齊次和非齊次線性方程組的解法(整理定稿)

1、線性方程組解的結構(解法)一、齊次線性方程組的解法【定義】r(A)= r <n，若AX = 0 (A為m n矩陣)的一組解為 自,&,“A，且滿足：1 h，|，&r線性無關；(2) AX = 0的)任一解都可由這組解線性表示 .則稱&，&，|“，& r為AX = 0的基礎解系.稱Xkiak2 &"IknrEnr為AX = 0的通解。其中k,卜2,，加為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關鍵問題就是求通解，而求通解的關鍵問題是求基礎解系.【定理】若齊次線性方程組 AX = 0有解，則(1)若齊次線性方程組 AX = 0 (A為m n矩陣)

2、滿足r(A) n ,則只有零解；(2)齊次線性方程組有非零解的 充要條件是r(A) n .(注：當m n時，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式 A 0.)注：1、基礎解系不唯一，但是它們所含解向量的個數(shù)相同，且基礎解系所含解向量的個數(shù)等于n r(A).2 、非齊次線性方程組 AX B的同解方程組的導出方程組(簡稱“導出組” )為齊次線性方程組 AX 。所對應的同解方程組。由上述定理可知，若 m是系數(shù)矩陣的行數(shù)(也即方程的個數(shù))，n是未知量的個數(shù)，則有：(1) 當m n時，r(A) m n ,此時齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個數(shù) 大于方程的個數(shù)就一定有非零解；

3、(2)當m n時，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式A 0；(3)當m n且r(A) n時，若系數(shù)矩陣的行列式|A 0,則齊次線性方程組只有零解；(4)當m n時，若r(A) n ,則存在齊次線性方程組的同解方程組；若r(A) n ,則齊次線性方程組無解。1、求AX = 0 (A為m n矩陣)通解的三步驟(1) A 行 C (行最簡形)；寫出同解方程組 CX =0.(2)求出CX =0的基礎解系&, &,|“，& r ;寫出通解Xk1 &k2 &Illkn其中k1, k2,，kn-為任意常數(shù).2X13x?X35x40,3X1X22x3X40

4、,4X1X23X36x40,X12x24X37x40.【例題1】解線性方程組解法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣1014III431672643顯然有r（A）則方程組僅有零解，即X1X2X3X40.解法二:由于方程組的個數(shù)等于未知量的個數(shù)（即n ）（注意：方程組的個數(shù)不等于未知量的個數(shù)（即以用行列式的方法來判可計算系數(shù)矩行列式：3270 ,知方程組僅有零解,X1X2X3X40.注：此法僅對n較小時方便X1X2X3X4X50,3X12x2X3X43X50,X22X32X46X50,5X14x23X33X4X50.【例題2】解線性方程組解：將系數(shù)矩陣A化為簡化階梯形矩陣1A 305121411231

5、12313611 ( 5)1 ( 3)4r2100011111222122216662r2 2(1)r1r31) r42可得r(A) 2則方程組有無窮多解,同解方程組為X1X2X32X3X42X45X5, 6X5.(其中 X3, X4,人為自由未知量）令 X3 1 , X40 , X5 0 ,得 X11必 2 ；0 ,得為1,X22;1 ,得 Xi 5,X26,12125611，20,30010001所以，原方程組的通解為 Xk1基礎解系為于是得到原方程組的一個1k2二、非齊次線性方程組的解法k3 3 ( k1 , k2 , k3R ).求AX = b的解（Am n, r(A)用初等行變換求解

6、,不妨設前列線性無關c11c12c22c1 rc2r5C2d1d2(A：b)HI crndrdr 10其中g 0(i1,2,|,r),所以知(1)dr 10時，原方程組無解.(2) dr 10,r n時，原方程組有唯一解.dr 10,r < n時，原方程組有無窮多解.其通解為,kn r為任意常數(shù)。其中:,A r為AX = b導出組AX = 0的基礎解系，0為AX = b的特解,【定理1】如果是非齊次線性方程組 AX=b的解,是其導出組 AX=0的一個解，則是非齊次線性方程組AX=b的知I?！径ɡ?如果°是非齊次線性方程組的一個特解,是其導出組的全部解，則 0是非齊次線性方程組的

