山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建

1、山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建1電動力學(xué)電動力學(xué)第第28講講第六章第六章 狹義相對論狹義相對論 (4) 6.3 6.3 相對論理論四維形式相對論理論四維形式教師姓名：教師姓名： 宗福建宗福建單位：單位： 山東大學(xué)物理學(xué)院山東大學(xué)物理學(xué)院2015年年12月月18日日山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建2相對論的基本原理 n在總結(jié)新的實驗事實之后，愛因斯坦（Einstein）提出了兩條相對論的基本假設(shè)： n（1）相對性原理）相對性原理 所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運(yùn)動”。相對論原理是被大

2、量事實所精確檢驗過的物理學(xué)基本原理。n（2）光速不變原理）光速不變原理 真空中的光速相對于任何慣性系沿任意方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建3洛倫茲變換n洛倫茲變換洛倫茲變換22222222221111xvtxvtxxvvccyyyyzzzzvvtxtxccttvvcc山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建4上一講復(fù)習(xí)n速度變換公式速度變換公式 n由洛倫茲變換式可以推出相對論的速度變換公式，設(shè)物體相對于的速度 ,xyzxyzdxdydzuuudtdtdtdxdydzuuudtdtdt山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建5上一講復(fù)習(xí)n6. 6. 速度變換公式速度變換公式 2,1xxxudxuudtc

3、2221,1yyxudycuudtc 22211zzxudzcuudtc 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建6上一講復(fù)習(xí)n6. 6. 速度變換公式速度變換公式 n反變換式為 222222211,111yzxxyzxxxuuuccuuuuuuccc 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建7上一講習(xí)題解答n4. 一輛以速度v運(yùn)動的列車上的觀察者，在經(jīng)過一高大建筑物時，看見其避雷針上跳起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔，求車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時刻差。設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車前進(jìn)方向一致。鐵塔到建筑物的地面距離已知都是l0。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建8上一講習(xí)題解答n解 取靜

4、止系，隨列車運(yùn)動系 ，n列車經(jīng)過一高大建筑物時避雷針上跳起一脈沖點(diǎn)火花，選此時為事件0，（0，0）， （0，0）n則，靜止系上 事件1，后面的鐵塔被電光照亮，時空坐標(biāo)為：n靜止系上 事件2，前面的鐵塔被電光照亮，時空坐標(biāo)為： 00,llc 00,llc山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建9上一講習(xí)題解答所以隨列車運(yùn)動系 22222,11vtxxvtcxtvvcc002122()1lvlcctvc0022221lvlcctvc01222221l vtttvcc 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建10本講主要內(nèi)容n三維空間的正交變換三維空間的正交變換 n物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n洛倫茲變換

5、的四維形式洛倫茲變換的四維形式 n四維協(xié)變量四維協(xié)變量 n物理規(guī)律的協(xié)變性物理規(guī)律的協(xié)變性 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建11二維空間的正交變換二維空間的正交變換 n設(shè)坐標(biāo)系相對于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)了一個角n設(shè)平面上一點(diǎn)P的坐標(biāo)n在系為x，y；n在系為x , y。n新舊坐標(biāo)之間有變換關(guān)系 nOP長度平方為 cossin ,xxy sincosyxy 22222OPxyxy不變量山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建12二維空間的正交變換二維空間的正交變換 cossin ,xxy sincosyxy 22222OPxyxy山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建13二維空間的正交變換二維空間的正交變換 n設(shè)坐標(biāo)系相對于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)了一個角n設(shè)平

6、面上一點(diǎn)P的坐標(biāo)n在系為x，y；n在系為x , y。n設(shè)為平面上任意矢量。在系中的分量為x , y；在系中的分量為x，y。任意矢量的變換與坐標(biāo)變換具有相同形式，這些分量有變換關(guān)系, cossinsincosxxyycossinsincosxxyyvvvv山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建14三維空間的正交變換三維空間的正交變換 n系的直角坐標(biāo)為（x1 , x2 , x3），系的直角坐標(biāo)為（x1 , x2 , x3）。三維坐標(biāo)線性變換一般具有形式 n坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時距離保持不變，應(yīng)有 111121312212223233132333xaaaxxaaaxxaaax222222123123xxxxxx山東大學(xué)物理

