第7章 塑性力學基礎(chǔ)

1、7-1 7-1 引言引言7-2 7-2 屈服條件屈服條件7-3 Drucker7-3 Drucker公設與加載條件公設與加載條件7-4 7-4 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系7-1 7-1 引言引言一一. . 金屬材料的力學試驗金屬材料的力學試驗 不同材料在單向拉壓實驗中，有不同的應力應變曲線。不同材料在單向拉壓實驗中，有不同的應力應變曲線。1. 1. 單向拉壓試驗單向拉壓試驗對于軟鋼（如低碳鋼）對于軟鋼（如低碳鋼）:OAB 在在OA段，只要在段，只要在A前卸載均不會前卸載均不會產(chǎn)生殘余變形，產(chǎn)生殘余變形，ep（1）彈性階段與彈性極限）彈性階段與彈性極限 因此為彈性階段，因此為彈性階段，其極限值為其

2、極限值為e 稱為彈性極限；稱為彈性極限； 其中的其中的OA1段為段為直線段，即線彈性，直線段，即線彈性，A1其極限值為其極限值為p 稱為比例極限。稱為比例極限。 其斜率其斜率E 稱為彈性模量。稱為彈性模量。（2）屈服階段與屈服極限）屈服階段與屈服極限CsOABepA1 過過A點，在點，在AB段內(nèi)應力不增加段內(nèi)應力不增加（d 0），應變繼續(xù)增加，稱為），應變繼續(xù)增加，稱為屈服（流動）；屈服（流動）； 在段內(nèi)任一點（如在段內(nèi)任一點（如B1）卸載，）卸載，B1將沿平行于將沿平行于OA的直線路徑回到的直線路徑回到B2點，點，B2產(chǎn)生塑性應變產(chǎn)生塑性應變 p。 p 該階段稱為屈服階段（塑性流該階段稱為屈

3、服階段（塑性流動階段），取階段中最小值動階段），取階段中最小值s 為特為特征值征值，稱為初始屈服極限。，稱為初始屈服極限。 因因 s 、e 、p 相差不大，工程上三者通用，塑性分析中一相差不大，工程上三者通用，塑性分析中一般采用般采用s。（3）強化階段與后繼屈服極限）強化階段與后繼屈服極限（或初始屈服點、屈服極限、屈服點）（或初始屈服點、屈服極限、屈服點） 過過B點，點，BC段應力和應變同時增加，稱為強化階段，段內(nèi)任段應力和應變同時增加，稱為強化階段，段內(nèi)任一點的斜率一點的斜率E1稱為強化模量。稱為強化模量。在段內(nèi)任一點（如在段內(nèi)任一點（如D點）卸載，點）卸載，D 將將沿平行于沿平行于OA的直

4、線路徑回到的直線路徑回到E點，點，E p產(chǎn)生塑性應變產(chǎn)生塑性應變 p；再從再從E點加載，將沿點加載，將沿ED直線路徑，直線路徑， 到到D點后再次屈服。點后再次屈服。D點對應的應力值點對應的應力值s稱為后繼屈服稱為后繼屈服極限。極限。s 可理解為二次加載的屈服極可理解為二次加載的屈服極限，故又稱加載應力或加載點。限，故又稱加載應力或加載點。 顯然，顯然，s s ，屈服極限升高，屈服極限升高，故稱強化。但其升高的程度取決于故稱強化。但其升高的程度取決于塑性變形程度（即加載變形歷史）。塑性變形程度（即加載變形歷史）。D點的應變點的應變pe eCsOABDE p（4）反向加載與鮑辛格效應）反向加載與鮑

5、辛格效應 對于壓縮試驗，如果在屈服后對于壓縮試驗，如果在屈服后無卸載，與拉伸性質(zhì)相似。無卸載，與拉伸性質(zhì)相似。 對于無明顯屈服階段的材料（如對于無明顯屈服階段的材料（如合金鋼），合金鋼）， 如果在屈服后（如如果在屈服后（如D點）卸載，并反向加載，點）卸載，并反向加載，s 可取可取 p 0.2% 時的應力值作為初始屈服極限。時的應力值作為初始屈服極限。 對于某些材對于某些材料，反向屈服極限將有所降低。料，反向屈服極限將有所降低。sssss2（絕對值）（絕對值）這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為鮑辛格（鮑辛格（Bauschinger）效應。）效應。 對于均勻材料，一般可忽略。對于均勻材料，一般可忽略。結(jié)論：

6、結(jié)論：O 在彈性階段（在彈性階段（ s），應力應變關(guān)），應力應變關(guān)系一一對應；初始屈服后（系一一對應；初始屈服后（ s） ，應力應變關(guān)系不再是一一對應關(guān)系，而應力應變關(guān)系不再是一一對應關(guān)系，而與加載變形歷史有關(guān)。與加載變形歷史有關(guān)。 對應關(guān)系：對應關(guān)系：彈性階段彈性階段加載（加載（ d 0）：）： E卸載（卸載（ d 0）：）： E屈服階段屈服階段d 0 ; s ; d 0強化階段強化階段加載（加載（ d 0）：）： ( )卸載（卸載（ d 0）：）： E d 02. 2. 靜水壓力試驗靜水壓力試驗 Bridgman的靜水壓力試驗表明，對于大多數(shù)韌性金屬材料的靜水壓力試驗表明，對于大多數(shù)韌性金

