理學(xué)數(shù)值分析

1、第一章緒論1填空題(1)如下各數(shù)分別作為的近似值，各有幾位有效數(shù)字？3.14 的有效位數(shù)是的有效位數(shù)是的有效位數(shù)是(2)設(shè)近似數(shù)x*有2位有效數(shù)字，則其相對誤差限等于(3)已知近似數(shù)x*的相對誤差限為，則x*的有效位數(shù)至少是(4)在浮點(diǎn)數(shù)系F(2, 8, -7, 8)中共有個(gè)數(shù)(5)現(xiàn)代科學(xué)的三大組成部分有：科學(xué)實(shí)驗(yàn)、理論研究和科學(xué)計(jì)算(6)誤差的四種主要來源有：模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差，而數(shù)值計(jì)算僅討論截?cái)嗾`差和舍入誤差(7)構(gòu)造數(shù)值穩(wěn)定的算法，應(yīng)堅(jiān)持以下幾個(gè)原則：要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)要控制舍入誤差的傳播和積累要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減要避免絕對值很小的數(shù)做分母要減少運(yùn)算次數(shù)，避

2、免誤差積累2利用等價(jià)變換或舍棄高階無窮小改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中表示充分大，表示x充分接近0）.(1) ，解原式(2)，解原式3設(shè)3個(gè)近似數(shù)a = 3.65，b = 9.81，c = 1.21均有3位有效數(shù)字，試計(jì)算ac + b，并估計(jì)它的絕對誤差限、相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù).解ac + b = 14.2265由a，b，c有3位有效數(shù)字，知其絕對誤差da，db，dc均不超過，所以即絕對誤差限為，說明ac + b = 14.2265有3位有效數(shù)字，ac + b 14.2所以相對誤差限約等于0.21%4填空題(1) 在浮點(diǎn)數(shù)系F(10, 5, -10, 10)中計(jì)算，可按以下兩

3、種順序進(jìn)行：依k遞增的順序計(jì)算依k遞減的順序計(jì)算其中能獲得較準(zhǔn)確結(jié)果的方法編號為(2)用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)：0.7000400 0.70004 0.00063217500 0.00063218 3.0000098 3.0000 314.3569 314.36 (3)用計(jì)算機(jī)計(jì)算n次多項(xiàng)式的值，采用秦九韶算法要做 n 次乘法運(yùn)算，而直接計(jì)算需要作次乘法運(yùn)算5下表中左邊第一列各數(shù)都是由準(zhǔn)確值經(jīng)四舍五入所得的近似數(shù)，試分別將它們的絕對誤差限、相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)寫入相應(yīng)的位置：近似數(shù)絕對誤差限相對誤差限有效數(shù)字的位數(shù)310000.50.00001652.3316

4、0.000050.00002150.55040.000050.00009140.0012300.00000050.0004146用秦九韶算法計(jì)算當(dāng)x = -3時(shí)多項(xiàng)式的值.解，即要求的多項(xiàng)式的值為-207在浮點(diǎn)數(shù)系中，已知，分別計(jì)算和，并求各結(jié)果與精確結(jié)果的絕對誤差.解與精確值比較，二者的絕對誤差分別為8設(shè)，試求函數(shù)的相對誤差限.解因?yàn)椋缘南鄬φ`差限為第二章非線性方程組的數(shù)值解法2.2 二分法9填空題(1)用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在a, b上滿足連續(xù)、單調(diào)且，則方程在a, b上有且僅有一個(gè)實(shí)根x*(2) 在二分法的誤差分析中，因?yàn)?，所以要使成立，只需即?3)使用

