)為，請(qǐng)用的代數(shù)式表示AD的長(zhǎng)；（2）在圖3中畫(huà)出位置二的準(zhǔn)確圖形；（各木條長(zhǎng)度需符合題目要求）（3）利用圖2、圖3求圖1的四邊形ABCD中，BC、AD邊的長(zhǎng)(答案與解析)一.選擇題1.(答案)D；(解析)因?yàn)?，所以，由勾股定理的逆定理可知：ABC是直角三

19、角形2.(答案)C；(解析)連接AC，計(jì)算ACBC ,AB,根據(jù)勾股定理的逆定理，ABC是等腰直角三角形，ABC45°.3.(答案)D；(解析)D選項(xiàng)，故不是直角三角形.4.(答案)D； (解析)底邊可能是4，也可能是6，故由勾股定理，底邊上的高為或.5.(答案)B；(解析)因?yàn)椋源巳切螢橹苯侨切?，面積為.6(答案)B；(解析)1692×13×6325.7.(答案)B； (解析).8.(答案)C；(解析)如圖，過(guò)D點(diǎn)作DEBC于E,則DEAB，ADBE，ECBCBE3，在RtCDE中，DE,延長(zhǎng)AB至F，使ABBF，連接DF，交BC于P點(diǎn)，連接AP，這時(shí)候

20、PAPD取最小值，ADBC，B是AF中點(diǎn)，BP.在RtABP中，AP.二.填空題9(答案)100；(解析)依題知AC60，BC80， AB100.10(答案)6；(解析)延長(zhǎng)AD到E，使DEAD，連結(jié)BE，可得ABE為直角三角形11.(答案)3；(解析)設(shè)點(diǎn)B落在AC上的E點(diǎn)處，設(shè)BD，則DEBD，AEAB6，CE4，CD8，在RtCDE中根據(jù)勾股定理列方程12(答案)或； (解析)當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，；當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，.13(答案)10； (解析)最短繞一圈，需要，繞圈需要.14(答案)14或4；當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，BC9514；當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，BC954.15.(答案)(3，4)；(2，4)；(8，4)(解析)以O(shè)為等腰三角形的頂點(diǎn)，作等腰三角形，因?yàn)?，所以由勾股定理求得，所以，同理，以D為以O(shè)為等腰三角形的頂點(diǎn)，可求