7、屬材料及飽和土：及飽和土：123costp 靜水壓力對靜水壓力對材料屈服極限及其后續(xù)的力學行為影響甚微。材料屈服極限及其后續(xù)的力學行為影響甚微。 屈服后，材料的體積變形基本為彈性，服從胡克定律，且屈服后，材料的體積變形基本為彈性，服從胡克定律，且體積變形與塑性變形相比遠小。體積變形與塑性變形相比遠小。 所以，在塑性分析中，可不用考慮球應力和球應變。所以，在塑性分析中，可不用考慮球應力和球應變。所以，在塑性分析中，可認為體積不可壓縮（所以，在塑性分析中，可認為體積不可壓縮（ ）。）。12（1）（2）二二. . 簡化力學模型簡化力學模型 一般分為理想塑性和強化塑性，具體為：一般分為理想塑性和強化塑

8、性，具體為：1. 1. 理想塑性模型理想塑性模型OssEss 強化性質(zhì)不明顯，屈服階段相對較長強化性質(zhì)不明顯，屈服階段相對較長（如韌性鋼），忽略強化階段。（如韌性鋼），忽略強化階段。（1）理想彈塑性模型：考慮彈性）理想彈塑性模型：考慮彈性Oss（2）理想剛塑性模型：不考慮彈性）理想剛塑性模型：不考慮彈性s2. 2. 強化塑性模型強化塑性模型 強化性質(zhì)明顯，分析中不能忽略。強化性質(zhì)明顯，分析中不能忽略。（1）線性強化彈塑性模型：）線性強化彈塑性模型：OsssEs1ssE（2）線性強化剛塑性模型：）線性強化剛塑性模型：s1sEOs（3）冪強化模型：）冪強化模型：OnA式中，式中，0 n 1當當 n

9、 0 時時A若若 A s，剛塑性剛塑性當當 n 1 時時A若若 A E，理想彈性理想彈性ss E當當 0 n 1 時時介于其間介于其間n 13n 12n 1n 0由由1ddnnA在原點斜率無窮大，不能描述初始加載。在原點斜率無窮大，不能描述初始加載。三三. . 塑性分析內(nèi)容概述塑性分析內(nèi)容概述 從單向拉壓試驗很容易了解單向應力狀態(tài)的應力應變行為從單向拉壓試驗很容易了解單向應力狀態(tài)的應力應變行為的規(guī)律，再利用靜力、幾何和物理關(guān)系可以比較容易地進行彈的規(guī)律，再利用靜力、幾何和物理關(guān)系可以比較容易地進行彈塑性分析。塑性分析。 但對于復雜應力狀態(tài)要了解應力應變行為的規(guī)律，再利用但對于復雜應力狀態(tài)要了解

10、應力應變行為的規(guī)律，再利用靜力、幾何和物理關(guān)系進行彈塑性分析將是很復雜和困難的。靜力、幾何和物理關(guān)系進行彈塑性分析將是很復雜和困難的。 因此參照單向應力狀態(tài)的行為過程對復雜應力狀態(tài)進行相因此參照單向應力狀態(tài)的行為過程對復雜應力狀態(tài)進行相應的研究。應的研究。1. 1. 屈服條件屈服條件 用以判斷某點的應力狀態(tài)是否進入塑性狀態(tài)的準則。用以判斷某點的應力狀態(tài)是否進入塑性狀態(tài)的準則。 對于單向應力狀態(tài)只需判斷其應力（僅一個分量）是否達對于單向應力狀態(tài)只需判斷其應力（僅一個分量）是否達到屈服應力到屈服應力s，但對于復雜應力狀態(tài)（六個分量），其特征值，但對于復雜應力狀態(tài)（六個分量），其特征值為何？各分量的

11、作用如何？為何？各分量的作用如何？2. 2. 加載條件加載條件 用以判斷某點應力狀態(tài)的變化過程是否是加載過程的準則。用以判斷某點應力狀態(tài)的變化過程是否是加載過程的準則。 僅判斷出某點處于塑性狀態(tài)不足以判斷之后的應力應變關(guān)僅判斷出某點處于塑性狀態(tài)不足以判斷之后的應力應變關(guān)系應選用塑性關(guān)系或是彈性關(guān)系，需判斷其過程是加載還是卸系應選用塑性關(guān)系或是彈性關(guān)系，需判斷其過程是加載還是卸載。對于單向應力狀態(tài)僅需用載。對于單向應力狀態(tài)僅需用 d or 0 判斷之。判斷之。3. 3. 強化條件強化條件 用以判斷某點應力狀態(tài)是否是再次屈服的準則。用以判斷某點應力狀態(tài)是否是再次屈服的準則。 對于單向應力狀態(tài)，后繼

