用點(diǎn)差法解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題

1、用點(diǎn)差法解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題與圓錐曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線(xiàn)的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。一、 以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線(xiàn)的方程。解：設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直

2、線(xiàn)的方程為，即。例2、已知雙曲線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線(xiàn)，使與雙曲線(xiàn)交于、，且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線(xiàn)，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)，然后驗(yàn)證它是否滿(mǎn)足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，兩式相減，得故直線(xiàn)由消去，得這說(shuō)明直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線(xiàn)。評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)外，則被點(diǎn)平分的

3、弦可能不存在。二、 過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線(xiàn)的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即點(diǎn)的坐標(biāo)為。例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， 又 ，兩式相減得即，即 ，即由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為三、 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線(xiàn)的方程例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線(xiàn)截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是四、圓錐曲線(xiàn)上兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線(xiàn)，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線(xiàn)的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿(mǎn)足，即，解得五、注意的問(wèn)題（1）雙曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦存在性問(wèn)題；（2）弦中點(diǎn)的軌跡應(yīng)在曲線(xiàn)內(nèi)。利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線(xiàn)中點(diǎn)弦問(wèn)題，方法簡(jiǎn)捷明快，結(jié)構(gòu)精巧，