7、學(xué)院 宗福建15三維空間的正交變換三維空間的正交變換 n設(shè)為三維空間任意矢量。在系中的分量為x , y , z ；在系中的分量為x，y，z 。任意矢量的變換與坐標(biāo)變換具有相同形式，這些分量有變換關(guān)系,111213212223313233xxyyzzvaaavvaaavvaaav山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建16三維空間的正交變換三維空間的正交變換 n系的直角坐標(biāo)為（x1 , x2 , x3），系的直角坐標(biāo)為（x1 , x2 , x3）。三維坐標(biāo)線性變換一般具有形式 n在一般情形中，當(dāng)公式中出現(xiàn)重復(fù)下標(biāo)時（如上式右邊的j），往往都要對該指標(biāo)求和。以后為了書寫方便起見，我們省去求和符號。除特別申明外，凡

8、有重復(fù)下標(biāo)時都意味著要對它求和。這是現(xiàn)代物理中通用的約定，稱為愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定。 311,2,3iijjjxa xi 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建17三維空間的正交變換三維空間的正交變換 n由此，變換式可簡寫為 n正交條件是 n引入符號ij，定義為 n則，iijjxa x iiiix xx x 不變量1,0.ijijij若若iiijjikkiijkjkijikjkx xa x a xx xx xa a山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建18三維空間的正交變換三維空間的正交變換 ijikjka a( )( )a aI1( )( )aa山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建19物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按

9、空間變換性質(zhì)的分類 n我們知道物理量可以分為標(biāo)量、矢量、張量等類別，這種分類是根據(jù)物理量在空間轉(zhuǎn)動下的變換性質(zhì)來規(guī)定的。 n標(biāo)量標(biāo)量 有些物理量在空間中沒有取向關(guān)系，當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時，這些物理量保持不變。這類物理量稱為標(biāo)量。如質(zhì)量、電荷等都是標(biāo)量。n設(shè)在坐標(biāo)系中某標(biāo)量用u表示，在轉(zhuǎn)動后的坐標(biāo)系 中用u表示。由標(biāo)量不變性有 u = u 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建20物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n矢量矢量 有些物理量在空間中有一定的取向性，這種物理量用三個分量表示，當(dāng)空間坐標(biāo)按公式作轉(zhuǎn)動變換時，該物理量的三個分量按同一方式變換。這類物理量稱為矢量。 n例如速度、力、電場強(qiáng)度和

10、磁場強(qiáng)度等都是矢量。 n有些微分算符以具有矢量的性質(zhì)。例如算符，它在系中的分量為/xi，在 系中的分量為/xi。根據(jù)微分公式有 .jijiijjxaxxxx山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建21物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n二階張量二階張量 有些物理量顯示出更復(fù)雜的空間取向性質(zhì)。這類物理量要用兩個矢量指標(biāo)表示，有9個分量。當(dāng)空間轉(zhuǎn)動時，其分量Tij按以下方式變換n n具有這種變換關(guān)系的物理量稱為二階張量。例如應(yīng)力張量，電四極矩等都是二階張量。 ijikjlklijijTa a TTaTa 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建22物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n二階張

11、量二階張量112123212333111121311111213122122232221222323313233233132332AATABBBTABBBAAAaaaABaaaBAaaaABaaaBAaaaABaaaB111213111121312122232212223231323323132332111213111121321222321232122233132332313233aaaAaaaBTaaaAaaaBaaaAaaaBaaaAaaaaaaABBBaaaaaaAaaa111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaT aaaaaaaaa 山