12、屈服極限對于單向應力狀態(tài)，后繼屈服極限 s 可由試驗直接得出，可由試驗直接得出，對于復雜應力狀態(tài)以建立初始屈服與后繼屈服的關(guān)系來實現(xiàn)。對于復雜應力狀態(tài)以建立初始屈服與后繼屈服的關(guān)系來實現(xiàn)。4. 4. 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 塑性狀態(tài)下的應力應變關(guān)系。塑性狀態(tài)下的應力應變關(guān)系。5. 5. 塑性問題的求解方法塑性問題的求解方法 在彈性問題求解方法的基礎(chǔ)上，基于塑性本構(gòu)關(guān)系的非線在彈性問題求解方法的基礎(chǔ)上，基于塑性本構(gòu)關(guān)系的非線性而產(chǎn)生的各種求解方法。性而產(chǎn)生的各種求解方法。7-2 7-2 屈服條件屈服條件一一. . 屈服函數(shù)與應力空間屈服函數(shù)與應力空間 對于單向拉伸，其屈服條件顯然是對于單向拉伸

13、，其屈服條件顯然是 s 。1. 1. 屈服函數(shù)的一般形式屈服函數(shù)的一般形式 為便于數(shù)學表達可改寫為為便于數(shù)學表達可改寫為s0( , )0fk稱為屈服函數(shù)，其中稱為屈服函數(shù)，其中 是應力狀態(tài)（是應力狀態(tài)（系變量隨外荷載變化）系變量隨外荷載變化），k 是控制參數(shù)是控制參數(shù)（系常量是材料的固有屬性，在此（系常量是材料的固有屬性，在此 k s ）。 對于復雜應力狀態(tài)對于復雜應力狀態(tài)ij，物體上某點的屈服顯然是由六個應，物體上某點的屈服顯然是由六個應力分量共同作用之結(jié)果。力分量共同作用之結(jié)果。 其屈服函數(shù)仿上可寫為其屈服函數(shù)仿上可寫為(, )0ijfk(, )0ijfk為六元函數(shù)，幾何上為六維空間中的超

14、曲面。為六元函數(shù)，幾何上為六維空間中的超曲面。簡化之簡化之(, )0ijfk123123(, , , , )0fl l l k 各向同性各向同性123(, )0fk 屈服函數(shù)的一般形式屈服函數(shù)的一般形式2. 2. 主應力空間與屈服曲面主應力空間與屈服曲面 由物體上由物體上某點某點的應力狀態(tài)的主方向的應力狀態(tài)的主方向 l1、l2、l3作為坐標軸方作為坐標軸方向，由主應力向，由主應力1、2、3 作為坐標刻度構(gòu)成的空間稱為作為坐標刻度構(gòu)成的空間稱為該點該點的的主應力空間。主應力空間。 主應力空間是一正交的三維空間，在其主應力空間是一正交的三維空間，在其上建立的力學規(guī)律可以有直觀的幾何意義。上建立的力

15、學規(guī)律可以有直觀的幾何意義。其他形式其他形式123(, )0fk 123( , )0f I IIk 123(, )0f JJJk 23(, )0f JJk O123 主應力空間中的任主應力空間中的任一點一點 P(1 , 2 , 3 ) ,P(1 , 2 , 3 )代表代表某點某點的的一個應力狀態(tài)。一個應力狀態(tài)。 主應力空間中的任主應力空間中的任一條曲線一條曲線 , ,代表代表某某點點的應力狀態(tài)的變化途徑（由荷載變化所的應力狀態(tài)的變化途徑（由荷載變化所致），稱為應力路徑或應力歷史。致），稱為應力路徑或應力歷史。P1(1 , 2 , 3 )（1）主應力空間）主應力空間 主應力空間中的任一主應力空間

16、中的任一曲面曲面 , ,代表代表某點某點的應力狀態(tài)各量間的的應力狀態(tài)各量間的相互關(guān)系。相互關(guān)系。（2）屈服曲面）屈服曲面 由屈服函數(shù)由屈服函數(shù) 在主應力空間形成的曲面（包在主應力空間形成的曲面（包圍原點），稱為屈服曲面。圍原點），稱為屈服曲面。123(, )0fk 屈服曲面是彈塑性狀態(tài)的分界面。系材料固有屬性形成，屈服曲面是彈塑性狀態(tài)的分界面。系材料固有屬性形成，與荷載和物體與荷載和物體某點某點的位置無關(guān)。的位置無關(guān)。 當當某點某點應力狀態(tài)在主應力空間中的應力狀態(tài)在主應力空間中的點點位于屈服曲面之上：位于屈服曲面之上：即即123(, )0fk 某點某點處于屈服狀態(tài)處于屈服狀態(tài) 當當某點某點應力

17、狀態(tài)在主應力空間中的應力狀態(tài)在主應力空間中的點點位于屈服曲面之內(nèi)：位于屈服曲面之內(nèi)：即即123(, )0fk 某點某點處于彈性狀態(tài)處于彈性狀態(tài) 因系初始屈服函數(shù)，應力狀態(tài)在因系初始屈服函數(shù)，應力狀態(tài)在主應力空間中的主應力空間中的點點不可能不可能位于屈服曲面之外，只可能在另一個屈服曲面（后繼屈服曲面位于屈服曲面之外，只可能在另一個屈服曲面（后繼屈服曲面或加載曲面）之上?；蚣虞d曲面）之上。 3. 3. 主應力空間的力學意義主應力空間的力學意義（1）等傾線）等傾線O123 在主應力空間中，過在主應力空間中，過O點以點以12313nnn 為方向余弦的直線為方向余弦的直線ON，稱為等傾線。，稱為等傾線。

