高級中學各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

1、一次函數(shù)（一）函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法：（ 1）關系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（ 2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；（ 3）關系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（ 5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。（二）一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如y kx b （ k ， b 是常數(shù)，且k 0 ）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x 是自變量。當b 0時，一次函數(shù)y kx,又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是y kx b,要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式當b 0, k 0時

2、，y kx仍是一次函數(shù).當 b 0 ， k 0 時，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k 是常數(shù)，注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx （k當 k>0 時， 直線 y=kx 經(jīng)過三、kw0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).不為零 ） k 不為零 x 指數(shù)為 1 b 取零一象限，從左向右上升，即隨 x 的增大 y 也增大； 當 k<0時， ?直線 y=kx 經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x 增大 y 反而減?。?）解析式：y=kx （k是常數(shù)，kw 0）（2） 必過點： （ 0， 0） 、 （ 1， k

3、）（3） 走向： k>0 時，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0 時，?圖像經(jīng)過二、四象限（4） 增減性：k>0， y 隨 x 的增大而增大；k<0， y 隨 x 增大而減?。?） 傾斜度：|k| 越大，越接近y 軸； |k| 越小，越接近x 軸3、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx+ b（k,b是常數(shù)，kw0）,那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，y=kx + b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b （k 不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取任意實數(shù)b一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0, b）和（-_, 0）兩點的一條直線，我們稱它為

4、直k線y=kx+b,它可以看作由直線 y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0 時，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b是常數(shù)，k 0）b（2）必過點：（0, b）和（-9 , 0）k（3）走向：k>0 ,圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性：k>0 , y隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減?。?）傾斜度：|k|越大，圖象越接近

5、于 y軸；|k|越小，圖象越接近于 x軸.（6）圖像的平移：當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移 b個單位；當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移 b個單位.4、一次函數(shù)y=kx + b的圖象的畫法、.一般情況下：是先選取.即橫坐標根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可它與兩坐標軸的交點：（0, b）,或縱坐標為0的點.b>0b<0b=0k>0經(jīng)過二-、二、三象限經(jīng)過二-、三、四象限經(jīng)過二-、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過二-、二、四象

6、限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小A'5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關系一次函數(shù)y=kx + b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線 y=kx平移|b|個單位長度而 得到（當b>0時，向上平移；當 b<0時，向下平移）6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)概念一般地，形如 y=kx（k是常數(shù)， kw0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其 中k叫做比例系數(shù)一>地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kw。），那 么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，是y=kx, 所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).自變量 范圍X為全體實數(shù)圖象一條直線必

7、過點(0, 0)、(1, k)一b(0, b)和(-b , 0) k走向k>0時，直線經(jīng)過一、三象限； k<0時，直線經(jīng)過二、四象限k>0, b>0,直線經(jīng)過第一、二、二象限k>0, b<0直線經(jīng)過A、三、四象限k<0, b>0直線經(jīng)過A、二、四象限k<0, b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限增減性k>0, y隨x的增大而增大；（從左向右上升）k<0, y隨x的增大而減小。（從左1可右下降）傾斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸圖像的 平移b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移 出個單位；b<0時，將

8、直線y=kx的圖象向卜平移 4個單位.6、直線ykixbi (ki0)與yk2xb2(k20)的位置關系(1)兩直線平行 k1k2且b1b2(2)兩直線相交 k1k2(3)兩直線重合 k1卜2且4b2(4)兩直線垂直k1k217、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關系式；(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關系式中得到以待定系數(shù) 為未知數(shù)的方程；(3)解方程得出未知系數(shù)的值；(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關系式中得出所求函數(shù)的解析式8、一元一次方程與一次函數(shù)的關系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0 (a, b為常數(shù)，a

9、w 0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為 0時，求相應的自變量的值.從圖象上看，相當 于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.9、一次函數(shù)與一元一次不等式的關系任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0 (a, b為常數(shù)，aw0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大(小)于。時，求自變量的取值范圍.10、一次函數(shù)與二元一次方程組(1)以二元一次方程 ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y= - x '的b b圖象相同.(2)二元一次方程組a1x b1y %的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=亙x

