橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題_100教育

1、橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題性質(zhì)一：當(dāng)點(diǎn)P從右至左運(yùn)動(dòng)時(shí)，由銳角變成直角，又變成鈍角，過了Y軸之后，對(duì)稱地由鈍角變成直角再變成銳角，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，達(dá)到最大。3.“性質(zhì)一”是為什么呢？你能證明嗎？（面對(duì)cos= 如何求最小值，有的同學(xué)嘗試后發(fā)現(xiàn)若用兩次均值不等式，則兩次不等號(hào)方向相反，達(dá)不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?學(xué)生們發(fā)現(xiàn)分子變化的部分是，分母變化的部分是，二者的關(guān)系是 ，于是目標(biāo)式可分成兩部分 ，最后對(duì) 利用均值不等式，即可大功告成。問題5：由上面的分析，你能得出cos與離心率e的關(guān)系嗎？性質(zhì)二：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中_（當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)為短軸

2、端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步的挖掘，可以讓問題簡單化，應(yīng)用價(jià)值就更高，“看似一小步，其實(shí)一大步”！題2：已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)使，求橢圓離心率的取值范圍。 1由橢圓定義，有 平方后得 2變式1：已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為若橢圓上存在一點(diǎn)使得求橢圓的離心率的取值范圍。變式2：若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、，試問：橢圓上是否存在點(diǎn)，使？存在，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)；否則說明理由。方法二：，但橢圓離心率為，不在范圍內(nèi)，故不存在。性質(zhì)三：若、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積_性質(zhì)四：過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑(垂直于焦點(diǎn)的弦)最短，通徑為。20090423題5：已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸

3、的弦長為求橢圓的方程；【課堂測試】1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于2.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ c ） A B C D4. 已知矩形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。5. 若橢圓短軸端點(diǎn)為滿足，則橢圓的離心率為。6,已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，橢圓的離心率為。7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若， 則橢圓的離心率為 8.橢圓（a>b>0）的兩頂點(diǎn)為A（a,0）B(0,b),若

4、右焦點(diǎn)F到直線AB的距離等于AF，則橢圓的離心率是。 一、選擇題1(09·浙江)已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若2，則橢圓的離心率是()A.B.C.D.答案D解析由題意知：F(c,0)，A(a,0)BFx軸，.又2，2，e.故選D.2已知P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)，若·0，tanPF1F2，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.答案D解析由·0知F1PF2為直角，設(shè)|PF1|x，由tanPF1F2知，|PF2|2x，ax，由|PF1|2|PF2|

5、2|F1F2|2得cx，e.3(文)(北京西城區(qū))已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線答案B解析點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|PN|，又AM是圓的半徑，|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓(理)(浙江臺(tái)州)已知點(diǎn)M(，0)，橢圓y21與直線yk(x)交于點(diǎn)A、B，則ABM的周長為()A4 B8 C12 D16答案B解析直線yk(x)過定點(diǎn)N(，0)，而M、N恰為橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知ABM的周長為4a4×

6、;28.5(文)橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2，橢圓上的點(diǎn)P滿足F1PF260°，則F1PF2的面積是()A. B. C. D.答案A解析由余弦定理：|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos60°|F1F2|2.又|PF1|PF2|20，代入化簡得|PF1|·|PF2|，SF1PF2|PF1|·|PF2|·sin60°.(理)已知F是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過其中心的一條弦，則ABF的面積最大值為()A6 B15 C20 D12答案D解析S|OF|·|y1y2|OF|·2b12.6(2

7、010·山東濟(jì)南)設(shè)F1、F2分別為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，c，若直線x上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析直線x上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過F2，|F1F2|PF2|，設(shè)直線x與x軸交于Q點(diǎn)，則易知|PF2|QF2|，即|F1F2|QF2|，2cc，c>0，3c2a2，即e2，e，e<1.7如圖F1、F2分別是橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.1答案D解析連結(jié)AF1

8、，由圓的性質(zhì)知，F(xiàn)1AF290°，又F2AB是等邊三角形，AF2F130°，AF1c，AF2c，e1.故選D.9(杭州五校)橢圓x2my21的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為()A. B. C2 D4答案A解析由題意x21，且2，m.故選A.二、填空題11(文)已知F1、F2為橢圓1(a>b>0)的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF1垂直于x軸，且F1MF260°，則橢圓的離心率為_答案解析令xc，1.y±.|F1M|.F1MF260°，|MF2|2|MF1|.又|MF1|MF2|2a，2a.a23c2.e2，0<e&l

9、t;1，e.(理)(08·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓1(a>b>0)的焦距為2c.以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓M.若過點(diǎn)P作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為_答案解析設(shè)切點(diǎn)為Q、B，如圖所示切線QP、PB互相垂直，又半徑OQ垂直于QP，所以O(shè)PQ為等腰直角三角形，可得a，e.12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓1上，則_.答案解析1的焦點(diǎn)是A(4,0)、C(4,0)，點(diǎn)B在橢圓上，BABC2a10，AC8，由正弦定理得.14若右頂點(diǎn)為A的橢圓1(a>b>0)上存在點(diǎn)P(x，y)，使得

10、3;0，則橢圓離心率的范圍是_答案<e<1解析在橢圓1上存在點(diǎn)P，使·0，即以O(shè)A為直徑的圓與橢圓有異于A的公共點(diǎn)以O(shè)A為直徑的圓的方程為x2axy20與橢圓方程b2x2a2y2a2b2聯(lián)立消去y得(a2b2)x2a3xa2b20，將a2b2c2代入化為(xa)(c2xab2)0，xa，x，由題設(shè)<a，<1.即e>，0<e<1，<e<1.橢圓高考題1.（2010·福建高考文科·1）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ） A.2 B.3 C.6 D.8【命題立意】本題考查

11、橢圓的基本概念、平面向量的內(nèi)積、利用二次函數(shù)求最值.【思路點(diǎn)撥】先求出橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)P為動(dòng)點(diǎn)，依題意寫出的表達(dá)式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解條件最值的問題，利用二次函數(shù)的方法求解. 【規(guī)范解答】選C，設(shè)，則，又因?yàn)?，又?，所以 .2.（2010·廣東高考文科·7）若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ） A B C D【命題立意】本題考察橢圓的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列的定義.【思路點(diǎn)撥】由橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，列出、的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為、間的關(guān)系，從而求出.【規(guī)范解答】選. 橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列, ， ，即： ，

12、又 ， ，即 ， （舍去）或 ， ，故選.3（2010·陜西高考理科·20）如圖，橢圓C： ()求橢圓C的方程； ()設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由?！久}立意】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。其中問題（2）是一個(gè)開放性問題，考查了觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力。 【思路點(diǎn)撥】已知的方程組橢圓C的方程假設(shè)存在直線l使命題成立結(jié)論【規(guī)范解答】（）由知a2+b2=7, 由 又， 由 解得故橢圓C的方程為（）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1,y1）(x2,y2)假設(shè)存在直線l使成立，（）當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得來源:學(xué)因?yàn)橛汕蟾降茫?將代入上式并化簡得（）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，滿足的直線l的方程為，4.（2010·海南高考理科·T20）設(shè)分別是橢圓E:（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與E 相交于兩點(diǎn)，且,成等差數(shù)列.（)求E的離心率；（）設(shè)點(diǎn)P（0,-1）滿足,求E的方程.【命題立意】本題綜合考查了橢圓