軸扭轉(zhuǎn)計(jì)算參考模板

1、第5章 扭 轉(zhuǎn)5.1 扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算5.1.1、扭轉(zhuǎn)的概念在工程實(shí)際中，有很多以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。例如圖示5.1，常用的螺絲刀擰螺釘。圖5.1 圖示5.2，用手電鉆鉆孔，螺絲刀桿和鉆頭都是受扭的桿件。圖5.2圖示5.3，載重汽車的傳動(dòng)軸。圖5.3 1 / 25圖示5.4，挖掘機(jī)的傳動(dòng)軸。 圖5.4圖5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板組成（圖5.5a），雨蓬梁每米的長(zhǎng)度上承受由雨蓬板傳來(lái)均布力矩，根據(jù)平衡條件，雨蓬梁嵌固的兩端必然產(chǎn)生大小相等、方向相反的反力矩（圖5.5b），雨蓬梁處于受扭狀態(tài)。圖5.5分析以上受扭桿件的特點(diǎn)，作用于垂直桿軸平面內(nèi)的力偶使桿引起的變形，稱扭轉(zhuǎn)變形。變形

2、后桿件各橫截面之間繞桿軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，稱為扭轉(zhuǎn)角，用表示，如圖5.6所示。以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿稱為軸。圖5.6本章著重討論圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形計(jì)算。5.1.2、外力偶矩的計(jì)算工程中常用的傳動(dòng)軸（圖）是通過轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞動(dòng)力的構(gòu)件，其外力偶矩一般不是直接給出的，通常已知軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。根據(jù)理論力學(xué)中的公式，可導(dǎo)出外力偶矩、功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為： （5.1）式中 m-作用在軸上的外力偶矩，單位為； N-軸傳遞的功率，單位為； n-軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。圖5.75.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力及扭矩圖5.2.1 扭矩已知受扭圓軸外力偶矩，可以利用截面法求任意橫截面的內(nèi)力

3、。圖5.8a為受扭圓軸，設(shè)外力偶矩為，求距A端為x的任意截面上的內(nèi)力。假設(shè)在截面將圓軸截開，取左部分為研究對(duì)象（圖5.8b），由平衡條件，得內(nèi)力偶矩T和外力偶矩的關(guān)系內(nèi)力偶矩T稱為扭矩。扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：自截面的外法線向截面看，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。 圖5.8圖示5.8的b和c，從同一截面截出的扭矩均為正號(hào)。扭矩的單位是或。5.2.2 扭矩圖為了清楚地表示扭矩沿軸線變化的規(guī)律，以便于確定危險(xiǎn)截面，常用與軸線平行的坐標(biāo)表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面的扭矩，把計(jì)算結(jié)果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在軸上方，負(fù)值扭矩畫在軸下方。這種圖形稱為扭矩圖。例題5.1 圖示傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)

4、速，A輪為主動(dòng)輪，輸入功率，B、C、D為從動(dòng)輪，輸出功率分別為，試求各段扭矩。解：1、計(jì)算外力偶矩 2、分段計(jì)算扭矩，設(shè)各段扭矩為正，用矢量表示，分別為 （圖c） （圖d） （圖e），為負(fù)值說(shuō)明實(shí)際方向與假設(shè)的相反。 3、作扭矩圖 例題5.1圖5.3 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力5.3.1 實(shí)心圓軸橫截面上的應(yīng)力工程中要求對(duì)受扭桿件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，根據(jù)扭矩T確定橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力。下面用實(shí)心圓軸推導(dǎo)切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律。 1、變形幾何關(guān)系取一實(shí)心圓軸，在其表面等距離地畫上圓周線和縱向線，如圖5.9（a）所示，然后在圓軸兩端施加一對(duì)大小相等、方向相反的扭轉(zhuǎn)力偶矩，使圓軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖

5、5.9（b）所示，可觀察到圓軸表面上各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，僅是繞圓軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；各縱向線均傾斜了一微小角度。圖5.9根據(jù)觀察到的現(xiàn)象，由表及里作出如下假設(shè)。 變形后，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，即平面假設(shè)； 橫截面上的半徑仍保持為直線； 各橫截面的間距保持不變。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力非均勻分布，僅依靠靜力方程無(wú)法求出，必須利用變形條件建立補(bǔ)充方程，即切應(yīng)力的導(dǎo)出需按解超靜定問題的相似步驟進(jìn)行。根據(jù)上述假設(shè)，從圓軸中取相距為的微段進(jìn)行研究，如圖5.10（a）所示。圖5.10設(shè)半徑R，根據(jù)平面假設(shè)，可以設(shè)想扭轉(zhuǎn)時(shí)各橫截面如同剛性平面一樣繞桿軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。則由圖可知變形后

6、，縱向線段變?yōu)椋偷膴A角為（切應(yīng)變），對(duì)應(yīng)橫截面的圓心角，在小變形的條件下可以建立如下關(guān)系。為了研究橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)變，從圓軸截面內(nèi)取半徑為的微段，如圖5.10（b）所示。同理可得 （5.2）上式表明，橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)變同該點(diǎn)到圓心的距離成正比關(guān)系。2、物理關(guān)系根據(jù)剪切胡克定律，在剪切比例極限之內(nèi)（或彈性范圍以內(nèi)）切應(yīng)力和切應(yīng)變成正比關(guān)系將（52）式代入上式，得 （5.3）上式表明，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任意點(diǎn)處的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，其分布如圖5.11所示，式中可利用靜力方程確定。圖5.11 3、靜力學(xué)關(guān)系根據(jù)圖5.11所示，橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力和扭矩有如下靜力學(xué)關(guān)系將（5

7、.3）式代入式中，稱截面的極慣性矩，代入上式，得 （5.4）將（5.4）式代入（5.3）式，得到圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上任意點(diǎn)切應(yīng)力公式 （5.5）當(dāng)時(shí)，表示圓截面邊緣處的切應(yīng)力最大 （5.6）式中，稱為抗扭截面系數(shù)。它是與截面形狀和尺寸有關(guān)的量。5.3.2 極慣性矩和抗扭截面系數(shù)極慣性矩 和抗扭截面系數(shù) 可按其定義通過積分求得。下面介紹其計(jì)算方法。對(duì)于圖5.12（a）實(shí)心圓軸，可在圓軸截面上距圓心為處取厚度為的環(huán)形面積作為微面積dA ，于是，從而可得實(shí)心圓截面的極慣性矩為抗扭截面系數(shù)為如為圖（b）空心圓軸，則有式中為空心圓軸內(nèi)外徑之比?？招膱A軸截面的抗扭截面系數(shù)為極慣性矩的量綱是長(zhǎng)度的四次方，常用的

8、單位為或?？古そ孛嫦禂?shù)的量綱是長(zhǎng)度的三次方，常用單位為或。（a） （b）圖5.125.4 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算 5.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件工程上要求圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即對(duì)于等截面圓軸，表示為上式稱為圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件試驗(yàn)表明，材料扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力和許用拉應(yīng)力有如下近似的關(guān)系。塑性材料 脆性材料 例題5.2 汽車的主傳動(dòng)軸，由45號(hào)鋼的無(wú)縫鋼管制成，外徑，壁厚，工作時(shí)的最大扭矩，若材料的許用切應(yīng)力，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1、計(jì)算抗扭截面系數(shù)主傳動(dòng)軸的內(nèi)外徑之比抗扭截面系數(shù)為2、計(jì)算軸的最大切應(yīng)力3、強(qiáng)度校核 主傳動(dòng)軸安全例題5.3 如把上題中的汽車主傳動(dòng)軸改為實(shí)心