18、 等傾線線上任一點（如等傾線線上任一點（如A 點）所代點）所代表的應力狀態(tài)為表的應力狀態(tài)為NA123123m應力球張量應力球張量m1231()311m0s22m0s33m0s應力偏張量為零應力偏張量為零故等傾線線上任一點代表一個應力球張量故等傾線線上任一點代表一個應力球張量（即靜水壓力狀態(tài)）。（即靜水壓力狀態(tài)）。(m , m , m)（2） 平面平面 過過O點以等傾線點以等傾線ON為法線作平面，稱為為法線作平面，稱為 平面。平面。 因因 平面的方程為平面的方程為1230 O123N所以所以 平面上任一點代表一應力偏張量。平面上任一點代表一應力偏張量。（3） 應力狀態(tài)的分解應力狀態(tài)的分解 主應力

19、空間中任一點（應力狀主應力空間中任一點（應力狀態(tài)）態(tài)） P 向向 ON 和和 平面分解平面分解PQR123OPijk 1m2m3m()()()sisjsk123mmm()()s is js kijkOROQ 因靜水壓力（球張量）與屈服無關(guān)，所以屈服函數(shù)僅與因靜水壓力（球張量）與屈服無關(guān)，所以屈服函數(shù)僅與 P 點在點在 平面上的投影有關(guān)。平面上的投影有關(guān)。 即一個應力狀態(tài)是否屈服取決于該即一個應力狀態(tài)是否屈服取決于該應力狀態(tài)矢量在應力狀態(tài)矢量在 平面上的投影（偏張量）。平面上的投影（偏張量）。4. 4. 屈服曲面的幾何特征屈服曲面的幾何特征 由主應力空間和屈服曲面的力學意義由主應力空間和屈服曲面

20、的力學意義(s1,s2,s3)(m ,m ,m)(1 ,2 ,3)即等傾線上的球張量和即等傾線上的球張量和 平面平面上的偏張量。上的偏張量。 設設 P 點是屈服曲面上的一點，點是屈服曲面上的一點， P 點向點向 平面的投影為平面的投影為 R 點點， 則主應力空間中所有向則主應力空間中所有向 平面平面投影落在投影落在R點的各點點的各點P1、P2、，均，均應是屈服曲面上的點，應是屈服曲面上的點， 顯然這些點均在直線顯然這些點均在直線 上，上，PR所以屈服曲面是以平行于等傾線的所以屈服曲面是以平行于等傾線的直線為母線的柱面。直線為母線的柱面。 其導線（屈服曲面與其導線（屈服曲面與 平面的交線）則稱為

21、平面的交線）則稱為屈服曲線屈服曲線。 O123NPRP1P2P3 為便于直觀研究為便于直觀研究屈服曲線，采用斜視平面，屈服曲線，采用斜視平面，（1） 屈服曲線是包圍原點的封閉曲線屈服曲線是包圍原點的封閉曲線原點：無應力狀態(tài)；原點：無應力狀態(tài)；開口：通過開口從原點引出的矢端可逃開口：通過開口從原點引出的矢端可逃逸至無窮遠而不屈服。逸至無窮遠而不屈服。不包圍原點？不包圍原點？3(s3)R O1(s1)2(s2)5. 5. 屈服曲線的性質(zhì)屈服曲線的性質(zhì)NO即即 方向視圖。方向視圖。 由初始屈服條件的唯一性所致。由初始屈服條件的唯一性所致。（3）屈服曲線在）屈服曲線在 平面上關(guān)于原點、三軸及其垂線對稱

22、。平面上關(guān)于原點、三軸及其垂線對稱。3(s3)1(s1)2(s2) 由各向同性可證三軸對稱；由各向同性可證三軸對稱； 由忽略由忽略鮑鮑辛格效應辛格效應可證三軸的垂線對稱。可證三軸的垂線對稱。 屈服曲線被六條對稱軸平分。僅需確屈服曲線被六條對稱軸平分。僅需確定定30范圍內(nèi)的屈服曲線，便可確定完整范圍內(nèi)的屈服曲線，便可確定完整屈服曲線。屈服曲線。（4）屈服曲線對坐標）屈服曲線對坐標原點外凸。原點外凸。 由由Drucker公設可證。公設可證。 初始屈服曲線的性質(zhì)可總結(jié)為封閉初始屈服曲線的性質(zhì)可總結(jié)為封閉性、唯一性、對稱性和外凸性。性、唯一性、對稱性和外凸性。（2）從原點引出的射線與從原點引出的射線與

