第三章----單自由度有阻尼系統(tǒng)的振動

1、第三章 單自由度有阻尼系統(tǒng)的振動31 阻尼的作用與分類前述無阻尼的振動只是一種理想情況，在這種情況下，機械能守恒，系統(tǒng)保持持續(xù)的周 期性等幅振動。但實際系統(tǒng)振動時，不可避免要受到各種阻尼的影響，由于阻尼的方向始終 與振動體的運動方向相反，因此對系統(tǒng)作負(fù)功，不斷消耗系統(tǒng)的能量，使自由振動不斷衰減 最終停止，強迫振動的振幅受到抑制。阻尼有各種來源，情況比較復(fù)雜，主要有下列三種形式。1. 干摩擦阻尼： 兩個干燥表面互相壓緊并相對運動時所產(chǎn)生的阻尼稱為干摩擦阻尼，阻尼大小與兩個面 之間的法向壓力 N 成正比，即符合摩擦定律 F=fN ，式中 f 是摩擦系數(shù)。2. 粘性阻尼： 物體以中、低速度在流體中運

2、動時所受到的阻力稱為粘性阻尼。有潤滑油的滑動面之間產(chǎn)生的阻尼就是這種阻尼。 粘性阻尼與速度的一次方成正比， 即F CX,式中G為粘性阻尼系 數(shù)，它取決于運動物體的形狀、尺寸及潤滑介質(zhì)的粘性，單位為N s/cm。物體以較大速度在流體中運動時（如 3m/s以上），阻尼將與速度的平方成正比，即 F bx2 ,式中b為常數(shù), 此種阻尼為非粘性阻尼。3. 結(jié)構(gòu)阻尼、 材料在變形過程中，由內(nèi)部晶體之間的摩擦所產(chǎn)生的阻尼，稱為結(jié)構(gòu)阻尼。其性質(zhì)比較 復(fù)雜，阻尼的大小取決與材料的性質(zhì)。由于粘性阻尼在數(shù)學(xué)處理時可使求解大為簡化，所以本節(jié)先以粘性阻尼為基本模型來分 析有阻尼的振動。在遇到非粘性阻尼時則可用等效粘性的

3、辦法作近似計算。有關(guān)等效粘性阻 尼的概念和計算方法在本章后面再作介紹。32 具有粘性阻尼的自由振動單自由度有阻尼振系的力學(xué)模型如圖 3-1 所示，包括彈簧、質(zhì)量及阻尼器。以物體的平衡 位置 0 為原點，建立圖示坐標(biāo)軸 x 。則物體運動微分方程為mx= CX kx式中 ：cx 為阻尼力，負(fù)號表示阻尼力方向與速度方向相反。mx CXkXO(a)kC令p2= , 2n,則上式可簡化為mmX 2nx p20(3-1)將上式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，為ID這就是有阻尼自由振動微分方程。它的解可取X est ,其中22 StS是待定常數(shù)。代入(3-1)式得(S 2ns P )e O ,要使所有時間內(nèi)上式都能滿足, 必

4、須s2 2ns p2 O ,此即微分方程的特征方程，其解為22Z XS1,2n n P(b)于是微分方程(3-1)的通解為Sits°tnt /n2 p2tn2 p2t .Z XX c1e1c2 e2e (c1ec2 e )( 3-2)式中待定常數(shù)C1與C2決定與振動的初始條件。振動系統(tǒng)的性質(zhì)決定于根式j(luò)2 P2是實數(shù)、零、還是虛數(shù)。對應(yīng)的根3與S2可以是不相等的負(fù)實根、相等的負(fù)實根或復(fù)根。若S1與S2為等根時，此時的阻尼系數(shù)值稱之為臨界阻尼系數(shù)，記為Cc,即CC= 2mp。引進一個無量綱的量，稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比。n/ P c/2mp ccc(3-3)當(dāng)n>p或 >1

5、,根式.n2 p2是實數(shù)，稱為過阻尼狀態(tài)，當(dāng) n<p或 <1 ,根式 n2p2是虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)，當(dāng)n = p, 即卩 =1,稱為臨界阻尼狀態(tài)?，F(xiàn)分別討論三種狀態(tài)下的運動特性。1過阻尼狀態(tài)此時 >1 ,即、n2 p2 <n, (b)式中S1及S2均為負(fù)值，則est及es2t是兩根下降的指數(shù)曲線，故(3-2)式所表示的是兩條指數(shù)曲線之和，仍按指數(shù)衰減，不是振動。圖3-2所示為c1>c2,c1<O時的情況。2.臨界阻尼狀態(tài)此時 =1, (b)式中S1= S2= n= p,特征方程的根是重根，方程（3-1）的另一解將為tePt ,故微分方程（3-1）的通解為X

6、 =（ c+ c2t） e Pt（C）式中等號右邊第一項 ciePt是一根下降的指數(shù)曲線，第二項則可應(yīng)用麥克勞林級數(shù)展開成以下形式：c2tePtC2-PiTTeC21/t PP2t2! P3t2 /3!nj. nP t /n!從上式看出，當(dāng)時間t增長時，第二項C2tePt也趨近于零。因此（C）式表示的運動也不是振 動，也是一個逐漸回到平衡位置的非周期運動。3弱阻尼狀態(tài)此時p>n,或 <1。利用歐拉公式A F ednX0)2,tg將A與 代入（3-4-1 ）式，即可求得系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)，由式（3-4-1）可知，系統(tǒng)振動已不再是等幅的簡諧振動，而是振幅被限制在曲線 Ae nt之內(nèi)隨

7、時間不斷衰減的衰減振動。如圖3-3所示。這種衰減振動的固有圓頻率、固有頻率和周期分別為(3-5)1XoPdJn2 P2tP2 n2tee/ 2 2 .COS P n ti sin . p2n2t可將（3-2）式改寫為2 2 2 21X e nt(C1ei P nt C2e i p nt)nt'2e (D1 cos Pn2t D2sin . p2n2t)或X Ae nt Sin( P2 n2t)(3-4-1)令 Pd. P2 n2 ,則X Ae nt Sin( Pdt)(3-4-2)式中A與 為待定常數(shù)，決定于初始條件。設(shè)t = 0時，X = Xo, X X0，則可求得PdP2n2 P.