9、軸，要求它與原來(lái)的空心軸強(qiáng)度相同，試確定實(shí)心軸的直徑，并比較空心軸和實(shí)心軸的重量。解：1、求實(shí)心軸的直徑，要求強(qiáng)度相同，即實(shí)心軸的最大切應(yīng)力也為，即 2、在兩軸長(zhǎng)度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比等于兩軸橫截面面積之比，即討論：由此題結(jié)果表明，在其它條件相同的情況下，空心軸的重量只是實(shí)心軸重量的31%，其節(jié)省材料是非常明顯的。這是由于實(shí)心圓軸橫截面上的切應(yīng)力沿半徑呈線性規(guī)律分布，圓心附近的應(yīng)力很小，這部份材料沒有充分發(fā)揮作用，若把軸心附近的材料向邊緣移置，使其成為空心軸，就會(huì)增大或，從而提高了軸的強(qiáng)度。然而，空心軸的壁厚也不能過薄，否則會(huì)發(fā)生局部皺折而喪失其承載能力（即喪失穩(wěn)定性）。5.5

10、 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件5.5.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形軸的扭轉(zhuǎn)變形用兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角表示，由（5.4）式，可求段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。當(dāng)扭矩為常數(shù)，且也為常量時(shí)，相距長(zhǎng)度為l的兩橫截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 （弧度） （5.7）式中，稱為圓軸扭轉(zhuǎn)剛度，它表示軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)由扭矩的正負(fù)號(hào)確定，即正扭矩產(chǎn)生正扭轉(zhuǎn)角，負(fù)扭矩產(chǎn)生負(fù)扭轉(zhuǎn)角。若兩橫截面之間T有變化，或極慣性矩變化，亦或材料不同（切變模量G變化），則應(yīng)通過積分或分段計(jì)算出各段的扭轉(zhuǎn)角，然后代數(shù)相加，即：在工程中，對(duì)于受扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度通常用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)度的變化率來(lái)度量，用表示，稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。即： （5.8）5.5

11、.2 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件工程中軸類構(gòu)件，除應(yīng)滿足強(qiáng)度要求外，對(duì)其扭轉(zhuǎn)變形也有一定要求，例如，汽車車輪軸的扭轉(zhuǎn)角過大，汽車在高速行駛或緊急剎車時(shí)就會(huì)跑偏而造成交通事故；車床傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角過大，會(huì)降低加工精度，對(duì)于精密機(jī)械，剛度的要求比強(qiáng)度更嚴(yán)格。下式即為剛度條件 （5.9）在工程中，的單位習(xí)慣用（度/米）表示，將上式中的弧度換算為度，得對(duì)于等截面圓軸，即為許用扭轉(zhuǎn)角的數(shù)值，根據(jù)軸的使用精密度、生產(chǎn)要求和工作條件等因素確定，對(duì)一般傳動(dòng)軸，為，對(duì)于精密機(jī)器的軸，常取在之間。例題5.4 圖示軸的直徑，切變模量，試計(jì)算該軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角。例題5.4圖解：兩端面之間扭轉(zhuǎn)角為 1、作扭矩圖（圖b） 2、分段

12、求扭轉(zhuǎn)角式中， 例題5.5 主傳動(dòng)鋼軸，傳遞功率，轉(zhuǎn)速，傳動(dòng)軸的許用切應(yīng)力，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，切變模量，試計(jì)算傳動(dòng)軸所需的直徑。解：1、計(jì)算軸的扭矩2、根據(jù)強(qiáng)度條件求所需直徑 3、根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件，求直徑故應(yīng)按剛度條件確定傳動(dòng)軸直徑，取。本章小結(jié)1、圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，在圓心處為零。最大剪應(yīng)力發(fā)生在截面外周邊各點(diǎn)處，其計(jì)算公式如下：， 2、圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：利用它可以完成強(qiáng)度校核、確定截面尺寸和許可荷截等三類強(qiáng)度計(jì)算問題。3、圓軸扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算公式為：圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件是：思 考 題5.1 直徑相同，材料不同的兩根等長(zhǎng)的實(shí)心圓軸，在相同的扭矩作用