5、二分法求非線性方程f (x) = 0在0, 1內(nèi)的根，要使誤差小于，至少要二分區(qū)間次10用二分法解方程在1, 2內(nèi)的根，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位，即誤差不超過解，由，得k+17，所以迭代7次即可計(jì)算結(jié)果如下表：kakbkxkf(xk)的符號0121.5+111.51.25-21.251.51.375+31.251.3751.3125-41.3151.3751.34375-51.343751.3751.359375-61.3593751.3751.367188所以取方程的近似根為2.3 簡單迭代法11為用簡單迭代法解方程在區(qū)間1, 2上的根，構(gòu)造了如下3個(gè)迭代函數(shù)：(1)；(2)；(3)若已知x

6、0 = 1.5與精確根鄰近，試分別寫出它們的迭代公式，并用局部收斂的近似替代判別方法分析收斂性，再取其中一種收斂的公式求出近似根（要求精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）解(1)，因?yàn)椋说袷绞諗浚?2)，因?yàn)?，所以此迭代格式發(fā)散；(3)，因?yàn)?，所以此迭代格式發(fā)散用迭代格式（1）計(jì)算得x1 = 1.444444444，x2 = 1.479289941，x3 = 1.456976000，x4 = 1.471080583，x5 = 1.462090536，x6 = 1.467790576，x7 = 1.464164381，x8 = 1.46646635512填空題(1)對于方程，寫出簡單迭代法的兩個(gè)迭代函數(shù)及

7、其相應(yīng)的迭代格式：迭代函數(shù)之一，迭代公式迭代函數(shù)之二，迭代公式(2)簡單迭代法的誤差分析，有先驗(yàn)估計(jì)式和事后估計(jì)式(3)要使簡單迭代法的精度達(dá)到要求，實(shí)用中的一個(gè)簡單易處理的方法，是根據(jù)不等式成立與否來判別是否終止迭代(4)對于方程f(x) = 0的一個(gè)簡單迭代公式，其收斂的一個(gè)充分條件是：當(dāng)時(shí)，(x)滿足，若已知根的初始值x0在根x*鄰近，則可將局部收斂的判別條件用來替代(5)對于方程f (x) = 0的一個(gè)簡單迭代公式，若其產(chǎn)生的序列xk收斂很慢，這時(shí)可令新的迭代函數(shù)為，要想得到收斂速度更快的迭代函數(shù)，k的最好取值是使?jié)M足由于方程的解x*未知，通常取，可得加速迭代公式(6) 對迭代格式xk

8、+1 = (xk)，若(xk)滿足，而那么該格式收斂的階數(shù)是2.4 牛頓迭代法13用牛頓迭代法求方程在1, 2上的根(1)寫出該方程的牛頓迭代公式.解，牛頓迭代公式為(2)取初值x0 =1.5，證明該方程的牛頓迭代公式收斂.證明f (1) = -5，f (2) = 41，f (1) f (2) 0當(dāng)時(shí)，所以迭代格式收斂(3)迭代求出方程的近似根xk，要求精度：.解將x0 =1.5代入迭代公式得x1 = 1.373333333，x2 = 1.365262015x3 = 1.365230014，x4 = 1.365230013由于x4滿足，故近似根取作x4 = 1.36523001314選擇題如下

9、說法中，不正確的是（ C ） (A)牛頓迭代法也是一種簡單迭代法 (B) 牛頓迭代法也叫牛頓切線法 (C) 當(dāng)x0充分接近x*時(shí)，弦截法比牛頓法收斂快 (D) 弦截法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值15填空題(1) 對于方程f(x) = 0，已知其根x*介于a，b之間，初值證明該方程的牛頓迭代公式收斂，需驗(yàn)證成立的條件為(2)求解方程的牛頓迭代公式為(3) 用牛頓法計(jì)算的值，其迭代公式為取x0 = 2，得的各近似值：，精確到的近似值為 2.236067978 (4)對于方程其弦截法迭代公式為16用牛頓迭代法求方程在x0 = 1.5附近的根解迭代格式為將x0 =1.5代入迭代公式計(jì)算得x1 = 1.37