8、 1f .1_2 2 ITIP2n2P .12,12式中P、f、T是無阻尼自由振動的固有圓頻率、固有頻率和周期。由上可見，阻尼對自由振動的影響有兩個方面：一方面是阻尼使自由振動的周期增大、頻率減小，但在一般工程問題中n都比P小得多，屬于小阻尼的情況。例=np=0.05時, fd=0.9990f, Td=1.00125T ;而在 =0.20 時，fd=0.98f, Td=1.02T ,所以在阻尼比較小時，阻尼對系統(tǒng)的固有頻率和周期的影響可以略去不計，即可以近似地認(rèn)為有阻尼自由振動的頻率和 周期與無阻尼自由振動的頻率和周期相等。另一方面，阻尼對于系統(tǒng)振動振幅的影響非常顯 著，阻尼使振幅隨著時間不斷

9、衰減，其順次各個振幅是：t=b時，AI=Ae-叫；t=t1+Td時，A2=Ae n(t1 Td) ； t=t1+2Td時，A3 =Ae n(t1 2Td),.。而相鄰兩振幅之比是個常數(shù)。即Aj / Aj 1enTd(3-6)式中稱為減幅系數(shù)或振幅衰減率，n稱為衰減系數(shù)，n越大表示阻尼越大，振幅衰減也越快。當(dāng) =0.05時， = 1.37, A2=A11.37=0.73A1,每一個周期內(nèi)振幅減少27%,振幅按幾何級數(shù)衰減，經(jīng)過10次振動后，振幅將減小到初值的4.3%?？梢?，衰減是非常顯著的。在工程上，通常取(3-6)式的自然對數(shù)以避免取指數(shù)的不便，即式中稱為對數(shù)減幅或?qū)?shù)衰減率。Ln(Aj/Aj

10、 1)nTd(3-7)將Td2 /, p2n2代入，得2n / . p2 n22/ 1 2(3-8-1)當(dāng)<<1時， 2 (3-8-2)因為任意兩個相鄰的振幅之比是一個常數(shù)enTd ,即A / A2A2 / A3A3/A4.nTdAj / Aj I ee故有AAj1(AA2)(A2A3)(Aj/Aj1) ej因此對數(shù)減幅也可表達為nAjA(j 1)(3-9)此外，根據(jù)（3-6）式，可以用實測法來求得系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。因為Ln Aj 1nTdn丄L TdAj£丄LQ2m TdAj 12m IC LnTdAjAj 1(3-10)所以只要實測得出衰減振動的周期Td及相鄰兩次振幅A

11、j和Aj+1，即可計算出系統(tǒng)的阻尼系數(shù)CO例3-1在圖3-1所示的振系中，彈簧剛度K=250Ncm ,阻尼系數(shù)C=6N s/cm,物體解:先求阻尼比判斷阻尼狀態(tài)，分析運動性質(zhì),因為C2mp0.61 ,屬弱阻尼振動，故運動方程為:r982、250 980式中:Pd由初始條件:AentSin (PdtP.12k(1 2)m2Xo (X)2Pdt = 0 時，X0= 1cm、X0Ae ntPd COS(Pdt250 (198/9800.62)tg0.6 ×)nsin( Pdt)401/sX。PdX nX0250301/s98/980代入以上兩式，得A=1.25cm , tg,即53010所

12、以X=1.25e-30ts in (40t+0.928)重98N。設(shè)物體從靜平衡位置下拉1cm,然后突然釋放，求此后的運動。例3-2設(shè)阻尼系數(shù)為 C=1N s/cm,其余數(shù)據(jù)同上例，試求對數(shù)減幅,并估計使振幅減小到初始值的1%所需的次數(shù)及時間。解：1 9802 98 500.1,20.628振動次數(shù).1 I JLnAl1 Ln 1004.6057.4 8Aj 10.628所需時間tJTd2 J2 J2 81.01sP 12P50例3-3有阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊重98N ,彈簧剛度k=7Ncm ,阻尼系數(shù)C未知,如果測得幅值為每循環(huán)衰減率為10% ,求阻尼系數(shù) CO解：Ln (Aj / Aj

13、) Ln (1/ 0.9)=0.105 ,m=98980=0.1。由(3-8)式得/ . 4 220.105/ . 4 2(0.105)20.0167 N s/cm所以 C=2mp 2. mk 2 0.0167 . 0.1 70.0279 N s/cm。33在簡諧激擾力作用下的強迫振動單自由度粘性阻尼系統(tǒng)強迫振動的力學(xué)模型如圖3-4所示。設(shè)系統(tǒng)中除了有彈性恢復(fù)力及阻尼力作用外，還始終作用著一個簡諧擾力運動定律，直接寫出系統(tǒng)的運動微分方程為：F (t) =F0sin t,其中為激擾頻率。由牛頓mx CX kx F0 Sin t(3-11)令 P2=k/m, 2n=c/m , q=F0m。則(3-

