重力扭轉平衡實驗

1、重力扭轉平衡實驗(Gravitational Torsion Balance Experiment) 胡裕民 編寫一. 實驗目的：1. 利用Henry Cavendish的實驗方法來測量重力常數(gravitational constant，G)。二. 原理介紹：在1686年，Isaac Newton所發(fā)表的著作“Principia Mathematica”中指出：所有物質之間存在著重力的作用，且此重力(吸引力)正比於兩作用物體的質量，並反比於兩作用物體之間距離的平方。然而，在牛頓發(fā)表的一個世紀之後，科學家知道重力常數G以及所有天體質量的大小。牛頓的理論不僅當時成功地解釋了自由落體以及天體運動

2、的現象，並使得後來的數學家能以計算方式正確地預測出海王星(Neptune)的存在。在牛頓的時代，所有的計算是利用太陽(或地球)與行星(或衛(wèi)星)的質量比值來求得的，牛頓實際的方程式為 (1)其中F為重力，m為物體的質量，D為距離，K為克卜勒常數(Keplers constant，為行星軌道半徑的三次方與公轉周期平方的比值)。著名的牛頓萬有引力定律現今可表示為： (2)其中F為重力，G為重力常數(= 6.67×10-11 Nm2/kg2)，m、M為兩物體之質量，r為兩物體之間的距離。1798年Henry Cavendish (1731-1810，英國化學及物理學家，發(fā)現hydrogen、

3、argon原子以及water、nitric acid的組成)設計了一個實驗來計算地球的質量，並首先發(fā)現重力常數G的數值大小。大部分的基本常數，例如：電荷e、普朗克常數h等，的測量都可精確到八、九個位數，但是重力常數G的測量較為困難，只能精確到三個位數：(6.673±0.010)×10-11 m3kg-1s-1。當初，Cavendish的實驗裝置如圖一所示： 圖一.(左)扭擺平衡運動側面圖(右)扭擺平衡運動頂面圖。將兩個質量為m的小鉛球固定在一支細棒的兩端，細棒中央固定一個反射鏡，然後將此系統(tǒng)如圖一(左)所示，以一條細石英線平衡懸掛。將一支臂上兩個較大的鉛球位於positio

4、n 1或position 2，如圖一(右)所示。以一雷射光束投射到反射鏡上，觀察遠處直尺上的反射光。兩個小球受到大球(於position 1)吸引時，會使石英線受到力矩而逆時針扭轉，若鏡子轉動一個小角度時，反射光會偏轉到2的角度。當兩個小球受到大球(於position 2)吸引時，會使石英線受到力矩而順時針扭轉，若鏡子轉動一個小角度-時，反射光會偏轉到-2的角度。若鏡子到直尺的距離為L，反射光在直尺上移動的距離為x，則： (3)兩個大球作用在兩個小球的力矩為：，F為其中一個大球作用在一鄰近小球的作用力，d為兩個小球間距的一半。若D為石英棒的扭力常數，則 (4)此外，扭力常數D與震盪週期T之間的

5、關係為： (5)其中I為轉動系統(tǒng)的轉動慣量： (6)因此，利用eq.(3)-(6)： (7)將eq.(7)與eq.(2)比較後可知 (8) 本實驗根據上述的基本原理，利用兩種方法來量測重力常數，以下分別仔細介紹各方法的原理：1. 由最後偏折的量測： 圖二由圖二所示，當大球(質量M)在position 1時，大球與小球(質量m)之間的重力F可表示為： (9)在此系統(tǒng)中，大球與小球之間的重力作用產生一淨力矩： (10)此重力產生的淨力矩會與扭轉的扭力線產生的力矩大小相同、方向相反： (11)因此 (12)當大球旋轉到position 2的位置時，系統(tǒng)會由平衡位置S1作阻尼震盪，一直到靜止於另一個新

6、的平衡位置S2，如圖三所示。 圖三此時，S1與S2之間的距離S與扭轉角度之間的關係為(如圖四所示)： (13) 圖四扭力常數可利用觀察振盪週期T來決定： (14)其中I為小球系統(tǒng)的轉動慣量：(r為小球的半徑) (15) (16)因此，實驗上量測雷射光點的總偏折距離S以及振盪週期T，即可得知G。2. 由加速度的量測：如前所述，當大球旋轉到position 2的位置時，系統(tǒng)會由平衡位置S1作阻尼震盪，一直到靜止於另一個新的平衡位置S2。因為小球的振盪週期很長(約十幾分鐘)，因此當大球旋轉到position 2位置的同時，小球並沒有明顯的運動，此時大球與小球之間的重力大小與之間約略相同，只是方向相反

7、。故此時剛加速小球的力量Ftotal等於原先重力作用的兩倍： (17)由阻尼簡諧振盪的本質可知：在振盪週期的前十分之一時間內，初始加速度a0約為常數(變化在5%範圍內)。因此，我們在振盪之初紀錄測量出初始加速度a0，即可約略得到重力常數G。 圖五 如圖五所示，初始加速度a0可由觀察雷射光點的位移而計算出來： (18)其中s為小球的線性位移。利用牛頓第二運動方程式： (19)將S與t2作圖，計算斜率即可得到初始加速度a0，亦即得到重力常數G。三. 實驗裝置：1. 裝置參考圖：(圖六)圖六 2. 實驗儀器：(圖七，由左到右)a. 2-56×1/8 Phillips head screws

