利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項的九種類型及解法

1、利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項的九種類型及解法1.形如型（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下： 由 得：時，所以各式相加得 即：.為了書寫方便，也可用橫式來寫： 時，=.例 1. （2003天津文） 已知數(shù)列an滿足,證明證明：由已知得： = .例2.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式. 答案：例3.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式. 答案： 評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組

2、求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例4.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.2.形如型（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時數(shù)列為等比數(shù)列，=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法. 由得 時，=f(n)f(n-1). 例1.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時，=.評注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式

3、）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.例2.已知,求數(shù)列an的通項公式.解：因為所以故又因為,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進一步轉(zhuǎn)化為形式，進而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項公式.3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項來分求通項.例1. 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式.分析 1：構(gòu)造 轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時,各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時，

4、.此時當(dāng)n為奇數(shù)時，此時,所以.故 解法2：時，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列. 評注：結(jié)果要還原成n的表達式.例2.（2005江西卷）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項公式.解：方法一：因為以下同例1，略答案 4.形如型（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.例1. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項公式.注：同上例類似，略.5形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)

5、列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項公式有時我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進而求得通項公式. ,再利用類型(1)即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例1已知數(shù)列中，求通項.分析：兩邊直接加上,構(gòu)造新的等比數(shù)列。解：由得,所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以,即 . 方法二：由 時，兩式相減得 ,數(shù)列是以=為

6、首項，以c為公比的等比數(shù)列.=( .方法三：迭代法由 遞推式直接迭代得=.方法四：歸納、猜想、證明.先計算出,再猜想出通項,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.注：請用這三種方法來解例題，體會并比較它們的不同.6.形如型.(1)若(其中k,b是常數(shù)，且)方法：相減法例1. 在數(shù)列中，求通項.解：， 時，兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知即 再由累加法可得.亦可聯(lián)立 解出.例2. 在數(shù)列中，,求通項.解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為. 即：故.(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i.

7、 兩邊同除以.即： ,令，則,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.例1.（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且證明對任意1，；證法1：兩邊同除以（-2）,得令,則=.證法2：由得 .設(shè)，則b. 即：,所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.則=,即：,故 .評注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項問題.證法3：用待定系數(shù)法設(shè), 即:,比較系數(shù)得：,所以 所以,所以數(shù)列是公比為2，首項為的等比數(shù)列. 即 .方法4：

8、本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證.（i）當(dāng)n=1時，由已知a1=12a0，等式成立； ( ii)假設(shè)當(dāng)n=k（k1）等式成立，則 那么 也就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立. 根據(jù)（i）和（ii），可知等式對任何nN，成立. 規(guī)律： 類型共同的規(guī)律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.7.形如型（1）即 取倒數(shù)法.例1. 已知數(shù)列中，求通項公式。 解：取倒數(shù)： 例2.（湖北卷）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足（）證明分析：本題看似是不等式問題，實質(zhì)就是求通項問題.證：當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時有，評注：本題結(jié)合不等式的

9、性質(zhì)，從兩邊取倒數(shù)入手，再通過裂項求和即可證得.2.形如型方法：不動點法:我們設(shè),由方程求得二根x,y,由有同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.例1. 設(shè)數(shù)列an滿足,求an的通項公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對等式兩端同時加參數(shù)t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項為，公比為的等比數(shù)列, =, 解得.方法2：，兩邊取倒數(shù)得，令b，則b,轉(zhuǎn)化為類型5來求. 8.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時 用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.解：把變形為.則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則 利用類型6的方法可得 .（2）當(dāng)時 用待定系數(shù)法.例2. 已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.解：令,即,與已知比較，則有,故或下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運算，即有,則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，故,即,利用類型 的方法，可得. 評注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.9. 形如(其中p,r為常數(shù))型（1）p>0， 用對數(shù)法.例1. 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等