14、11)式可改寫為下 列形式2X 2nx P X qsin t(3-12)方程的通解由兩部分組成。即x(t) X1(t) X2(t)其中X1(t)為齊次方程的通解，X2(t)為方程(3-12)的特解,I逹 CP C 1kx 3,i 1I 11IfIF)=Ft Si co tT= (t)圖鬥1在弱阻尼情況下，通解為(3-4)式，即x1(t)Ae nt Sin( p2 n2t )(a)弦函數(shù)的頻率一致。令其形式為x2(t)BSin( t )(3-13)所以方程（3-12）的通解為X AentSin（, p2 n2t ） BSin（ t ）（3-14）上式等號右邊第一項已討論過，是一個衰減振動，只在振

15、動開始后的一段時間內(nèi)才有意義，所以稱其為瞬態(tài)振動；第二項是系統(tǒng)在簡諧激擾力作用下產(chǎn)生的強迫振動，是一種持續(xù)等幅 振動，稱它為穩(wěn)態(tài)振動。 圖3-5表示了在初始階段由（3-14）式表示的由兩種不同頻率不同振 幅的簡諧運動迭加的結(jié)果。其中細(xì)實線表示 等幅振動，粗實線表示某種情況下兩種運動 的迭加。通過一段時間后，粗實線逐漸與細(xì) 實線相重合而成為單純的穩(wěn)態(tài)振動。因此在 一般情況下，可以不考慮瞬態(tài)振動而僅研究 強迫振動中持續(xù)的等幅振動。以下分析由（3-13）式所表示的穩(wěn)態(tài)振動。S 3-5（3-13）式中，B為強迫振動振幅，為相位差，現(xiàn)求這兩個待定常數(shù)。將式（3-13）代（P2將上式右側(cè)改寫成2)Bs i

16、n( t ) 2n Bcos( t ) q Si nt入式（3-12），有2)qsin tq cos Sin( t ) qsin cos( t )比較方程左右側(cè)中sin（ t ）及cos（ t ）的系數(shù)，可得B（ p22） q cos ， 2n B qsin解上列聯(lián)立方程式，得仍用記號p2k /m，作用下的靜擾度。則（qZ 2222 2.(P ) 4ntg2n2 2P(b)c2mp n/p ccc, = ZP,并令 Bo=qp2=Fok,即常力 Fob）式可改寫成下列形式B Bo/ （12）2 （2 ）21tg (2/1(3-15)(3-16)從（3-13）、（ 3-15）、（ 3-16）式可

17、以看出，具有粘性阻尼的系統(tǒng)受到簡諧激擾力作用時,強迫振動也是一種簡諧振動，其頻率與激擾力頻率相同，振幅B、相位差都只是決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（質(zhì)量 m、彈簧剛度k、粘性阻尼系數(shù)c）,與激擾力的大小、頻率及初始條件無關(guān)。強迫振動的振幅大小在工程實際問題中有重要意義，因此有必要搞清楚影響振幅的各種因素。由式（3-15）知，影響振幅的因素為 Bo、和,現(xiàn)分別加以討論。1 . Bo的影響：因為Bo=FoK ,它反映了激擾力的影響，即振幅B與激擾力幅Fo成線性關(guān)系，F(xiàn)o越大則B越大。2 .的影響:為了說明對振幅B的影響，先將式（3-15）寫成如下無量綱形式1/2即 B=B o/2 =FoCP(3-18

18、)B/Bo 1/ (12)2(2 )2(3-17)式中稱為振幅放大因子，或振幅比。現(xiàn)以振幅比為縱坐標(biāo)，以頻率比為橫坐 標(biāo)，以阻尼比為參變量，據(jù)式（3-15）作出如圖3-6所示的振幅頻率影響曲線（簡稱振幅響應(yīng)曲 線）,以表明頻率對系統(tǒng)位移的影響特性。從（3-17）式或圖3-6可看出：1）當(dāng)激擾頻率很低，即 = /PVV 1時，放 大因子接近于1 ,即振幅B很近于Bo,此時的 振幅相當(dāng)于把激擾力力幅Fo當(dāng)作靜載荷加于系統(tǒng)上產(chǎn)生的靜位移。2）當(dāng)擾頻很高，即 p>>1時，放大因子趨近于零，原因是，擾力方向改變很快，振 動物體由于慣性來不及跟隨，結(jié)果是停著不動。3） 當(dāng)擾頻與振系的固有頻率很

19、近，即 /p 1,在 較小的情況下，振幅B可以很大（即 比Bo大很多倍），此即共振現(xiàn)象。在共振區(qū)附近振幅的大小主要取決于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在無阻尼的情況下，即=0時，如2-3節(jié)中所提到的那樣，振幅將變?yōu)闊o限大，共振振幅（ =P時）可由下式求出：嚴(yán)格地講，放大因子或振幅B的最大值，并不是出現(xiàn)在=P時。利用求極值的方法，可求出當(dāng)1 2 2時，使強迫振動的振幅有最大值的擾頻，即共振頻率：r .12 2 P（ 3-19）而共振時的放大率與振幅分別為r 1/2 12，Br B0/2 12 F0CP 12（3-20）20% 30%。在 1時，（3-20）與（3-18）式相差很小，所以通常說在

20、=P時發(fā)生共振。為了避免共振,般在設(shè)計機器或結(jié)構(gòu)物時，應(yīng)使固有頻率高于或低于擾頻約3.的影響：由圖3-6可以看出，阻尼僅在共振附近一定范圍內(nèi)對降低振幅有顯著作用，當(dāng)阻尼為零時，共振振幅Br趨于無限大，增加阻尼，振幅可以明顯下降，在離開共振稍遠(yuǎn)的范圍，阻尼對降低振幅的作用很小， 尤其在 >>P時，阻尼幾乎沒有作用。 因此在接近于 P的區(qū)域 必須考慮阻尼的影響。當(dāng)>0.7時，幅頻響應(yīng)曲線變成一平坦的曲線了。這一事實充分說明，阻尼對共振振幅有明顯的抑制作用。圖3-7由式（3-16）可知，強迫振動的相位差與頻率 比及阻尼比有關(guān)。若以為縱坐標(biāo)，以頻率比為橫坐標(biāo)，以阻尼比為參變量，據(jù)（3