12、東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建23物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n二階張量二階張量111213111213212223212223313233313233111213111213212223212223313233313233111213212223313233TTaaaaaaTaaaT aaaaaaaaaaaaaaaaaaT aaaaaaaaaaaaaaaTaaa 對稱張量111213212223313233aaaaaaTaaa山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建24物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n二階張量二階張量1112131112132122232122233

13、13233313233111213111213212223212223313233313233111213212223313233TTaaaaaaTaaaT aaaaaaaaaaaaaaaaaaT aaaaaaaaaaaaaaaaaa 反對稱張量111213212223313233aaaT aaaTaaa 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建25物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n若Tij對指標(biāo)i，j對稱Tij = Tji ，則變換后的張量仍然是對稱的。同樣，反對稱張量Tij = Tji變換后保持反對稱性。n張量之跡Tii是一個標(biāo)量 iiikilklklklkkTa a TTT 不變量

14、山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建26物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類 n因此，二階張量可以分解為三個部分：n跡 Tii ，n無跡對稱張量 Tij = Tji，Tii = 0 ,n反對稱張量 Tij = Tji。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建27洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變換的四維形式n洛倫茲變換是滿足間隔不變的四維時空線性變換。如果形式上引入第四維虛數(shù)坐標(biāo)n則間隔不變性可寫作 4xict2222222212341234xxxxxxxx不變量山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建28洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變換的四維形式n以后在下角指標(biāo)中用拉丁字母拉丁字母代表1-3，希臘字母希臘字母代表1-4，間隔

15、不變式可寫為 n洛倫茲變換是滿足間隔不變性的四維線性變換n由此，洛倫茲變換形式上可以看作四維空間的“轉(zhuǎn)動”，因而三維正交變換的關(guān)系可以形式上推廣到洛倫茲變換中去。 x xx x不變量 xax 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建29洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變換的四維形式n沿x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為 220001000010001,1xixyyaxzzictiictvcvcx其中山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建30洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變換的四維形式n沿x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為 220001000010001,1iaivcvc其中山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建31洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變

16、換的四維形式n逆變換矩陣為 1220001000010001,1iaaivcvc其中山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建32洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變換的四維形式n逆變換為 220001000010001,1xixyyzzictiictvcvc其中山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建33四維協(xié)變量四維協(xié)變量n在四維形式中，時間與空間統(tǒng)一在一個四維空間內(nèi)，慣性參考系的變換相當(dāng)于四維空間的“轉(zhuǎn)動”。由于物質(zhì)在時空中運(yùn)動，描述物質(zhì)運(yùn)動和屬性的物理量必然會反映出時空變換的特點(diǎn)。把三維情形推廣，我們也可以按照物理量在四維空間轉(zhuǎn)動（洛倫茲變換）下的變換性質(zhì)來把物理量分類。n在洛倫茲變換下不變的物理量稱為洛倫茲標(biāo)量或不變標(biāo)量或不

17、變量量。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建34四維協(xié)變量四維協(xié)變量n具有四個分量的物理量V，如果它在慣性系變換下與坐標(biāo)有相同變換關(guān)系，它就成為四維矢量四維矢量。n滿足變換關(guān)系的物理量T稱為四維張量四維張量。n這些物理量（標(biāo)量、矢量和各階張量）在洛倫茲變換下有確定的變換性質(zhì)，稱為協(xié)變量。 ,Va V Ta a T 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建35四維協(xié)變量四維協(xié)變量n例如間隔n 為洛倫茲標(biāo)量。n固有時 也是洛倫茲標(biāo)量。 2dsdx dx d山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建36四維協(xié)變量四維協(xié)變量n因物體的位移dx為四維矢量，d為標(biāo)量，所以n 是一個四維矢量。這個四維矢量稱為四維速度矢量四維速度矢量。而通常意義下的速度