23、屈服曲線必相屈服曲線必相交一次，且僅一次。交一次，且僅一次。二二. . 常用屈服條件常用屈服條件1. Tresca1. Tresca屈服條件屈服條件 1864 年法國工程師年法國工程師 Tresca 通過金屬（鉛）作了一系列擠壓通過金屬（鉛）作了一系列擠壓實驗，結(jié)果提出當最大剪應力達到一定數(shù)值時（實驗，結(jié)果提出當最大剪應力達到一定數(shù)值時（k），材料進入），材料進入塑性狀態(tài)。塑性狀態(tài)。 即即maxk其中其中k由試驗確定由試驗確定（1）當）當主應力大小順序已知時，如主應力大小順序已知時，如123則則max131()2屈服條件（函數(shù)）可寫成屈服條件（函數(shù)）可寫成132k若由拉伸試驗確定若由拉伸試驗確

24、定 k ：1s230013s若由純剪試驗確定若由純剪試驗確定 k ：1s23s0 13s2s2ksk 由兩個試驗結(jié)果都可得到由兩個試驗結(jié)果都可得到 k，若要求兩個，若要求兩個 k 值相同，則必須：值相同，則必須：ss2對大多數(shù)金屬對大多數(shù)金屬sss23O123平面平面N（2）當主應力大小順序未知時，）當主應力大小順序未知時，在主應力空間中為平面并平行于由等在主應力空間中為平面并平行于由等傾線與傾線與 2 軸決定的平面；在軸決定的平面；在 平面上平面上為平行于為平行于2 軸軸的直線。的直線。屈服條件（函數(shù)）可寫成屈服條件（函數(shù)）可寫成122k 232k 312k 如前各代表一對平行平面，所以屈服

25、曲面在主應力空間中如前各代表一對平行平面，所以屈服曲面在主應力空間中形成一正六棱柱。形成一正六棱柱。 屈服曲線則為一正六邊形。屈服曲線則為一正六邊形。 屈服曲面與坐標屈服曲面與坐標面的交線則為斜六邊形。面的交線則為斜六邊形。注：注：三式等號不可三式等號不可能同時出現(xiàn)，只一能同時出現(xiàn)，只一個等號出現(xiàn)即屈服。個等號出現(xiàn)即屈服。122k2k2kO2k3(s3)O1(s1)2(s2)223k屈服曲面與坐標面的交線屈服曲面與坐標面的交線屈服曲面與屈服曲面與 平面平面的交線的交線（平面問題的屈服曲線）（平面問題的屈服曲線）（空間問題的屈服曲線）（空間問題的屈服曲線）（3）Tresca屈服條件的特點屈服條件

26、的特點 表達式簡單：適宜作屈服判斷；表達式簡單：適宜作屈服判斷； 曲面非正則：在數(shù)學上對下一步的強化分析造成困難；曲面非正則：在數(shù)學上對下一步的強化分析造成困難； 未考慮中間主應力的影響。未考慮中間主應力的影響。2. Mises2. Mises屈服條件屈服條件 1913年德國力學家年德國力學家Mises對對Tresca屈服條件從數(shù)學上進行修正。屈服條件從數(shù)學上進行修正。建議用一個圓柱面代替建議用一個圓柱面代替Tresca的正六棱柱面。的正六棱柱面。2222122331()()()2(2 )kk 值由試驗確定。值由試驗確定。 在在 平面上，以原點為圓心，以平面上，以原點為圓心，以Tresca正六

27、邊形的邊長為正六邊形的邊長為半徑建立圓的方程，再轉(zhuǎn)換到主應力空間中。得到半徑建立圓的方程，再轉(zhuǎn)換到主應力空間中。得到3(s3)O1(s1)2(s2)223k122k2k2kO2kO123NMises屈服條件的各種物理解釋：屈服條件的各種物理解釋： 八面體切應力準則八面體切應力準則8k 應力強度準則應力強度準則ik 畸變能準則畸變能準則0dUk 偏應力第二不變量準則偏應力第二不變量準則22Jks23k（Nadai 1933）sk（Ilyushin 1934）（Hencky 1924）（Schmitd 1932）s6kGs3k若由拉伸試驗確定若由拉伸試驗確定k ：1s2300s12k2222122

28、331s()()()2若由純剪試驗確定若由純剪試驗確定k ：1s23s0 s32k2222122331s()()()6若要求兩個試驗確定的若要求兩個試驗確定的 k 值相同，則必須：值相同，則必須：ss3這一更符合實際的結(jié)果這一更符合實際的結(jié)果Mises未曾料想！未曾料想！3. 3. 兩個屈服條件的比較兩個屈服條件的比較 當使用不同的試驗來確定控制參數(shù)當使用不同的試驗來確定控制參數(shù)k時，兩個屈服條件時，兩個屈服條件將產(chǎn)生較大的差異，通過屈服曲線進行比較。將產(chǎn)生較大的差異，通過屈服曲線進行比較。223ak由屈服條件的原始形式由屈服條件的原始形式1(s1)3(s3)O2(s2)aa對拉伸試驗對拉伸試