21、-16）式可繪成如圖3-7所示的曲線，此曲線稱為相位頻率響應(yīng)曲 線（簡稱相頻響應(yīng)曲線）。從圖中可以看出，始終是 正值，故強迫振動的位移總是滯后于激擾力，而且與 阻尼比的大小無關(guān)。還可看出，若 0,則當(dāng)<1 時，在 0o-90o之間；當(dāng) >1 時，在 90o-180o 之間。若 =0,及系統(tǒng)無阻尼存在時相位差與頻率=1處有一個突變，即 <1時，比的關(guān)系就如2-3節(jié)中 圖2-15所示那樣，相位差在=0 ；入>1時， =180o。這就是說在V P時，強迫振動的位移與激擾力同相；在>P時,強迫振動的位移與激擾力反相。即強迫振動的位移在共振點前后出現(xiàn)突然的相位變化。若系統(tǒng)有

22、阻尼存在，則這種相位突然變化的規(guī)律漸趨于平穩(wěn)。當(dāng) =1時（即共振時）相位差 =90與阻尼大小無關(guān)，這是共振的一個重要特征。例3-4如圖3-4所示粘性阻尼振系，質(zhì)量m、彈簧剛度k及阻尼系數(shù)C均為已知，有擾力F=FoSin t作用， =P，設(shè)在t=0時，X=O、X 0，求運動方程。解：振動微分方程的通解為3-14）式。因為=P ,系統(tǒng)發(fā)生共振，相位差=90° ,由ntCPJ-e sin(. p2n2t Sin 1 12)旦costCP（3-18）式，B=Fo/CP=Foc。故特解為X2BSin( t)F。Csin( t900)FOCc cost通解為：、F0)cosCXntAe SinK

23、, P2n2tt對時間求導(dǎo)，有F 0)Sin tCX Ae nt . p22 ncos( p2n2t)nsin(., p2n2t將初始條件代入，有F0,0C0ASi nAl - P2 2n cosn Si n)可求得tg.P2n2 /n.12 I/ ,Sin12A Fo/c .12Focp.12所以，運動方程為例3-5如圖3-4所示振系，物塊重980N ,彈簧剛度K=900Ncm ,阻尼系數(shù)C=24N cm,鉛垂向擾力F=90sin t N ,求：（1）在 =P時的振幅；（2）使振幅有極大值時的擾頻r及Br/B。解：振系的固有頻率P 、k/m . 900 980/98030 1/s,在 =P時

24、，B= F0 / CP 90 /(24 30)0.125 Cm。使振幅有極大值時擾頻為r122P,其中24 980C ,c/ 2mp0.42 980 30故振幅的最大值為.1 2(0.4)2 30 24.71/SBrF° / cp 12 ,Br / B 1/ . 121/0.92 1.09例3-6如圖3-8所示的振系在激擾力 F0sin t作用下，求系統(tǒng)的角振幅。假定桿 OA為剛性均質(zhì)桿，質(zhì)量為 m。解：取角位移為坐標(biāo)， 靜平衡位置為原點，順時針 方向為正。根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運動微分方程I,得系統(tǒng)的振動微分方程為m 222L FoLsin t Ka Cb3即3cb2mL23ka2m

25、L23FO Sin tmL將上面方程和方程(3-12)比較，得p2 3ka2mL2,2 n 3cb2mL2,q 3F0mL桿OA在激擾力矩FOLSin t作用下產(chǎn)生簡諧振動 =BSin( t- )振幅B q 1 p2 (12) (2 )234偏心質(zhì)量所引起的強迫振動在旋轉(zhuǎn)機械中，由于偏心質(zhì)量所引起的強迫振動是極為普遍的現(xiàn)象，以下討論這類振動現(xiàn)象。具有偏心質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)機械力學(xué)模型如圖 3-9所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)機械的質(zhì)量為 m,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量 為m1,偏心距為e,轉(zhuǎn)動角速度為,彈簧剛度為 k,阻尼器阻尼系數(shù)為 c?，F(xiàn)只研究機器在 垂直方向的振動。設(shè)機器位移為 X (從靜平衡位置算起，向下為正)，偏心質(zhì)量m1的

26、位移為x+esin t，由動量定理，系統(tǒng)的振動方程可寫成111.2 2d Xd Z八m m12 m1 （X esn t）dt2dt2. dxkx C dt即2mx CX kxm1eSin t （3-21）這就是機器在轉(zhuǎn)子離心力作用下的運動微分方程。方程的穩(wěn)態(tài)解為2X BSin( t )其中振幅相角引用記號 P . k/m，mB/ m1e（3-24）式中即放大因子。以mBme為縱坐標(biāo)、由式（3-24）做出圖3-10。完全相同，故的曲線與圖Bm1e2 / (k mtg C /(kc2mp，將P2.(1tg 22)2 (2/1 2為橫坐標(biāo)、為參變量,因方程（3-25）與方程（3-16）3-7 一樣。

