利用綜合除法巧解一元多項式問題

1、利用綜合除法巧解一元多項式問題The Ingenious Use of Synthetic Division to Solve the Problem ofOne Element Polynomial HU Jiaojiao ， CHENG Qian( School of Mathematics and Statistics， Qinghai NormalUniversity ， Xining ， Qinghai 810008 )Synthetic division plays an important role in the study of higher algebra ， is wide

2、ly used in solving mathematical problems. And the，theexpr calculation of a polynomial factorization， especially the root problemis complicated ， in this paper ， the polynomial function can be easily decomposed by using the synthetic division method， and the highdegree polynomial can be decomposed ef

3、fectively. And at the same time division number greater than 1 is extended.Keywords polynomial ； synthetic division ； rational是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的是研究多項式理論本文利用這一工具一元多項式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要組成部 分， 石；綜合除法是帶余除法的一種特殊情 況重，要工具， 在多項式計算中充當(dāng)有利工 具ot : factorization且在綜合除法的根底上結(jié)合有理根判斷法分解高次多項式； 最后再對除式次數(shù) 大 于 1 的綜合除法表達(dá)式， 討論其商式和余式的求法并給出簡 潔的 表達(dá)

4、形式。1 預(yù)備知識定義 1.11 數(shù)環(huán)上一個文字的多項式或一元多項式指的是 形式表達(dá)這里是非負(fù)整數(shù)； 都是中的數(shù)。 在多項式中叫作常數(shù)項或 零 次項，叫作次項，叫作次項的系數(shù)。定理 1.11 設(shè)，那么中可找到多項式，當(dāng)去除時，使，所 得 余式就是在處的值，即。定理 1.21 設(shè)是一個整系數(shù)多項式， 假設(shè)有理數(shù)是的一個根， 和是互素的整數(shù)，是一個整系數(shù)多項式，那么1 整除的最高次項系數(shù)，而整除的常數(shù)項系數(shù)；2 現(xiàn)介紹綜合除法。設(shè)由定理 1.1 得其中 商式； 余式 為，那么可用下表計算出商式的系數(shù)和余式： 這就是綜合除 法。2 綜合除法的應(yīng)用2.1 利用綜合除法簡便計算多項式的值 在計算高次冪多

5、項式 函數(shù)的值時， 會出現(xiàn)運(yùn)算復(fù)雜、 運(yùn)算量 大、耗時長等特點，為簡化運(yùn)算、提高效率和正確率，當(dāng)題目要 求求得某高次多項式函數(shù)的值時， 那么可以將利用綜合除法寫成 的多項式形式，余式的值即就是所求的值例1 ，求解：將通過綜合除法分別寫成以為除式的形式即；此時得例 2 將多項式表示成的形式解：所以因而綜合上述解題方法， 可發(fā)現(xiàn)在求特定高次多項式值時， 綜 合 除法不僅提高運(yùn)算效率， 還降低了運(yùn)算量， 將函多項式寫 成特定 函數(shù)冪的形式對解題以及理解多項式也具有非常重要的 意義。2.2 分解因式分解因式是代數(shù)式的恒等變形， 目前使用因式分解的方法 中 例如十字交叉法只能解決較低次冪多項式的問題，

6、對于高次 冪多 項式計算仍沒有行之有效的解決方法。 此時借助定理 1.2 利 用綜 合除法可解決高次多項式求有理根的問題。例3 求多項式的有理根解：由題知最高項系數(shù) 1 的因數(shù)是 ?？，常數(shù)項 -6 的因數(shù) 是?？； ?？； ?？； ?？，由定理 1.3 知，所有可能的有理根 是?？； ? ？； ?？； ?？。以下通過綜合除法來檢驗。即二重根， -1 ，-2，3 為全部根此題中多項式次數(shù)較高， 簡單十字交叉法不能， 將因式分 解， 運(yùn)用綜合除法可對其分解，但注意重根情形。3 除式為高次多項式的綜合除法 將綜合除法中除式為的形 式推廣為更高次的整系數(shù)多項式 問題，文獻(xiàn) 2 中未給出余式的 具體的表達(dá)式， 文獻(xiàn) 3 雖分類詳 盡，但結(jié)構(gòu)太過復(fù)雜， 因此 為提高應(yīng)用廣泛性和可操作性得到以 下一般形式。定理：設(shè)有，且，商式；余式那么有；且；且那么有下表： 定理由關(guān)系式，比擬同次項系數(shù)易得。例 4 設(shè)，求除的商式和余式。 解：令；那么 根據(jù)上述一般方法公式對使用綜合除法，除式為 所以除的 商式為，余式為 此題利用上面的表達(dá)式， 簡捷地計算了除式為高次項的多 項 式運(yùn)算，使問題變得簡單化。如果除式中最高項系數(shù)不為 1，那 么我們應(yīng)該先將除式變?yōu)樽罡唔椣禂?shù)為 1 的多項式再利用綜合 除法一般形式進(jìn)行計算即可。4 結(jié)束語 本文利用綜合除法及其相關(guān)拓展解決了多項式值 計算繁瑣