7、全部解。由此可知：如果非齊次線性方程組有無窮多解，則其導出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解其中：0是非齊次線性方程組的一個特解,nr是導出組的一個基礎解系?！纠}3】判斷下列命題是否正確,A為m n矩陣.AX=0只有零解,則AX=b唯一解.答：錯,因 r(A)= n, r (A)= n = r(A | b)(2)AX=0有非零解,則AX=bl'無窮多解.答：錯,因 r(A)< n, r (A)= r (A | b)AX=bW唯一解,則AX=0只有零解.r(A)=r(A | b) = n.(4)AX=0有非零解,則ATX=0也有非零解.答：錯,A為m n,r(A)=m&l

8、t;n, r(AT)=m 這日AX=0只有零解.例如A為 3 4, R(A)=3 <4, r(A)=3=m 若r( A)= r =m則AX=b必有解.答:卡寸，r(A)=r=m= r( A b).(6)若r(A)=r =n,則AX=b必有唯一解.答：錯，A為n 時，可以 r (A | b) = n+1.唯一解：r(A) r(A)線性方程組有唯一解【例題4】解線性方程組X12X14X1X2X2X22x32x34X31,4,2.n LI4 22 41 12 4BA一 AII:角2)4)2r2 16 0 001 0 3 0 100LI 1-22)r 4-3 /.V2 (3)X1可見r(A)r(

9、A)3,則方程組有唯一解，所以方程組的解為X2X31,2, 0.無解:r(A)r(A)線性方程組無解(或若階梯形方程組出現(xiàn)dr0 ,則原方程組無解)【例題5】解線性方程組解：A (AB)2X1X1X22x2X3X32x31,2, 4.2111121212121212r1 r2r1 2 r20333r2 r30333 ,1124r1 ( 1)r303360003X1X22 ,所以原方程組無解可見 r(A) 3 r(A)無窮多解：r(A) r(A) n線性方程組有無窮多解【例題6】解線性方程組X1 2x( 2x1X2X2解：A(A B)10X32x3r1rr2 2 r2 1 r2 (r3 r11)

10、可見r(A)r(A)X2x32X35X4,7X4.令X30,X4又原方程組的2X43x410x42) r22 r33,1,4.則方程組有無窮多解，其同解方程組(其中X3, X4為自由未知量)0,得原方程組的一個特解導出組的同解方程組為X1X21410X32x35X4,7X4.(其中X3, X4為自由未知量)令 X3 1 , X4 0 ,得 X11,X2X30,X45區(qū)7,于是得到導出組的一個基礎解系 為所以，原方程組的通解為k1【例題7】 求線性方程組:k2 2k2R).2X1X1X1解：A (A B)X22x2X2X3X4X32x33X4X41,2,3.的全部解.r1r2r1 ( 2)r1

11、( 1)2310334r20222(3)(2)(1)31r3r3(13)2(3)(2)12可見r(A)r(A)X13232 1所以方程組有無窮多解,同解方程組X2X33X4,232x4,1X4.2（其中X4為自由未知量）令X40,可得原方程組的一個特解X1又原方程組的導出組的同解方程組為X2X332X4,3-X4,(其中X4為自由未知量)21- x4.2 4令X42 （注：這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)），得X1 3,X23,X3 1,于是得到導出組的一個 基礎解系所以，原方程組的通解為 Xk ( k R).【例題8】求非齊次線性方程組X13x2 3x3 2x4 x52x1 6x2 x

12、3 3x4 2X1 3x2 2x3 x4 x5 3x1 9x2 4x3 5x4 x5的全部解。12131241241241 332130 051240000000000001332611 32394213302111515133005005005因為r(A)r(A) 2 5,所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為X2, X4, X5 ,原方程組與方程組X1 3x2 3x3 2x4 X53 口加向解5X3 X4 2X540取自由未知量x2,x4,x5為0 ,得原方程組的一個 特解：03 c 4i一，0, ,0,0再求其導出組的基礎解系，其X13X23x32x4X50導出組與方程組123

