第1章 1.3.2　極大值與極小值

1、.1.3.2極大值與極小值1會求函數(shù)的極大值與極小值重點2掌握函數(shù)極大小值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系難點3理解函數(shù)在某點獲得極值的充分條件和必要條件易錯點根底·初探教材整理1函數(shù)極大小值的概念閱讀教材P30上半部分，完成以下問題函數(shù)極大小值的概念設(shè)函數(shù)fx在x1附近有定義，且fx1比它附近點的函數(shù)值都要大，我們稱fx1為函數(shù)fx的一個極大值；設(shè)函數(shù)fx在x2附近有定義，且fx2比它附近點的函數(shù)值都要小，我們稱fx2為函數(shù)fx的一個極小值函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值判斷正誤：1函數(shù)fxx3ax2x1必有2個極值2在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行或重合3函數(shù)fx有極值【答案】123

2、5;教材整理2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系閱讀教材P30下半部分，完成以下問題1極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系xx1左側(cè)x1x1右側(cè)fxfx>0fx0fx<0fx增極大值fx1減2極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系xx2左側(cè)x2x2右側(cè)fxfx<0fx0fx>0fx減極小值fx2增函數(shù)fx的定義域為開區(qū)間 a，b，導(dǎo)函數(shù)fx在a，b內(nèi)的圖象如圖1­3­2所示，那么函數(shù)fx在開區(qū)間a，b內(nèi)有極小值點_個圖1­3­2【解析】由圖象可知：導(dǎo)函數(shù)fx0有4個，但只有b附近的根滿足根的左邊為負值，右邊為正值，故函數(shù)fx只有一個極值點【答案】1質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)

3、完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型求函數(shù)的極值求以下函數(shù)的極值1fxx22x1；2fxx36；3fx|x|.【自主解答】1fx2x2，令fx0，解得x1.因為當(dāng)x<1時，fx<0，當(dāng)x>1時，fx>0，所以函數(shù)在x1處有極小值，且y極小值2.2fxx32x2xxx22x1xx12.令fx0，解得x10，x21.所以當(dāng)x變化時，fx，fx的變化情況如下表：x，000,111，fx00fx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增無極值單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時，函數(shù)獲得極小值，且y極小值6.3fx|x|顯然函數(shù)fx|x

4、|在x0處不可導(dǎo)，當(dāng)x>0時，fxx1>0，函數(shù)fx|x|在0，內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時，fxx1<0，函數(shù)fx|x|在，0內(nèi)單調(diào)遞減故當(dāng)x0時，函數(shù)獲得極小值，且y極小值0.1討論函數(shù)的性質(zhì)要注意定義域優(yōu)先的原那么2極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系1可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)值為0的點，導(dǎo)數(shù)值為0的點不一定是極值點點x0是可導(dǎo)函數(shù)fx在區(qū)間a，b內(nèi)的極值點的充要條件：fx00；點x0兩側(cè)fx的符號不同2不可導(dǎo)的點可能是極值點如本例3中x0點，也可能不是極值點如y，在x0處不可導(dǎo)，在x0處也取不到極值，所以函數(shù)的極值點可能是fx0的根，也可能是不可導(dǎo)點再練一題1函數(shù)fxx22ln x，

5、那么fx的極小值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：01580013】【解析】fx2x，且函數(shù)定義域為0，令fx0，得x1或x1舍去，當(dāng)x0,1時，fx<0，當(dāng)x1，時，fx>0，當(dāng)x1時，函數(shù)有極小值，極小值為f11.【答案】1利用函數(shù)的極值求參數(shù)fxx3ax2bxc在x1與x時都獲得極值1求a，b的值；2假設(shè)f1，求fx的單調(diào)區(qū)間和極值【精彩點撥】1求導(dǎo)函數(shù)fx，那么由x1和x是fx0的兩根及根與系數(shù)的關(guān)系求出a，b.2由f1求出c，再列表求解【自主解答】1fx3x22axb，令fx0，由題設(shè)知x1與x為fx0的解a，b2.2由1知fxx3x22xc，由f112c，得c1.fxx3x22x1.f

