第8-9講 矩形單元和6節(jié)點三角形單元

1、第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元第第4 4章章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.2矩形單元4.36節(jié)點三角形單元簡介矩形單元討論矩形單元討論單元位移模式單元位移模式單元應(yīng)力、應(yīng)變單元應(yīng)力、應(yīng)變單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元簡介單元簡介面積坐標面積坐標4.1提高有限元求解精度的途徑簡單三角形單元缺點簡單三角形單元缺點提高有限元求解精度的途徑提高有限元求解精度的途徑高精度單元的原理高精度單元的原理單元位移模式單元位移模式第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.1 4.1 提高有限元求解精度的途徑提高有限元求解精度的途徑三節(jié)點三角形單元精度低，收斂慢，在單元內(nèi)不

2、能反映應(yīng)力應(yīng)變的變化。這是因為該單元只有3個節(jié)點，單元自由度少，單元位移模式只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移變化的能力差。一、簡單三角形單元的缺點二、提高有限元求解精度的途徑第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元三、建立高精度單元的原理和途徑4.1 4.1 提高有限元求解精度的途徑提高有限元求解精度的途徑第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.2 4.2 矩形單元矩形單元一、矩形單元及其位移模式矩形單元邊長分別為2a、2b。取4個頂點為節(jié)點。不失一般性地假設(shè)矩形的2個對稱軸分別為x，y軸。每節(jié)點2個位移分量，因此單元共8個自由度。單元節(jié)點編號為 k，l，m，n單元節(jié)點位

3、移列陣為： Tnnmmllkkevuvuvuvu第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元單元內(nèi)位移多項式設(shè)4項，為雙線性多項式：xyayaxaavxyayaxaau87654321iinnmmllkkuNuNuNuNuNuiinnmmllkkvNvNvNvNvNv寫成矩陣形式為： eNvu其中 為形函數(shù)矩陣 N4.2 4.2 矩形單元矩形單元通過節(jié)點坐標和節(jié)點位移代入，把廣義坐標（多項式系數(shù)） 代換為節(jié)點位移分量后得到插值形式的位移函數(shù)：81 aa第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元 nmlknmlkNNNNNNNNN00000000各形函數(shù)為：)1)(1 (41)1)

4、(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlk形函數(shù)矩陣4.2 4.2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元由于邊界平行于坐標軸，矩形單元位移模式沿單元邊界（x，y方向）都是線性變化，沿其他方向則按2次函數(shù)變化。稱為“雙線性”位移函數(shù)。由于單元位移在單元邊界上線性變化，而單元之間的公共邊界上有2個公共節(jié)點，所以單元邊界間的位移是連續(xù)的，單元滿足協(xié)調(diào)性條件。和簡單三角形單元一樣，矩形單元位移模式中包含了完全一次多項式，所以滿足完備性條件。因此矩形單元的收斂性得到保證。顯然，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)。4.2 4.2 矩

5、形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元二、單元應(yīng)變和應(yīng)力 eexyyxBNxyyx00 ybxaybxaybxaybxaxaxaxaxaybybybybabB0000000041l 形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到38應(yīng)變矩陣：l 單元位移模式代入平面問題幾何方程：4.2 4.2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元由平面問題物理方程（應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）得到： eeSBD對于矩形單元，其單元上應(yīng)力、應(yīng)變不再是常數(shù)，而是一定程度上呈線性變化，即：x方向正應(yīng)變、正應(yīng)力隨y坐標線性變化；y方向正應(yīng)變和正應(yīng)力隨x坐標線性變化。因此，在一定條件下，

6、精度會高一階。4.2 4.2 矩形單元矩形單元 )(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)()()()()()()()()()()()()()()()()1 (42ybxaybxaybxaybxaxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybabES第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元三、矩形單元剛度矩陣矩形單元剛度矩陣導(dǎo)出的原理和方法同簡單三角形單元。計算式如下： hdxdyBDBkaaTbbe 可以通過積分計算出精確的剛度矩陣元素，見P51。4.2 4.2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.2 4.

7、2 矩形單元矩形單元第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點三角形單元簡介節(jié)點三角形單元簡介 6節(jié)點三角形單元 2122111098726254321yxxyyxvyxxyyxu第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點三角形單元簡介節(jié)點三角形單元簡介6161iiiiiivNvuNu第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點三角形單元簡介節(jié)點三角形單元簡介三角形單元上的面積坐標AALAALAALjmjjiiAAAAAmji：為三角形面積，顯然有第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點三角形單元簡介節(jié)點三角形單元簡介)(21ycxbaALiiii）（mji,第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji1214.3 64.3 6節(jié)點三角形單元簡介節(jié)點三角形單元簡介mmjjiimmjjiiLyLyLyyLxLxLxxmjimjimjiLLLyyyxxxyx1111第四章第四章 平面問題高精度單元平面問題高精度單元4.3 64.3 6節(jié)點三角形單元簡介節(jié)點三角形單元簡介iiiLLN) 12(）（3 , 2 , 1i136325214444LLNLLNLLN第四章第四章 平