27、由式（3-24）、（3-25）及圖3-10、圖3-7,得到偏心質(zhì)量所引起的強迫振動特征如下。1）當(dāng) <<1 （ <<F）時，激擾力幅值 me 2很小,振幅很近于零，相角亦近于零；2）當(dāng) >>1 （ >>F）2時，入趨近于1 ,質(zhì)量（m-m）的振幅趨近于 me/m，時，放大因子1 一,質(zhì)量（m-m）的振幅B=m1e/22、2 2)(C )(3-22)m 2)(3-23)(3-22 )、( 3-23)式寫成無量綱形式(3-24)(3-25)m ,相角 =900,系統(tǒng)振幅受到阻尼的限制；4）當(dāng)阻尼很小時，振幅很大，這就是共振現(xiàn)象。弓狀回轉(zhuǎn)運動與軸的轉(zhuǎn)向

28、相同或相異,35 單盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速工程中的回轉(zhuǎn)機械，如渦輪機、電機等，在運轉(zhuǎn)時經(jīng)常由于轉(zhuǎn)軸的彈性和轉(zhuǎn)子偏心而發(fā) 生振動。當(dāng)轉(zhuǎn)速增至某個特定值時，振幅會突然加大，振動異常激烈，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過這個特定 值時，振幅又會很快減小。這種使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈振動的特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速?，F(xiàn)以單盤轉(zhuǎn) 子為例，說明這種現(xiàn)象。如圖3-11所示，在轉(zhuǎn)軸中部有一質(zhì)量分布 不均的圓盤，圓盤的質(zhì)量為 m重心在G點， 幾何中心在S點，偏心距e=SG軸承中心連線 穿過圓盤平面的O點。假定轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量忽略不 計。當(dāng)轉(zhuǎn)子靜止時，S點與O點重合，轉(zhuǎn)子開 始轉(zhuǎn)動后，軸呈弓形變形，軸中點的撓度為 OS 這時轉(zhuǎn)子有兩種運動，一是轉(zhuǎn)子在軸線彎曲后

29、的繞軸轉(zhuǎn)動，一是彎曲了的軸和軸承中心連線所組成的平面的轉(zhuǎn)動。后一種運動稱為“弓狀回旋”回轉(zhuǎn)的速度可等于或不等于軸的轉(zhuǎn)速。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因比較復(fù)雜。這里只討論最簡單的 所謂同步弓狀回旋，即上述兩種運動的轉(zhuǎn)速相等，均為的情況。取Xoy坐標(biāo)如圖所示。以（X、y）表示圓盤幾何中心 S的位置，則圓盤重心G的坐標(biāo)為Xc=（x+ecos t）與yc = （y+esin t）。設(shè)軸及其軸承的剛度在X和y方向上均為K,系統(tǒng)的可寫出 X和y方向的運動微分方程為將方程（其中mx CX kxmy Cy ky3-26）與方程（3-21）相比較，可得穩(wěn)態(tài)解me 2 cos( t )(k m 2)2 (C )22me S

30、in( t )(k m 2)2 (C )2meme2 .COS t2 i tSin t(3-26 )e 2 cos( t.(1 2)2 (2 )22e Sin( t ).(1 2)2 (2 )2Bcos( t(3-27)2、2BSin( t2/.(1 2)2 (2 )21 _B= e1 2 1 2tg c /(k m ) tg 2/(1)(3-29)阻尼為粘性阻尼，其阻尼系數(shù)為 C。由質(zhì)心運動定理,(3-28)式中是線段SG比線段OS所超前的相位角。它的大小不僅與系統(tǒng)的阻尼值有關(guān)，而且還與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速有關(guān)。由（3-27）式，可求得軸的中點的撓度為一2me 2e 2(3-30)os . X y &

31、#39;(k m 2) (C )2(1 Y (2)2圓盤在x、y方向作等幅的簡諧振動，二者的相位差為/2。因此這兩個方向的振動合成后,幾何中心S的軌跡是一個圓（2 y2 R2）,圓心為坐標(biāo)原點 0,半徑R=OS=B。圖3-12表示了在三種不同轉(zhuǎn)速情況下圓盤重心G和幾何中心S之間的相對位置。從圖 3-12可以看出，3 <P時重心G在幾何中心S的外側(cè)；當(dāng) >P時，重心G和回轉(zhuǎn)中心 O處在 幾何中心的同側(cè)；在 =P時，轉(zhuǎn)軸劇烈“弓狀回旋”，回轉(zhuǎn)半徑即轉(zhuǎn)軸的橫向位移達到最大 值為 OS=e2 ZO在不考慮其它因素時， =P即數(shù)值上與轉(zhuǎn)軸的橫向彎曲振動固有頻率相等時的轉(zhuǎn)速即為臨界轉(zhuǎn)速，記為

32、co當(dāng) >1時，振動撓度 OS為負(fù)值，當(dāng)時，, OS- - e,這意味著動撓度與偏心距反相。這時軸圍繞其重心旋轉(zhuǎn)，重心G與O點重合，稱為自動定心。這時轉(zhuǎn)子運動平穩(wěn),沒有振動。必須指出，臨界轉(zhuǎn)速雖然在數(shù)值上和轉(zhuǎn)軸橫振的固有頻率相同，但是“弓狀回旋”與橫 向振動完全是兩種不同的物理現(xiàn)象。不轉(zhuǎn)動的軸作橫向振動時，軸內(nèi)產(chǎn)生交變應(yīng)力。而“弓 狀回旋”對于轉(zhuǎn)軸來說并不產(chǎn)生交變應(yīng)力，但轉(zhuǎn)子的離心慣性力卻對軸承作用著一個交變力 并導(dǎo)致支承系統(tǒng)發(fā)生強迫振動，此即臨界轉(zhuǎn)速時產(chǎn)生劇烈振動的原因，正因為這樣，工程上 常將臨界轉(zhuǎn)速時支承發(fā)生劇烈振動的現(xiàn)象和共振不加區(qū)分。3 6以上討論的強迫振動，激擾都是作用在質(zhì)