13、下，其最大切應(yīng)力和最大單位扭轉(zhuǎn)角是否相同？5.2 橫截面面積相同的空心圓軸和實(shí)心圓軸相比，為什么空心圓軸的強(qiáng)度和剛度都較大？習(xí) 題5.1 試作下列各軸的扭矩圖。題5.1圖5.2 圖示傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速，A輪為主動(dòng)輪，輸入功率，B、C、D為從動(dòng)輪，輸出功率分別為，。試作軸的扭矩圖；如果將輪A和輪C的位置對(duì)調(diào)，試分析對(duì)軸受力是否有利。題5.2圖 題5.3圖5.3 T為圓軸橫截面上的扭矩，試畫出截面上與T對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力分布圖。5.4 圖示圓截面空心軸，外徑，內(nèi)徑，扭矩，試計(jì)算的A點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力以及橫截面上的最大和最小的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。題5.4圖5.5 一直徑為的圓截面軸，其轉(zhuǎn)速為，設(shè)橫截面上的最大切應(yīng)力為，試

14、求所傳遞的功率。5.6 將直徑，長(zhǎng)的鋼絲一端嵌緊，另一端扭轉(zhuǎn)一整圈，已知切變模量，求此時(shí)鋼絲內(nèi)的最大切應(yīng)力。5.7 某鋼軸直徑，扭矩，材料的許用切應(yīng)力，單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角，切變模量，試校核此軸的強(qiáng)度和剛度。5.8 階梯形圓軸直徑分別為d1=40mm，d2=70mm，軸上裝有三個(gè)皮帶輪，如圖所示。已知由輪3輸入的功率為N3=3kW，輪1輸出的功率為N1=13kW，軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=200r/min，材料的許用切應(yīng)力，許用扭轉(zhuǎn)角。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。題5.8圖5.9 一鋼軸受扭矩，許用切應(yīng)力，許用扭轉(zhuǎn)角，切變模量，試選擇軸的直徑。5.10 橋式起重機(jī)題5.10圖所示。若傳動(dòng)軸傳遞的力偶矩，材

15、料的許用切應(yīng)力，同時(shí)規(guī)定0.5/m。試設(shè)計(jì)軸的直徑。題5.10圖5.11 某空心鋼軸，內(nèi)外徑之比，轉(zhuǎn)速，傳遞功率，已知許用切應(yīng)力，許用扭轉(zhuǎn)角，切變模量，試設(shè)計(jì)鋼軸的內(nèi)徑和外徑。5.12 某傳動(dòng)軸，橫截面上的最大扭矩，許用切應(yīng)力，試按下列兩種方案確定截面直徑：橫截面為實(shí)心圓截面；橫截面為的空心圓截面。5.13 橫截面面積相等的實(shí)心軸和空心軸，兩軸材料相同，受同樣的扭矩T作用，已知實(shí)心軸直徑，空心軸內(nèi)外徑之比值。試求二者最大切應(yīng)力之比及單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角之比。5.14 鋼質(zhì)實(shí)心軸和鋁質(zhì)空心軸（內(nèi)外徑比值）的橫截面面積相等，鋼軸許用應(yīng)力，鋁軸許用應(yīng)力，若僅從強(qiáng)度條件考慮，哪一根軸能承受較大的扭矩？5.15 實(shí)心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起，已知軸的轉(zhuǎn)速，傳遞功率，材料的許用切應(yīng)力，試選擇實(shí)心軸直徑和內(nèi)外徑比值的空心軸外徑。題5.15圖5.16 已知傳動(dòng)軸的功率分別為，若AB段和BC段軸的最大切應(yīng)力相同，試求此兩段軸的直徑之比及兩段軸的扭轉(zhuǎn)角之比