10、 土和 a2 x b2 yc2b1b1a2C2y= x 的圖象父點.b2b2二次函數(shù)、二次函數(shù)概念:1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y2ax bx c （ a, b, c是吊數(shù)，a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似,.次項系數(shù)a 0 ,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2.二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構特征: 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量a, b, c是常數(shù)，a是二次項系數(shù),x的二次式，x的最高次數(shù)是2.、二次函數(shù)的基本形式D 一般式:2axbx頂點式:次項系數(shù),c是常數(shù)項.2axbx圖像定義域?qū)ΨQ軸頂點坐標值域單調(diào)區(qū)間xix x24ac b

11、24a2a2a2a2a2a遞減遞增4ac b24a4ac b24a2a遞減X2£ a-2b 4ac 0時，二次函數(shù)的圖像和線段MW21為.2一， ,一，.一一.一b 4ac 0時，二次函數(shù)的圖像和特別地，當且僅當b 0時，二次函數(shù)x軸有兩個交點Mi Xi ,0 , M2 X2,0 ,b .x軸有兩個重合的交點 M ,0 . 2af x ax2 bx c a 0為偶函數(shù).1. 二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì):a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨 x的增大而減小；x 0時，y有最小值0.

12、a 0問卜0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而減??；x 0時，y隨 x的增大而增大；x 0時，y有最大值0.2. y ax2 c的性質(zhì):上加下減。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨 x的增大而減?。粁 0時，y有最小值c.a 0問卜0, cy軸x 0時，y隨x的增大而減??；x 0時，y隨 x的增大而增大；x 0時，y有最大值c.3. y a x h 2的性質(zhì):左加右減。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上h , 0X=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y 隨x的增大而減??；x h時，y有最小值0.a 0問卜h ,

13、 0X=hx h時，y隨x的增大而減?。粁 h時，y 隨x的增大而增大；x h時，y有最大值0.24. y a x h k的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y 隨x的增大而減??；x h時，y有最小值k .a 0問卜h, kX=hx h時，y隨x的增大而減??；x h時，y 隨x的增大而增大；x h時，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟：方法一： 將拋物線解析式車t化成頂點式y(tǒng) a x h 2 k,確定其頂點坐標 h,k ; 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h, k處，具體平移方法如下：y=a&

14、gt;2a y=aX2+k向上(k>0)【或向飛k<0)】平移|k件單位向上(k>0)1或T(k<0)l平移|k|個單位向右(h>0)或左h<0)】 平移|k|個單位向右(h>0)【或右:h<0) 平移|k|個單位向上(k>0)【或下k<0) 平移|k|個單位向右(h>0)【或右:h<0)平移|k|個單位y=a(x-hi2y=a(x-h2+k2 .平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“ h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減，上加下減方法二：y ax2 bx c沿y軸平移：向上(下)平移 m個單位，y ax

15、2 bx c變成22y ax bx c m (或 y ax bx c m)、y ax2 bx c沿軸平移：向左（右）平移m個單位，y ax2 bx c變成2y a(x m) b(xm) c (或 y a(x m)2 b(x m) c)四、二次函數(shù)yk 與 y ax2bx c的比較從解析式上看,ax2 bx c是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即b2a24ac4ab , 4ac b2一,k 2a 4a五、二次函數(shù)2 axbxc圖象的畫法五點繪圖法:其開口方向、利用配方法將二次函數(shù)y2 axbx c化為頂點式y(tǒng) a（x h）2對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖選取

16、的五點為：頂點、與 與x軸的交點 x1 , 0 , 畫草圖時應抓住以下幾點:y軸的交點0,c、以及0, c關于對稱軸對稱的點k ,確定.一般我們2h , c、x2, 0 （若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.六、二次函數(shù)y2ax bxc的性質(zhì)1.當a 0時,拋物線開口向上，對稱軸為2b _ 一, b 4ac bx 一 ,頂點坐標為一，2a2a 4a時,2.當a包時，y隨x的增大而減?。?ay有最小值"a。:4a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x 旦時，y隨x的增大而增大;2a當x b時，y隨x的增大而增大；當x2a2bb 4