33、量上的，但有時激擾卻作用在基礎(chǔ)上或質(zhì)量的 支承上，再通過彈簧和阻尼器才使質(zhì)量產(chǎn)生相 應(yīng)的運動。例如地基的振動引起機器的振動， 機器的振動引起儀器的振動，汽車駛過不平的 路面而產(chǎn)生的振動等?，F(xiàn)就圖3-13所示的單自由度系統(tǒng)受基礎(chǔ)激擾的力學(xué)模型，研究支承運動引起的強迫振動。設(shè)支承運動 XS a sin t ,其中支承運動引起的強迫振動a為運動的幅值,03-13為頻率。取質(zhì)量塊 m研究，其位移以坐標(biāo)X表示。取系統(tǒng)平衡時 m的位置為坐標(biāo)原點。 則當(dāng)質(zhì)量塊離開平衡位置的距離為X時,彈簧的變形應(yīng)為X - XS ,而質(zhì)量塊與支承的相對速度則為X xs,從而在質(zhì)量塊上作用有彈簧a業(yè)2 c2 2,(k m 2)

34、2 c2 2a.1 (2)2.(12)2 (2 2)恢復(fù)力k （X-X S）和阻尼力C（X XS）。按牛頓定律，建立振動微分方程式mxk(XXS) C XXS(a)或mXCXkXkXsCXS(3-31)把Xs、XS值代入式（3-31）中，得mX CXkXkasin tC acos t(3-32)此式表明，作用在系統(tǒng)質(zhì)量 m上的激擾力由兩部分組成：一部分是彈簧傳給質(zhì)量m的力kasin t ,另一部分是阻尼器傳給質(zhì)量m的力C acos t。兩者可合成為:FF0 sin( ta)其中Fo、(ka)2(C a)2a k22 2C,tg 1c / k(b)于是微分方程(3-32)可寫成mxGXkX a

35、k2c2 2 Sin( ta)(3-33)可見，方程（3-33）和方程（3-11）所以方程（3-33)在形式上疋一樣的。的穩(wěn)態(tài)解可表小為XBSin( t)其中振幅B及相角,可應(yīng)用33節(jié)的方法類似地求出為(3-34)若以為橫坐標(biāo),tgmek(k m 2) e 12 (2 )2(3-35 )B為縱坐標(biāo),a為參變量，則可根據(jù)（3-34 ）式作出如圖3-14所示的幅頻響應(yīng)曲線。從圖可以看出，在、2時，恒有1,即無論多大阻尼，系統(tǒng)的振幅B均等于支撐運動的振幅 a;當(dāng) .2時， 1,振幅B小于支撐運動的振幅 a,而且阻尼大的系統(tǒng)比阻尼小的系統(tǒng)的振幅反而要稍大些；當(dāng).2時，強迫振動的振幅趨近于零，這身上下振

36、動的振幅。設(shè)阻尼可略去不計。03-15就是說支座的運動并不傳遞到物體m上，這一特性在研究隔振和測振時是很有用的。圖 3 143-35 ）式做出相頻響應(yīng)曲線，由于用以為橫坐標(biāo)，“為縱坐標(biāo)，z為參變量，根據(jù)（ 處不太大，這里就不再討論。例3-7小車重4900牛頓，可以簡化為用彈簧支在輪子上的一個重物，彈簧剛度K=50牛頓/厘米，輪子的重量與變形略去不計。路面成正弦波形，可以表示為2 Xy asin,其中a= 4厘米，L= 10米。如圖3-15所L示。試求小車在以水平速度 U = 36公里/小時行駛時，車解：小車的固有頻率為P m 500 980/490010 1/s設(shè)在t=0時，有X=O，貝U X

37、= U t,因而2t丄a sin asin tL其中t/L3610310 360021/s故小車強迫振動的振幅B a/224/ 16.6cm10例3-8慣性測振儀工作示意如圖3-16所示。振動物體的運動規(guī)律為XSa sin t,求質(zhì)量m相對于振動物體的振幅 yo。已知a=2毫米，=251.2弧度/秒,=0.7，系統(tǒng)的固有頻率P= 62.8弧度/秒。解：慣性測振儀工作時，質(zhì)量m的運動就是圖3-13所示的支承運動引起的強迫振動，振動微分方程如式（a）所示，即mx k（x XS） G（X XS）質(zhì)量m相對于振動物體的位移、速度和加速度分別為y XXS, y X Xs, y x Xs將y、y、y代入上

38、式，并注意到XS2asin t,得質(zhì)量m的相對運動的微分方程式為my Gy kymxsm 2asin t將上式與（3-21）式比較，可知上面方程的特解可表示為y y°sin（ t ）振幅y°的表達式與式（3-22）及（3-34）形式相似，可得ZZZZZZS3-1E2 2 2 2 2 2 2 2y0 ma / , k m(G ) a / . (1)(2)代入數(shù)據(jù)：a=2毫米,=0.7, = P = 4 ,得y02 42/ (1 42)2 (2 0.7 4)21.9986 2(mm)從此例及圖3-10可以看出，只要在 2.5以上，且系統(tǒng)的阻尼足夠大（=0.650.7）時，yo

39、a。測振儀指針指示的數(shù)值就是振動物體的位移，而質(zhì)量 m的位移x 0 （也就是測 振儀工作時，質(zhì)量幾乎不動）。這就是位移計的工作原理。位移計要求本身的固有頻率低，從 而使 = P可以足夠大，所以位移計是一種低固有頻率的儀器。振幅yo可改寫成如下形式：y。a 2p2劃2）2 （2 ）2Aa/P2J 2）2 （2 ）2式中A a振動物體加速度幅值。當(dāng)很小（即/ P0）時，yo A。測振儀指針指示的數(shù)值與振動物體的加速度幅值成P2正比，這就是加速度計的工作原理。加速度計要求本身的固有頻率必須比振動物體的頻率足夠高，從而使 = P足夠小。所以加速度計是一種高固有頻率的儀器。必須指出，加 速度計的頻率適用