10、3626373，x2 = 1.368814819，x3 = 1.368808107，x4 = 1.3688081072.5 弦截法17用快速弦截法求方程在區(qū)間1, 2內(nèi)的根，精確至5位有效數(shù)字.解取x0 = 1.4，x1 = 1.6，代人迭代公式，代入計(jì)算得f (x0) =-2.168，f (x1) = 1.176，x2 =1.52967； f (x2) = 0.0692609，x3 = 1.51069；f (x3) =-0.216464，x4 = 1.52417；f (x4) =-0.0140970，x5 = 1.52511；f (x5) = 0.000117173，x6 = 1.52510

11、；所以第三章線性方程組的數(shù)值解法3.2 線性方程組的直接解法1選擇題當(dāng)n階方陣A滿足條件（ A ）時(shí)，線性方程組Ax = b有唯一解.(A)A非奇異(B)R(A) 0(C)R(A) n(D)以上都不對2填空題(1) 如果一種算法在計(jì)算中舍入誤差積累迅速增長，無法控制，造成結(jié)果失真，則稱這一算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，反之是數(shù)值穩(wěn)定的.高斯消去法是數(shù)值不穩(wěn)定的算法(2)解線性方程組的直接法有消去法與列主元消去法，其中列主元消去法有利于控制誤差的增長，這是因?yàn)樗苡行Э朔靶　敝髟獛淼摹按髷?shù)吃小數(shù)”現(xiàn)象，從而有效控制誤差的增長(3)過三點(diǎn)(1, 1)、(2, -1)和(3, 1)的拋物線為y = 2x2

12、 - 8x + 7 (4)用列主元高斯消去法，對方程組的增廣矩陣作初等變換，當(dāng)進(jìn)行至?xí)r，下一步所選主元為3用高斯消去法求解方程組.解記B = (A, b)，B稱為增廣矩陣，用對增廣矩陣的初等行變換表示消元過程如下回代得x3=8.4，x2=2.6，x1=-10.84用列主元消去法求解方程組（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位）.解回代得3.3 線性方程組的直接分解法5判斷題(1) 當(dāng)矩陣A的各階前主子式都不等于零時(shí)，可唯一地分解為一個(gè)單位下三角陣L和一個(gè)上三角陣U的乘積( )(2)若不計(jì)舍入誤差，LU分解法是求解線性方程組的精確方法( )(3) LU分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程組的系數(shù)矩陣

13、( )6用矩陣的LU分解法求解線性方程組Ax= b，其中，解對A做LU分解，先計(jì)算U的第一行及L的第一列u11 = a11 = 9，u12 = a12 = 18，u13 = a13 = 9，u14 = a14 = -27l21 = a21 / u11 = 2，l31= a31 / u11 = 1，l41= a41 / u11 = -3然后計(jì)算U的第二行及L的第二列u22 = a22 - l21 u12 = 9，u23 = a23- l21 u13 = -18，u24 = a24- l21 u14 = 9l32 = (a32 - l31 u12) / u22 = -2，l42 = (a42- l

14、41 u12) / u22 = 1再計(jì)算U的第三行及L的第三列u33 = a33- l31 u13- l32 u23 = 81，u34 = a34- l31 u14- l32 u24 = 54l43 = (a43- l41 u13- l42 u23) / u33 = 最后計(jì)算u44u44 = a44- l41 u14- l42 u24- l43 u34 = 9因此解方程組Ly= b，得y = (1, 0, 15, 1)T解方程組Ux= y，得7用LU緊湊格式分解法求解線性方程組Ax= b，其中，解對增廣矩陣進(jìn)行緊湊格式分解，有所以，解方程組Ux= y，得3.4 特殊線性方程組的解法8選擇題(1