6、x3x2x2.當(dāng)x變化時，fx，fx的變化情況如下表：x11，fx00fx單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增fx的遞增區(qū)間為和1，遞減區(qū)間為.當(dāng)x時，fx有極大值為f；當(dāng)x1時，fx有極小值為f1.函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，應(yīng)注意以下兩點：1根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；2因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性再練一題2函數(shù)fxx3m3x2m6xxR，m為常數(shù)，在區(qū)間1，內(nèi)有兩個極值點，務(wù)實數(shù)m的取值范圍【解】fxx2m3xm6.因為函數(shù)fx在1，內(nèi)有兩個極值點，所以導(dǎo)數(shù)fxx2m3xm6在1，內(nèi)與x軸有

7、兩個不同的交點，如下圖所以解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是3，探究共研型函數(shù)極值的綜合應(yīng)用探究1導(dǎo)數(shù)為0的點都是極值點嗎？【提示】不一定，如fxx3，f00，但x0不是fxx3的極值點所以，當(dāng)fx00時，要判斷xx0是否為fx的極值點，還要看fx在x0兩側(cè)的符號是否相反探究2函數(shù)fx的定義域為開區(qū)間a，b，導(dǎo)函數(shù)fx在a，b內(nèi)的圖象如圖1­3­3所示，那么函數(shù)fx在開區(qū)間a，b內(nèi)有幾個極小值點？圖1­3­3【提示】一個x1，x2，x3是極值點，其中x2是極小值點x1，x3是極大值點探究3函數(shù)yfx在給定區(qū)間a，b內(nèi)一定有極值點嗎？【提示】不一定，假

8、設(shè)函數(shù)yfx在區(qū)間a，b內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，就沒有極值點函數(shù)fxx33xaa為實數(shù)，假設(shè)方程fx0有三個不同實根，務(wù)實數(shù)a的取值范圍【精彩點撥】求出函數(shù)的極值，要使fx0有三個不同實根，那么應(yīng)有極大值大于0，極小值小于0，由此可得a的取值范圍【自主解答】令fx3x233x1x10，解得x11，x21.當(dāng)x<1時，fx>0；當(dāng)1<x<1時，fx<0；當(dāng)x>1時，fx>0.所以當(dāng)x1時，fx有極大值f12a；當(dāng)x1時，fx有極小值f12a.因為方程fx0有三個不同實根，所以yfx的圖象與x軸有三個交點，圖略由應(yīng)有解得2<a<2，故實數(shù)a的取值范圍是2

9、,2方程fx0的根就是函數(shù)yfx的零點，是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，研究方程的根的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸交點的問題我們可以根據(jù)函數(shù)圖象在坐標(biāo)軸中的位置不同，結(jié)合極值的大小確定參數(shù)的范圍再練一題3上例中，假設(shè)方程fx0恰有兩個根，那么實數(shù)a的值如何求解？【解】由例題，知函數(shù)的極大值f12a，極小值f12a，假設(shè)fx0恰有兩個根，那么有2a0，或2a0，所以a2或a2.構(gòu)建·體系1假設(shè)x2與x4是函數(shù)fxx3ax2bx的兩個極值點，那么a_，b_.【解析】fx3x22axb兩零點為2,4，【答案】3242假設(shè)函數(shù)fx在x1處取極值，那么a_.【解析】由fx0，x22xa0，x1，又fx在x1處取極值，x1是x22xa0的根，a3.【答案】33設(shè)aR，假設(shè)函數(shù)yexaxxR有大于零的極值點，那么a的取值范圍為_【答案】，14函數(shù)fxx33ax23a2x1既有極大值又有極小值，那么實數(shù)a的取值范圍是_【解析】fx3x26ax3a2，函數(shù)fx既有極大值又有極小值，方程fx0有兩個不相等的實根，36a236a20，即a2a20，解得a2或a1.【