17、ac bx ,頂點坐標為 ，2a2a 4ab2ay隨x的增大而減?。划攛 -b時,2a七、1.2y有最大值4ac b 4a二次函數(shù)解析式的表示方法2.3.一般式:頂點式:兩根式:2 axa(xa(xbx c ( a ,2h) k ( a ,xi)(x x2)(c為常數(shù)，k為常數(shù),a 0);a 0);0, xi , x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x軸有交點，即b2 4ac 0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1

18、.二次項系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項系數(shù)，顯然 a 0. 當a 0時，拋物線開口向上， a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越 當a 0時，拋物線開口向下， a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，|a 的大小決定開口的大小.2 . 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a 0的前提下，當b 0時，_b_ 0,即拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè)；2a當b 0時， 2 0即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b 0時，_b_ 0即拋物線對稱軸在 y軸的右側(cè). 2a在a 0的前提下

19、，結(jié)論剛好與上述相反，即當b0時，0,即拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)；2a當b0時，0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b0時，0,即拋物線對稱軸在 y軸的左側(cè).2aab的符號的判定：對稱軸x 包在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)2a則ab 0,概括的說就是“左同右異”3.常數(shù)項c當c當c當c0時,0時,0時,拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與 拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；y軸交點的縱坐標為0;y軸交點的縱坐標為負.總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定

20、的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3 .已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱22.y ax bx c關于x軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c ；2.一 一 .2y a

21、x h k關于x軸對稱后，得到的解析式是y a x h k；2 .關于y軸對稱22.y ax bx c關于y軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c；2y a x h k關于y軸對稱后，得到的解析式是3 .關于原點對稱y ax. 一. .一 2y a x hk關于頂點對稱后，得到的解析式是y a x h k . bx c關于原點對稱后，得到的解析式是yax2 bx c；2y a x h k關于原點對稱后，得到的解析式是4 .關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180。）22b2y ax bx c關于頂點對稱后，得到的斛析式是y ax bx c ;2a5 .關于點m, n對稱2n k22y a

22、x h k關于點 m, n對稱后，得至解析式是 y a x h 2m根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換， 拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化， 因此|a永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時， 可以依據(jù)題意或方便運算的原則， 選擇合適 的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線） 的頂點坐標及開口方向， 再確 定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.十、二次函數(shù)與一元二次方程:1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x軸交點情況）ax2 bx c當函數(shù)值y 0時的特殊一兀二次方程axx1, x2是一兀一次方程 ax bx c 0 a bx c 0是二次

23、函數(shù)y 情況.圖象與x軸的交點個數(shù):2b 4ac 0時，圖象與x軸交于兩點x2）,其中的0的兩根.這兩點間的距離AB x2 x1b2 4aca 當 0時，圖象與x軸只有一個交點；當 0時，圖象與x軸沒有交點.1'當a 0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有 y 0；2'當a 0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有 y 0 .2 .拋物線y ax2bx c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0 , c）;3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié): 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點

24、式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a, b, c的符號，或由二次函數(shù)中a,b, c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合;(4)二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或 已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標0拋物線與x軸有 兩個交點二次二項式的值可止、 可零、可負一兀二次方程有兩個/、相等實根0拋物線與x軸只 有一個交點二次三項式的值為非負一兀二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x軸無 交點二次三項式的值恒為正一兀二次方程無實數(shù)根.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關系從函數(shù)觀點來看,元二次不等式axf x ax bx c

25、a 0的圖像上，位于 x軸下萬的點的橫坐標的集合;bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)xax2 bx c a0的圖像上，位于x軸上方的點的橫坐標的集合;元二次不等式ax2bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)元二次不等式ax2bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)2ax bx c a 0的圖像上，位于x軸上萬的點和與 x軸的交點的橫坐標的集合;2兀一次不等式ax bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)2ax bx c a 0的圖像上，位于x軸下萬的點和與 x軸的交點的橫坐標的集合.元二次方程ax2 bx c 0 a 0的解就是二次函數(shù) f xax2 bx c a 0的圖像上，與x軸的交點的橫

26、坐標.反比例函數(shù)反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（Kw 0）。2、性質(zhì):1 .當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增2 .k>0時，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在 x<0 上為增函數(shù)、在x>0 上同為增函數(shù)。定義域為xw0;值域為yw0。3 .因為在y=k/x（k w0）中，x不能為0, y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x 軸相交，也不可能與y 軸相交。4 .在一個