40、范圍同樣受阻尼影響。如以y0p2Aa為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)作曲線，可得與圖3-6完全相同的圖，只要將以y0p2Aa代替。從圖中可以看到，在 =0.650.70 時，= 00.4的范圍內(nèi)y0p2Aa接近于1。37隔振原理機器設(shè)備所產(chǎn)生的振動，一方面會影響機器本身的工作精度和使用壽命，甚至引起機器本身結(jié)構(gòu)或零部件的損壞；另一方面也會傳給周圍的機器設(shè)備，使它們也產(chǎn)生振動，伴隨振動產(chǎn)生的噪音對人體的健康也是有害的。因此必須很好地研究怎樣才能有效地進行振動的隔 離。冷）根據(jù)振源的不同，一般分為兩種性質(zhì)不同的隔振，即主動隔振和被動隔振。對于本身是振源的機器 或結(jié)構(gòu)，為了減小它對周圍機器、儀表及建筑物的影 響

41、，須將它與地基隔離開來， 這種隔振措施稱為主動 隔振。對于允許振動很小的精密儀器和機器設(shè)備，為了避免周圍振源對它的影響，須將它與振源隔離開 來，這種隔振措施稱為被動隔振。主動隔振和被動隔振的原理是相似的，都是把 需要隔離的機器安裝在合適的彈性裝置（隔振器）上，使大部分振動為隔振裝置所吸收。圖3-17為單自由度隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型，其中(a)為主動隔振，(b)為被動隔振。圖中 m為被隔離機器設(shè)備的質(zhì)量，k和C為隔振器的彈簧剛度和阻尼系數(shù)。一. 主動隔振振源是機器本身的激擾力FoSin t。未隔振時機器與支撐之間是剛性接觸(K),故機器傳給地基的最大動載荷是Fo,在有彈性元件和阻尼元件隔振時，機器傳

42、給支撐上的最大動載荷為FT, FT應(yīng)為通過彈簧及阻尼器傳到支撐上的最大動載荷的合力。因為振動位移X =BSin( t- ),速度X B cos( t ),位移與速度之間相位差為 90°,而彈簧力FK = KX , 阻尼力FC=C X ,故最大彈簧力FKmaX=KB ,最大阻尼力 FCmaX=CB 。因此，它們的合力應(yīng)為FT. F 2kmaxF2Cmax(KB)2(CB )2KB. 1(2)2(3-36)因為BF0K,(12)2(2 )2(a)所以FTF0 .1 (2 )2 (2)2 (2 )2(3-37)主動隔振的隔振效果用隔振系數(shù)(或傳遞系數(shù))a來表示。 a為機器隔振后傳給支撐的動

43、載荷FT與未隔振時機器傳給支撐的動載荷F0的比值。aFF0.1 (2 )2.(12)2 (2 )2(3-38)二. 被動隔離振源是支撐的運動 XS= asin t。此時，機器也將產(chǎn)生強迫振動。其振動微分方程與前述的(3-31)式完全相同。穩(wěn)態(tài)振幅即為(3-34)式，將(3-34)式改寫成：ICB/a .1 (2 ) / .(1)(2 )(b)與式(3-38)的形式完全一樣。被動隔振的效果用機器隔振后的振幅(或振動速度、加速度)與振源振幅(或振動速度、加速度)的比值 b來表示，也稱隔振系數(shù)。由(b)式得b B/a .1 (2 )2/ , (12)2 (2 )2(3-39)可見，當(dāng)振源是簡諧振動時

44、，由(3-38)、(3-39)知，無論是主動隔振還是被動隔振，雖然兩者含義不同，但隔振原理與隔振系數(shù)是相同的。系數(shù)隨頻率比的變化規(guī)律都可用圖3-14來表示，只是將縱坐標(biāo)換成,并有下列一些共同特性：1.在 .2的區(qū)域內(nèi)，> 1 ,無隔振效果，反而將原來的振動放大；2.不論阻尼大小，在2的區(qū)域內(nèi)，<1 ,才有隔振效果；3.在 2以后，隨著的增加，值逐漸趨近于零。但在>5以后,曲線幾乎水平，即使采用更好的隔震裝置，隔振效率提高有限。實用上選取值在2.55之間足夠；4.當(dāng) 2時，隨Z的增大而提高，即在此情況下，阻尼的增大是不利隔振的，反而使隔振效果降低。例3-9機器重10000牛頓，

45、支以彈簧，彈簧剛度K = 40000牛頓/厘米，阻尼比 =0.20o在轉(zhuǎn)速為2380轉(zhuǎn)/分時，不平衡力的幅值 F0= 2000牛頓，求此時機器上下振動的振幅、 隔振系數(shù)以及傳至地面的力。解：機器的固有頻率為P . K / m 40000 980/1000062.5 1/s,即 596Prm。頻率比 = P= 2380/5964.0由式（a）知：振幅由式（3-39）知:隔振系數(shù)傳至地面的力B200040000, (1 42)2 (2 0.1 4)21(2 0.2 4)2a2 22(14 )(2 0.2 4)0.00331cm0.125FT= 2000 × 0.125= 250N。38強