29、驗s12Tks12Mks23a223Rk設設Mises圓的半徑為圓的半徑為s23R說明說明Mises圓為圓為Tresca正六邊形的外接圓。正六邊形的外接圓。1(s1)3(s3)O2(s2)R設設Tresca正六邊形的邊長為正六邊形的邊長為在頂點兩屈服條件重合；在邊中點，在頂點兩屈服條件重合；在邊中點，h21.1553Rh ，Tresca屈服條件小屈服條件小15.5%偏于安全。偏于安全。對純剪試驗對純剪試驗sTks32Mks223as2R1(s1)3(s3)O2(s2)aahs322haR說明說明Mises圓為圓為Tresca正六邊形的內(nèi)接圓。正六邊形的內(nèi)接圓。在邊中點兩屈服條件重合；在頂點，在

30、邊中點兩屈服條件重合；在頂點，Tresca屈服條件大屈服條件大13.4%例：薄壁圓管內(nèi)徑為例：薄壁圓管內(nèi)徑為 a , 厚度為厚度為 。受拉力。受拉力P和扭矩和扭矩M共同作用，材料共同作用，材料 s 為為單向拉伸屈服極限，試寫單向拉伸屈服極限，試寫Tresca和和Mises屈服條件表達式。屈服條件表達式。2zPa 22zMa0rrzr解：解：主應力主應力221,342zzz20Tresca屈服條件屈服條件31s22s4zzMises屈服條件屈服條件2222122331s()()()222s3zzzPM4. 4. 其他屈服條件其他屈服條件（1）莫爾）莫爾-庫倫（庫倫（Mohr-Coulomb）屈服

31、條件屈服條件 Tresca 和和 Mises 屈服條件未考慮靜水壓力對屈服的影響，屈服條件未考慮靜水壓力對屈服的影響，在屈服函數(shù)中僅考慮在屈服函數(shù)中僅考慮 J2 的作用。在靜水壓力不太大的情況下，的作用。在靜水壓力不太大的情況下，對金屬和飽和土適用。對金屬和飽和土適用。 但如混凝土、巖土等材料，其屈服極限或破壞應力將隨靜但如混凝土、巖土等材料，其屈服極限或破壞應力將隨靜水壓力的增大而變化（增大）。水壓力的增大而變化（增大）。 因此應在屈服函數(shù)中增加靜水壓力因此應在屈服函數(shù)中增加靜水壓力 I1 的影響，且控制參數(shù)的影響，且控制參數(shù)也相應增加。即也相應增加。即1212( ,)0f I Jk k 涉

32、及此類屈服條件主要：涉及此類屈服條件主要： 來源于庫倫（來源于庫倫（1773年）關(guān)于土的剪切破壞準則，其控制參年）關(guān)于土的剪切破壞準則，其控制參數(shù)為土的黏聚力和內(nèi)摩擦角。數(shù)為土的黏聚力和內(nèi)摩擦角。 經(jīng)莫爾等的研究發(fā)展成為土力學中的經(jīng)典準則。但經(jīng)大量經(jīng)莫爾等的研究發(fā)展成為土力學中的經(jīng)典準則。但經(jīng)大量試驗表明，若在三向應力狀態(tài)下，以拉伸和壓縮屈服極限作為試驗表明，若在三向應力狀態(tài)下，以拉伸和壓縮屈服極限作為控制參數(shù)，該準則更適合拉壓屈服極限差異較大的材料，如混控制參數(shù)，該準則更適合拉壓屈服極限差異較大的材料，如混凝土材料。凝土材料。 當當 莫爾莫爾-庫倫庫倫屈服條件屈服曲面為不等角的六棱錐，屈服曲

33、線屈服條件屈服曲面為不等角的六棱錐，屈服曲線為等邊不等角的六邊形。為等邊不等角的六邊形。莫爾莫爾-庫倫庫倫屈服條件可寫成如下形式：屈服條件可寫成如下形式：123131311()()sincos22c式中，式中，0000arctan2ctct （內(nèi)摩擦），（內(nèi)摩擦），002ctc （黏聚力）。（黏聚力）。拉壓屈服極限（或破壞極限）為拉壓屈服極限（或破壞極限）為00tc、O123N3(s3)O1(s1)2(s2)當 0 時退化為時退化為Tresca 屈服條件。屈服條件。對其他五種主應力大小順序，可仿上寫出。對其他五種主應力大小順序，可仿上寫出。（2）德魯克）德魯克-普拉格（普拉格（Drucker-

34、Prager）屈服條件屈服條件 德魯克德魯克-普拉格屈服條件是在普拉格屈服條件是在Mises屈服條件基礎(chǔ)上增加靜屈服條件基礎(chǔ)上增加靜水壓力水壓力 I1 因子而得，適用于巖土類材料。因子而得，適用于巖土類材料。 屈服條件可寫為：屈服條件可寫為：2221223311231()()()()6k 式中，式中，22sin3(3sin)26 cos3(3sin)ck、c 分別為材料的內(nèi)分別為材料的內(nèi)摩擦角和黏性系數(shù)。摩擦角和黏性系數(shù)。 屈服曲面為圓錐面，屈服曲線為圓，屈服曲面為圓錐面，屈服曲線為圓，O123N當 0 時退化為時退化為Mises 屈服條件。屈服條件。7-3 Drucker7-3 Drucke