27、反比例函數(shù)圖象上任取兩點P, Q,過點P, Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1, S2則S1 = S2=|K|5 . 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。6 .若設正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m n同號）， 那么 A B 兩點關于原點對稱。7 .設在平面內(nèi)有反比例函數(shù) y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n要使它們有公共交 點，則nA2+4k m> （不小于）0。8 . 反比例函數(shù)y=k/x 的漸近線：x 軸與 y 軸。9 . 反比例函數(shù)關于正比

28、例函數(shù)y=x,y=-x 軸對稱 , 并且關于原點中心對稱.10 .反比例上一點m向x、y分別做垂線，交于q、w,則夕!形mwqo（o為原 點）的面積為|k|11 .k 值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12 .|k| 越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。13 . 反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=aAx （a>0,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù) 的定義域是R。注意：L指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),定義域：R住 （2）fS

29、 域（3）過點（。】）,即門一（】時.丁=17皮 （4）在R匕足增函數(shù)在H工靈減函數(shù)a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關于 y軸對稱,但這規(guī)律：1.當兩個指數(shù)函數(shù)中的 兩個函數(shù)都不具有奇偶性-4 -3 -2 I 23 42. 當a>1時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側(cè)，圖像越靠近 y軸；當0vav1時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近 y軸。在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。Ox3. 四字口訣：“大增小減”。即：當a>1時，圖像在R上是增函數(shù)；當0vav1時, 圖像在R上是減函數(shù)。4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較募式大小的方法：1 .當?shù)讛?shù)

30、相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；2 .當?shù)讛?shù)中含有字母時要注意 分類討論；3 .當?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量進行比較；4 .對多個數(shù)進行比較，可用 0或1作為中間量進行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。在f（X）后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。對數(shù)函數(shù)1 .對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域（-8, +8）上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax（a >0, awl）的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為 y=log ax（a >0, awl）.因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為

31、（-00, +oo）,值域為（0 , +oo）,所以對數(shù)函數(shù)y=log aX的 定義域為（0, +8），值域為（-8, +oo）.2 .對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫 出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù) y=log ax（a >0, aw 1）的性質(zhì)，我們在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=log 2X, y=log 10X, y=log 10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草圖210y=log ax(a >0, a由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)豐1)的圖像的特征和

32、性質(zhì).見下表.圖象a> 1av 1X=1K-o* x-i * y logax (0<a<l)OI片*性 質(zhì)(1)x >0(2)當 x=1 時，y=0(3)當 x>1 時，y>00<x<1 時，y<0(3)當 x>1 時，y<00<x<1 時，y>0(4)在(0 , +8 )上是增函數(shù)(4)在(0 , +8)上是減函數(shù)補 充性 質(zhì)設 yi=log ax y 2=log bx 其中 a> 1, b> 1(或 0v av 1 0 < b< 1)當x>1時“底大圖低”即若a>b則y1

33、>y2當0<x< 1時“底大圖圖”即若a>b,則y1>y2比較對數(shù)大小的常用方法有:(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進彳T判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論.若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用 換底公式化為同底再進行比較. 若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助 1、0、-1等中間量進行比較.3 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一式y(tǒng)=ax(a >0, aw 1)y=log ax(a >0, aw 1)定義域(-8 + +8 )(0 , +00)值域(0 , +00)(-巴 +OO)當a> 1時，

34、當a> 1時函的1( x 0)0(x 1)值ax 1( x 0)10g a x 0(x 1)變1(x 0)0(x 1)化當0v av 1時，當0v av 1時，情1(x 0)0(x 1)1%ax 1(x 0)10g a x 0(x 1)1(x 0)0(x 1)單調(diào)性當a>1時，ax是增函數(shù)；當a> 1時，log ax是增函數(shù)；當0vav1時，ax是減函數(shù).當0vav1時，log ax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=log ax的圖像關于直線y=x對稱.號函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)哥函數(shù)y xn隨著n的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分n-1 1 一類記憶的萬法.熟練掌握 y x ,當n 2, 1, 一，一，3的圖像和性質(zhì)，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點1,1 ,除原點外，任何幕函數(shù)圖像與坐標軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過第四象限._1 1a -，一，1, 2,