46、迫振動過程的能量關(guān)系若不計阻尼，自由振動的任意瞬時，系統(tǒng)的動能與勢能的和總是等于振動開始時從外界 輸入的能量。根據(jù)機械能守恒定律，動能與勢能可以互換，總和不變，從而維持系統(tǒng)的等幅 自由振動。在有阻尼的自由振動時，由于阻尼存在，不斷消耗能量而導(dǎo)致振幅衰減以致完全 停息。在有阻尼的強迫振動中，一方面擾力對振動物體作功，不斷向振系輸入能量；另一方 面系統(tǒng)的阻尼又不斷消耗能量。若前者大于后者，振幅將增加。反之，振幅將減小。因此， 要維持穩(wěn)態(tài)的強迫振動，激擾力必須持續(xù)地作用，即不斷對系統(tǒng)作功，向系統(tǒng)輸入能量，當(dāng) 每周的能量消耗相等時，振幅將保持常值，系統(tǒng)將進行穩(wěn)態(tài)振動?，F(xiàn)在以彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)為 例，來說明

47、激擾力與阻尼在強迫振動中所作的功的計算方法。假定激擾力與振動都是正弦型 的，而阻尼是粘性的。1. 簡諧激擾力在一個周期內(nèi)所作的功（即輸入的能量）作用在系統(tǒng)質(zhì)量塊上的簡諧擾力為F= FoSin t,系統(tǒng)作簡諧強迫振動X= BSin( t ),則擾力在 dt 時間內(nèi)所作的元功為 dWFdx Fxdt ，一周期內(nèi)所作的功為TWFFxdt02/F0B Sin tcoS( t0)dt2F0BSin tcoS( t )d( t)F0BSin3-40)可見，簡諧激擾力每周作功的大小不僅決定于力與振幅大小，還決定于兩者之間的相位差。在 = 2,即共振時，WF取最大值，等于 FoB。2. 阻尼力在一個周期內(nèi)所作

48、的功（即消耗的能量） 作負(fù)功。它在一周內(nèi)所作的功,即消耗的振動中粘性阻尼力 Fo cx c BcoS（ t 能量為FC xdt2/oc 2B2 coS2( t)dtcB23-41)可見,阻尼力每周所消耗的能量,除了與阻尼系數(shù)及振幅有關(guān)外,還與振動頻率有關(guān)。 振動的頻率愈高,一周內(nèi)消耗的能量愈多。一般高頻率較之低頻振動容易被阻尼衰減就是這 個道理。當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)強迫振動時,WF= WC, FoBSincB2 ,由此可得穩(wěn)態(tài)振幅B Fo Sin /c（ 3-42）如應(yīng)用（ 3-16）式,則由上式不難得到（ 3-15）式。而當(dāng)共振時，= P, = 2,則可得B = FoCP,這就是（3-18）式。3

49、 9 等效粘性阻尼在 3 1 節(jié)中曾提到,在遇到非粘性阻尼時,可用等效粘性阻尼來代替。所謂等效粘性阻 尼是指和非粘性阻尼在振動的一個周期中消耗能量相等的阻尼?，F(xiàn)根據(jù)強迫振動中的能量關(guān) 系,來將各種非粘性阻尼轉(zhuǎn)化為等效的粘性阻尼。設(shè) We 為非粘性阻尼在一個周期內(nèi)所作的功,Wc 為等效粘性阻尼在一個周期內(nèi)作的功,又設(shè)把一個非粘性阻尼轉(zhuǎn)化為粘性阻尼后的振動系統(tǒng),在這個轉(zhuǎn)化了的粘性阻尼作用下所作 的振動是諧振動，則由（3-42）式，可得 WC= Ce B2。式中Ce為等效粘性阻尼系數(shù)。由 等效粘性阻尼概念有 We= WC = Cen B2 ,由此求得Ce= We/ n B2（3-43）We可根據(jù)不同

50、阻尼情況計算出來，然后由（3-43）式算出Ce的值。下面來計算幾種典型的非粘性阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)。1. 干摩擦阻尼（庫侖阻尼）其阻尼力F般是個常力，在系統(tǒng)振動過程中 F力的大小不變，但方向始終與運動方向 相反。在振動的每一個 1/4周期內(nèi)，阻尼力作功為 FB ,因此在一個周期內(nèi)阻尼力所做的功 為We=4FB。代入（3-43）式，可得Ce=4 B（3-44）2. 流體阻尼當(dāng)物體在流體（如水、空氣）中以較大的速度（大于 3米/秒）運動時，阻尼力與速度 的平方成正比，其方向與速度方向相反，其值可近似表示為FC bx2, b為常數(shù)。假定振動物體位移X = BSin（ t ）X B cos（ t ）

51、則流體阻尼力在一個振動周期內(nèi)所作之功為T /4T /432233832We 4FCXdt 4 bx dt 4 2 bB CoS （ t ）dt bBeOC0/代入（3-43）式，得Ce 8b B/3（3-45）3. 結(jié)構(gòu)阻尼大多數(shù)結(jié)構(gòu)材料如金屬鋼和鋁，由于它們自身內(nèi)摩擦造成的阻尼，稱為結(jié)構(gòu)阻尼。實驗 指出，結(jié)構(gòu)阻尼在每一個周期中消耗的能量We與振動頻率無關(guān)，而與振幅的平方成正比。所以有 We=aB2,式中a為一常數(shù)。將 We值代入（3-43）式，得Ce a/（3-46）4. 多阻尼系統(tǒng)：在系統(tǒng)中存在幾種性質(zhì)不同的阻尼時，可以把它們折算成等效粘性阻尼。設(shè)系統(tǒng)中同時起作用的幾種性質(zhì)不同的阻尼在一個周期中所消耗的能量（或所作的功）分別為W1、W2、W3、，則系統(tǒng)阻尼在一周期中所消耗的總能量為We W1 W2 W3