35、r公設與加載條件公設與加載條件 當一點的應力狀態(tài)屈服后繼續(xù)加載以及反復加載卸載，如當一點的應力狀態(tài)屈服后繼續(xù)加載以及反復加載卸載，如何判斷加載卸載（加載準則）及其應力應變關(guān)系（塑性本構(gòu)關(guān)何判斷加載卸載（加載準則）及其應力應變關(guān)系（塑性本構(gòu)關(guān)系）如何，均有賴于系）如何，均有賴于Drucker公設。公設。一一. . Drucker公設公設1. 1. 材料穩(wěn)定性的概念材料穩(wěn)定性的概念 考察拉伸曲線考察拉伸曲線 0O 在某一應力點，給一個應力增在某一應力點，給一個應力增量量 0， 0 若其在相應應變增量上若其在相應應變增量上稱材料是穩(wěn)定的；稱材料是穩(wěn)定的；所作的功所作的功 0 （應乘二分之一（應乘二分

36、之一 ），），若在相應應變增量上作的功若在相應應變增量上作的功 0 ， 0稱材料是非穩(wěn)定的；稱材料是非穩(wěn)定的；2. 2. 單向拉伸時的應力循環(huán)及其塑性功單向拉伸時的應力循環(huán)及其塑性功 研究在一個跨彈塑性狀態(tài)的應力循環(huán)中，應力增量和附研究在一個跨彈塑性狀態(tài)的應力循環(huán)中，應力增量和附加應力所作的塑性功。加應力所作的塑性功。 設從彈性階段某一應力點設從彈性階段某一應力點 0開始，開始， 現(xiàn)給一個應力增量現(xiàn)給一個應力增量d 至至 d ， 產(chǎn)生塑性應變增量產(chǎn)生塑性應變增量d p ； 然后然后緩慢卸載至緩慢卸載至 0，完成一個應力循環(huán)。，完成一個應力循環(huán)。d p Os 0 d 緩慢緩慢加載至某個加載點加載

37、至某個加載點 ； 考察應力增量考察應力增量 d 和附加應力和附加應力 0 所作所作的塑性功：的塑性功：3. Drucker3. Drucker公設公設pd d0 0p()d0 Drucker把上述結(jié)論直接推廣到復雜應力狀態(tài)：把上述結(jié)論直接推廣到復雜應力狀態(tài)： “考慮某應力循環(huán)，開始應力考慮某應力循環(huán)，開始應力 ij0 在加在加載（屈服）面內(nèi)，載（屈服）面內(nèi)，屈服曲面A(ij0) 然后到達然后到達ij ，剛好在，剛好在加加載（屈服）面上，載（屈服）面上，B(ij) 再繼續(xù)在再繼續(xù)在加載（屈服）加載（屈服）面上加載到面上加載到 ij dij ，C(ij dij) 在這一階段，將產(chǎn)在這一階段，將產(chǎn)生

38、塑性應變生塑性應變 ijp。 最后將應力又卸回最后將應力又卸回ij0。后繼屈服曲面若在整個應力循環(huán)過程中，附加應力若在整個應力循環(huán)過程中，附加應力 ij ij0 所作的凈功不小于零，則這種材料就是穩(wěn)定所作的凈功不小于零，則這種材料就是穩(wěn)定的。的?！奔醇?()d0ijijijABCAW 由由0()dijijijABCA 0ep()d()ijijijijABCA 0e0p()d()dijijijijijijABCAABCA0p()dijijijABCA 0p0p0p()d()d()dijijijijijijijijijABBCCA0p()dijijijBC因因BC段的段的dijp由由dij產(chǎn)生產(chǎn)生

39、0p0p1()d(d)d2ijijijijijijijBC所以所以0p1(d)d02ijijijij當當 時時0ijijpdd0ijij當當 時時0ijij0dijijij0p()d0ijijij稱為德魯克不等式稱為德魯克不等式 由德魯克不等式可推出兩個重要結(jié)論：由德魯克不等式可推出兩個重要結(jié)論：（1）塑性應變增量一定指向加載曲面外法線方向。）塑性應變增量一定指向加載曲面外法線方向。dijp 將應力空間和塑性應變增量空間重將應力空間和塑性應變增量空間重合，并以矢量形式表示各量。合，并以矢量形式表示各量。加載曲面A(ij0)B(ij)dij 作作B點的切（超）平面及外法線點的切（超）平面及外法線

40、 n， 因因dij需產(chǎn)生塑性需產(chǎn)生塑性應變，則應變，則dij須指向加載曲面的外側(cè)，須指向加載曲面的外側(cè)，即即 2。n設設dij與與n的夾角為的夾角為 。 設設 dij與與 dijp 的夾角為的夾角為 ，由由pdd0ijijppddddcos0ijijijij 2由由 dij的任意性，的任意性， dijp 的必須與的必須與n重合，否則，可出現(xiàn)重合，否則，可出現(xiàn) 。 2 所以所以 dijp 一定指向加載曲面的外法線方向。一定指向加載曲面的外法線方向。（2）加載曲面一定處處外凸。）加載曲面一定處處外凸。 設設ij ij0與與dijp 的夾角為的夾角為 ，0p0p()d()dcos0ijijijiji