18、是 n（下角指標(biāo)用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四維矢量的分量。因為當(dāng)坐標(biāo)系變換時，dxi按四維矢量的分量變換，但dt亦發(fā)生改變，因此ui就不按矢量方式變換。 dxUdiidxudt山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建37四維協(xié)變量四維協(xié)變量n因為n所以四維速度的分量是 nU的前三個分量和普通速度聯(lián)系著，當(dāng) c時即為u u，因此U稱為四維速度。參考系變換時，四維速度有變換關(guān)系 221,1udtduc123( ,).uUu u u icUa U 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建38四維協(xié)變量四維協(xié)變量123123112233( ,)( ,)000100001000uuuuUu u u icUu u u ica U

19、iuuuuuuiicic 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建39四維協(xié)變量四維協(xié)變量1122331()(1)uuuuuuuuuucuuuuicicuc 112233000100001000uuuiuuuuuiciic山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建40四維協(xié)變量四維協(xié)變量11223312()(1)uuuuuuuuuuvuuuuvuc 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建41四維協(xié)變量四維協(xié)變量112233221122()11(1)1uuuuuuuuuuvuuuuvcvu vucc山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建42四維協(xié)變量四維協(xié)變量222322112311122211111vvuuuvccuuuu vu vu vccc山東大學(xué)物

20、理學(xué)院 宗福建43四維波矢量四維波矢量n設(shè)有一角頻率為，波矢量為k k的平面電磁波在真空中傳播。在另一參考系上觀察，該電磁波的頻率和傳播方向都會發(fā)生改變（多譜勒效應(yīng)和光行差效應(yīng)）。以和k k表示上觀察到的角頻率和波矢量?，F(xiàn)在我們研究k k和如何變換。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建44四維波矢量四維波矢量n我們知道，計算輻射場的基本公式是推遲勢公式 n若電流J是一定頻率的交變電流，有0( ,)( , )4rx tcx tdVrJA()0( , )( )( )( , )4i ti k xtx tx ex ex tdVrJJJA山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建45四維波矢量四維波矢量n電磁波的相位因子是n在另一

21、參考系觀察的相位因子是,iet k x,iet kx山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建46四維波矢量四維波矢量n設(shè)參考系和的原點(diǎn)在時刻t=t=0重合，n在該時刻位相 =0，取此事件為第1事件。n在參考系上n個周期后，第n個波峰通過原點(diǎn)，n=-2n,取此事件為第2事件。n因為某個波峰通過某一時空點(diǎn)是一個物理事件，而位相只是計數(shù)問題，不應(yīng)隨參考系而變。n相位是一個不變量。 tt 不變量k xkx山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建47四維波矢量四維波矢量n我們知道x x與ict合為四維矢量x，因此，若k k與i /c合為另一個四維矢量k，它們按四維矢量方式變換，有n我們得到一個四維波矢量 k xk x 不變量( ,)k

22、ic k山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建48四維波矢量四維波矢量112233( ,)000100001000ijkikakckkikkkkiiicck山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建49四維波矢量四維波矢量11222331()()vkkckkkkvk 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建50四維波矢量四維波矢量n設(shè)波矢量k與x軸方向的夾角為，k與x軸方向的夾角為，有n這就是相對論的多普勒效應(yīng)和光行差公式。11coscos(1cos )sin(cos)kkccvctgvc山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建51四維波矢量四維波矢量n若為光源的靜止參考系，則 = 0，0為靜止光源的輻射角頻率。有 n這就是相對論的多普勒效應(yīng)。0.(1cos )c山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建52四維波矢量四維波矢量n在垂直于光源運(yùn)動方向觀察輻射時，經(jīng)典公式給出 = 0 ，而相對論公式給出 n即在垂直與光源運(yùn)動方向上，觀察到的輻射頻率小于靜止光源的輻射頻率。這現(xiàn)象稱為橫向多譜勒效應(yīng)。橫向多譜勒效應(yīng)為Ives-Stilwell實驗所證實，它是相對論時間延緩效應(yīng)的證據(jù)之一。 2021.c山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建53四維波矢量四維波矢量n設(shè)在參考系上觀察,由光源輻射出的光線在