8、.× 4b. replacement torsion ribbon (鈹銅製，長26cm).× 3c. Gravitational Torsion Balance.× 1d. 鉛球(大：1.5kg/31.9mm × 2，?。?8.3g/9.53mm × 2).× 4e. support base with leveling feet.× 1f. plastic plate.× 1g. Phillips screwdriver (not shown)× 1h. He-Ne laser light sourc

9、e (not shown).× 1i. Meter stick (not shown).× 1j. 碼錶× 1 圖七 其他裝置參數：k. 當大球貼近鋁板時，大球的質量中心至小球的質量中心的距離b為46.5mm。l. 反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。3. 基本架設：a. 先檢查實驗儀器有無數量短缺或損壞情事，有則報告實驗助教。b. 將基座置於平坦的實驗桌上，距離牆壁或屏幕至少五公尺。實驗過程中避免碰觸實驗桌。c. 小心地將gravitational torsion balance固定在基座上。d. 旋轉擺錘腔(pendulum chamber)底部的

10、螺絲，使得locking mechanism降至最低。(如圖八(左)所示) 圖八e. 調整基座腳使得擺錘在鏡子上方的中央。(如圖八(右)所示)f. 抓住torsion ribbon head，鬆開固定螺絲，調整擺錘高度，使得擺錘與擺錘腔切齊後，將固定螺絲鎖緊(如圖九所示)。注意：此步驟只在更換扭力線後或是誤觸扭力線固定螺絲時才需進行。 圖九 圖十g. 擺錘臂的轉動校正(zeroing)：如圖十所示，將雷射光斜打在反射鏡上，經由反射後觀察由鏡面反射的點與由玻璃視窗反射的點是否對齊，如圖十一(左)所示。若無對齊，則鬆開零點調整螺絲，輕輕轉動zero adjust knob，直到兩雷射光點對齊後即鎖

11、緊零點調整螺絲，如圖十一(右)所示。 圖十一h. 精確地量測圖十中L的距離長度。注意：反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。i. 將接地銅線接於擺錘腔的接地螺絲並鎖緊。j. 將大鉛球放在支臂兩端上，並轉到position 1的位置，如圖十二所示。 圖十二k. 靜待擺錘停止震盪。這可能需要數小時，實驗時可利用擺錘腔(pendulum chamber)底部的螺絲，使得locking mechanism緩慢升起並接觸到擺錘棒，幾秒後再小心地將locking mechanism緩慢下降，快速地使擺錘停止震盪。四. 實驗步驟：1. 方法一：由最後偏折的量測(準確度：5%)a. 待基本架設完成後

12、，大球置於position 1位置，並使擺錘停止振盪。b. 將雷射打開，觀察反射光點的位置幾分鐘，看看反射光點是否移動，以確定系統(tǒng)已達穩(wěn)定。精確紀錄position 1時反射光點的位置S1，並紀錄反射光點位置S1隨時間變化的微小變化，以做為系統(tǒng)的起始誤差。c. 小心地將大球旋轉到position 2的位置，使大球剛好接觸擺錘腔外殼，絕對避免有較大的碰撞，使得系統(tǒng)失去平衡狀態(tài)。(可利用兩階段過程來減少擺錘達到平衡的時間(如圖十三所示)：先將大球旋轉到intermediate position，等到雷射光束移動至最遠距離時，再將大球旋轉到position 2的位置，使大球剛好接觸擺錘腔外殼。 圖十

13、三d. 立刻觀察並紀錄光點位置(每十五秒紀錄一次)。e. 紀錄振盪一次的時間(為求精確，紀錄幾次的振盪周期後加以平均)。f. 一直等到振盪結束後，紀錄最後平衡的位置S2。數據分析修正：g. 將所紀錄的數據，利用eq.16計算出G值。h. 由於系統(tǒng)本身的誤差，因此我們做必須以下的修正：小球除了受到鄰近大球的重力吸引F之外，也會受到另一大球較弱的重力F0吸引，如圖十四所示。 圖十四由圖十四的幾何關係可知 (20) (21)而由萬有引力定律可知 (22)因此 (23)此處我們定義一無單位參數 (24)由以上可知，實際作用於小球的重力，因此實驗計算出的重力常數，而G0則為修正後標準的重力常數。2. 方法二：由加速度的量測(準確度：15%)a. 先完成方法一中的步驟a-c。b. 立刻觀察並紀錄光點位置(每十五秒紀錄一次，直到三分鐘)。 數據分析c. 將光點位移S(y軸)對時間t的平方(x軸)作圖，選擇起初符合線性關係的資料點作迴歸分析，找出斜率值，利用eq.17-19即可得到初始加速度a0以及重力常數G。d. 利用方法一的數據修正方法，得到正確的重力常數G。注意：1. 實驗進行