13、45 同解5X3 X4 2X5010對自由未知量X2,X4,X5分別取 0,10000 ,代入上式得到其導出組的一個基礎解系為,215 ,325010001則原方程組的全部解為：X C1 1 C2 2 C3 3三、證明與判斷【例題9】已知1, 2, 3是齊次線性方程組 AX= 0的一個基礎解系，證明次線性方程組AX= 0的一個基礎解系。證：由已知可得：齊次線性方程組 AX= 0的基礎解系含有 3個解向量，并且由齊次線性方程組解的性質可知1, 12, 123都是AX= 0的解；因此只要證明1, 12, 123線性無關即可。設存在數(shù)k1,k2,k3使k11 k2 ( 12

14、 )k3 ( 123)0 成立。整理得：卜 k2 k3 )1*2 k3 )2 卜3 30( 1)已知1, 2, 3是齊次線性方程組AX= 0的一個基礎解系，即得1, 2, 3線性無關，則由(1)得k1 k2 k30k2 k30 ,解得：k1 k2 k30 所以1, 12, 123線性無關。k30即1, 12, 123也是齊次線性方程組 AX= 0的一個基礎解系?！纠}10】已知&,&,&, &是齊次線性方程組AX= 0的一個基礎解系，若1& t&, 2& t&, 3t&,4& t&。討論t滿足什么條件時1,

15、 2，3，4是齊次線性方程組AX= 0的一個基礎解系解：首先,1, 2, 3, 4是齊次線性方程組 AX= 0的解，只須證1 , 2 , 3 , 4線性無關由已知有：(1, 2, 3, 4)(&,&,&, a)因為:1 , 2, 3 , 4線性無關1 0 0 tt 1 0 00 t 1 00 0 t 1所以當t1時,1, 2, 3, 4是齊次線性方程組AX= 0的一個基礎解系【例題11已知n階矩陣A的各行元素之和均為零，且r(A)=n-1,求線性方程組 AX=0的通解.解：由r(A)= n-1知AX=0的基礎解系有一個非零解向量.又 ai1ai2"J ain0

16、, i 1,2,|“，n,即 ai1 1 ai2 1 ain 10Xk(1,1,|,1)T, (k為任意常數(shù))為所求通解.【例題12】設X1,X2，Xt是非齊次線性方程組AX =b 0的解向量，證明：對于 %=k1X+k2 X2+ +kt X當 k1 +k2+kt=1 時，是 AX=b 的解；當 k1 +k2+kt=0 時，X)是 AX=0 的解.證：AX=A( k1 X+k2 %+-+ktX)= k1 AX+k2 AX+ktAX=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：當 k1+k2+kt=1 時，AX =b當 k1 +k2+kt=0 時，AX=0由此可見，非齊次方程組的解對于

17、線性組合并不一定封閉，只有組合系數(shù)的和等于1的時候，解向量組的線性組合才是非齊次方程組的解！【例題13】已知1, 2為AX的兩個不同解，&, &是AX = 0的一個基礎解系.k1,k2為任意常數(shù)則AX的通解為（(A) ki 4 k2( 4(B)K& k2( &(C)ki &k2 ( 1(D)K & k2( 12) -22【例題 14】3是四元非齊次線性方程組AX= b的三個解向量，且矩陣A的秩為 3,1, 2,3, 4T,230, 1, 2, 3 T，求 AX= b 的通解。解：因為A的秩為3,則AX= 0的基礎解系含有 4-3= 1個解向量。由

18、線性方程組解的性質得:1)是AX= 0的解,則解得AX= 0的一個非零解為:2,3,4,由此可得AX= b的通解為:1,2, 3, 4T c2, 3,4,【例題15設A是4階方陣，(W0)是4X1矩陣,r(A)2,3,4 是 AX =的解,且滿足 124208,230 33 ,3321 01試求方程組AX = 的通解.解：先求AX二的一個特解12 04再求AX = 的一個基礎解系3(2 23)021，32(2)(3 327015因為4 R(A)2,&, &線性無關,所以&, &是AX = 0的一個基礎解系.故方程組AX =的通解是k1 a1204k10213k227 , k1,k2為任意常數(shù)