41、jijdijp 2由由0p()d0ijijij 若內(nèi)凹，若內(nèi)凹，且二次通過加載曲面。且二次通過加載曲面。ij0 2則可出現(xiàn)則可出現(xiàn) ， 所以所以加載曲面一定處處外凸。加載曲面一定處處外凸。 （屈服曲面是（屈服曲面是加載曲面之一）加載曲面之一） 即與加載面正交。即與加載面正交。二二. . 加載、卸載準則加載、卸載準則 由由Drucker公設，公設， dijp 與加載面正交。與加載面正交。 若將加載面的外法線若將加載面的外法線方向用加載（屈服）函數(shù)方向用加載（屈服）函數(shù) f (ij) 0 的梯度表示，則的梯度表示，則pddijijf式中，式中，d 0為比例常數(shù)，用以記錄加載歷史。為比例常數(shù)，用以記

42、錄加載歷史。由由pdd0ijijpdddd0ijijijijfd0ijijfd 0故應力狀態(tài)在發(fā)生變化過程中（即故應力狀態(tài)在發(fā)生變化過程中（即dij 0）：）：（1）若）若dd0ijijff產(chǎn)生產(chǎn)生dijp 加載加載（2）若）若不產(chǎn)生不產(chǎn)生dijp 中性變載中性變載dd0ijijff（理想塑性不存在此情形）（理想塑性不存在此情形）（3）若）若dij反向反向 卸載卸載dd0ijijff加載加載曲面 f (ij)0n中性變載卸載例：薄設一點的應力狀態(tài)為：例：薄設一點的應力狀態(tài)為：4000002000(MPa)00200ij當其變?yōu)椋寒斊渥優(yōu)椋?000003000(MPa)00300ij 和和300

43、0001000 (MPa)000ij則則ijijijijijij 是加載還是卸載？是加載還是卸載？解：解：（1）Tresca條件條件d01001000ijijf d( 100)( 300)2000ijijf d1002001000ijijf 卸載；卸載；1320fk13ddddijijff加載；加載；卸載。卸載。（2）Mises條件條件2222122331()()()80fk123121323123dd2 (2)d(2)d(2)dijijffd2 (2400200200)0(2200400200) 100(2200200400) 100800000ijijf 卸載；卸載；d2 (2400300

44、300)( 100)(2300400300)( 200)(2300300400)( 300)300000ijijf 加載；加載；d2 (23001000) 100(2 1000300) 100(20300100)200400000ijijf 卸載。卸載。7-4 7-4 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 在塑性變形階段，應力與應變關(guān)系沒有一一對應關(guān)系，應在塑性變形階段，應力與應變關(guān)系沒有一一對應關(guān)系，應變不僅和應力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)，變不僅和應力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)， 但在某一給但在某一給定狀態(tài)下有一個應力增量，相應地必有唯一的應變增量。定狀態(tài)下有一個應力增量，相應地必有唯一的應變

45、增量。 因此，在一般塑性變形條件下，只能建立應力與應變增量因此，在一般塑性變形條件下，只能建立應力與應變增量之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 這種用增量形式表示的材料的本構(gòu)關(guān)系稱為增量理論（或這種用增量形式表示的材料的本構(gòu)關(guān)系稱為增量理論（或流動理論）流動理論） 。只有在特定條件下，才能建立應力與應變之間的。只有在特定條件下，才能建立應力與應變之間的關(guān)系（稱為全量理論）。關(guān)系（稱為全量理論）。二二. . 增量理論增量理論 由由pddijijf取取21()2ijijijfJs s則則2ijijijJfss（Mises屈服函數(shù)）屈服函數(shù)）pddijijsdijp與與sij成正比。成正比。St.Venant

46、-Levy之前在作假設的基礎(chǔ)上亦得此結(jié)論。之前在作假設的基礎(chǔ)上亦得此結(jié)論。由由epijijijepdddijijijpedddijijijpedd(dd)ijijijmije epdd+dijijijee1dd+d2ijijijessGmdddijijije pedddijijijeePrandtl-Reuss方程方程表明塑性應變增量依賴于該瞬時的應力偏量，而非應力增量。表明塑性應變增量依賴于該瞬時的應力偏量，而非應力增量。 現(xiàn)討論參數(shù)現(xiàn)討論參數(shù) d ：由由pddijijspp2dd(d )ijijijijs s由應力強度定義由應力強度定義ppp2i3dd(d)2ijij2i23ijijs s仿應變強度定義仿應變強度定義塑性應變強度塑性應變強度則則p222ii32(d)(d )23piid3d2d 是在屈服時引入的常數(shù)，僅當屈服時不為零，可通過屈服條是在屈服時引入的常數(shù)，僅當屈服時不為零，可通過屈服條件來求。件來求。所以，所以， Prandtl-Reuss方程又可寫成方程又可寫成ppiid3d2ijijs如果忽略彈性變形（剛塑性），如果忽略彈性變形（剛塑性）， Prandtl-Reuss方程又可寫成方程又可寫成piid3