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1、用點(diǎn)差法解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題與圓錐曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,我們稱(chēng)之為圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是:聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為、,將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線(xiàn)的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。一、 以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦,使弦被點(diǎn)平分,求這條弦所在直線(xiàn)的方程。解:設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上,則,兩式相減得于是即,故所求直
2、線(xiàn)的方程為,即。例2、已知雙曲線(xiàn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線(xiàn),使與雙曲線(xiàn)交于、,且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線(xiàn),求出它的方程,若不存在,說(shuō)明理由。策略:這是一道探索性習(xí)題,一般方法是假設(shè)存在這樣的直線(xiàn),然后驗(yàn)證它是否滿(mǎn)足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題,應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解:設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦,且、則,兩式相減,得故直線(xiàn)由消去,得這說(shuō)明直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)不相交,故被點(diǎn)平分的弦不存在,即不存在這樣的直線(xiàn)。評(píng)述:本題如果忽視對(duì)判別式的考察,將得出錯(cuò)誤的結(jié)果,請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。(1)若中點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)內(nèi),則被點(diǎn)平分的弦一般存在;(2)若中點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)外,則被點(diǎn)平分的
3、弦可能不存在。二、 過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3,它與直線(xiàn)的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo)。解:設(shè)弦端點(diǎn)、,弦的中點(diǎn),則 , 又 ,兩式相減得即 ,即點(diǎn)的坐標(biāo)為。例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解:設(shè)弦端點(diǎn)、,弦的中點(diǎn),則, 又 ,兩式相減得即,即 ,即由,得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為三、 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線(xiàn)的方程例5、已知中心在原點(diǎn),一焦點(diǎn)為的橢圓被直線(xiàn)截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求橢圓的方程。解:設(shè)橢圓的方程為,則設(shè)弦端點(diǎn)、,弦的中點(diǎn),則, ,又,兩式相減得即 聯(lián)立解得,所求橢圓的方程是四、圓錐曲線(xiàn)上兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例6、已知橢圓,試確定的取值范圍,使得對(duì)于直線(xiàn),橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。解:設(shè),為橢圓上關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),則,兩式相減得,即,這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線(xiàn)的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立,得則必須滿(mǎn)足,即,解得五、注意的問(wèn)題(1)雙曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦存在性問(wèn)題;(2)弦中點(diǎn)的軌跡應(yīng)在曲線(xiàn)內(nèi)。利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線(xiàn)中點(diǎn)弦問(wèn)題,方法簡(jiǎn)捷明快,結(jié)構(gòu)精巧,
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