15、) 當(dāng)矩陣A滿足條件（ C ）時(shí)，解方程組Ax = b的LU分解法就可用改進(jìn)的平方根法（或稱改進(jìn)的喬累斯基分解法）來求解，從而減少計(jì)算量.(A)A對稱正定(B)A的所有順序主子式都大于零(C)選項(xiàng)(A)、(B)結(jié)合(D)A非奇異(2) 當(dāng)方程組Ax = b的系數(shù)矩陣為三對角矩陣時(shí)，由對A的LU分解公式，可得到求解三對角方程組的（ B ）(A)喬累斯基分解法(B)追趕法(C)LDLT分解法(D)以上選項(xiàng)都不對9填空題：用改進(jìn)的平方根法（或改進(jìn)的喬累斯基分解法）求解線性方程組對其增廣矩陣進(jìn)行如下的緊湊格式分解：得到等價(jià)的三角形方程組為，回代解得10用追趕法求解方程組解求得q1 = 2，q2 = 3

16、/2，q3 = 4/3，q4 = 5/4，q5 = 6/5；p2 = 1/2，p3 = 2/3，p4 = 3/4，p5 = 4/5解方程組Ly= f，得y = (1, -1/2, 1/3, -1/4, 6/5)T解方程組Ux= y，得x = (1, -1, 1, -1, 1)T3.5 向量與矩陣的范數(shù)1填空題(1)設(shè)x = (1, -1, 2)T，那么，(2) 設(shè)矩陣，那么，(3) 矩陣，則A的條件數(shù)(4) 已知A為n階對稱矩陣，且(A) = 3，那么(5) 線性方程組的性態(tài)是衡量方程組的解對擾動（誤差）的敏感程度的，若較小的擾動帶來解的較大變化，那么稱方程組是病態(tài)的，否則稱為良態(tài)的一般如果系

17、數(shù)矩陣A的條件數(shù)cond(A) 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1 時(shí)，方程組是病態(tài)的.(6)對任一n維向量x =(x1, x2,xn)T，不同的范數(shù)，其值不同，但總滿足下面關(guān)系式2判斷題(1)對任何非奇異矩方陣A，都有cond(A) 1.( )(2) 對任何非奇異矩方陣A的任一范數(shù)，都有(A) |A|.( )(3) 若線性方程組的系數(shù)矩陣A的各元素間量級差異很大且無一定規(guī)律，或者某些行（列）近似線性相關(guān)，則方程組可能為病態(tài)的( )(4)方程組的性態(tài)是其固有性質(zhì)，任何方法都不可能改變其病態(tài)程度( )3設(shè)矩陣，求|A|p ( p = 1, 2, )和(A)解因?yàn)锳為對稱矩陣，因此，1 = 1，2 = 4，3 = 16，

18、(ATA) = 16，因此由于A為對稱矩陣，所以4證明：對于矩陣A范數(shù)，如果，則證明移項(xiàng)得兩邊同時(shí)取范數(shù)得移項(xiàng)得因?yàn)椋瑥亩?填空題(1)已知線性方程組Ax= b為給右端項(xiàng)b一擾動，取無窮大范數(shù)，利用公式估計(jì)解x的相對誤差，求得，從而給系數(shù)矩陣A一擾動，取無窮大范數(shù)，利用公式估計(jì)解x的相對誤差，求得從而(2)希爾伯特（Hilbert）矩陣（又稱坡度陣）是有名的病態(tài)陣，當(dāng)n = 3時(shí)，且隨著階數(shù)的增大，條件數(shù)迅速增大3.6 線性方程組的迭代解法6給定線性方程組(1) 分別寫出雅可比和高斯-塞德爾迭代格式，并判斷它們的收斂性.解雅可比迭代格式為，所以雅可比迭代格式發(fā)散高斯-塞德爾迭代格式為，所以高

19、斯-塞德爾迭代格式收斂 (2) 取初值x (0) = (0, 0, 0)T，用(2)中收斂的迭代格式求解（保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）解 (2)中賽德爾迭代格式收斂取初值x(0)=(0, 0, 0)T，迭代計(jì)算得x(1) = (0.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T， x(2) = (-1.000 0, 5.000 0, -1.500 0)T， x(3) = (-1.750 0, 6.250 0, -1.750 0)T， x(4) = (-2.250 0, 7.000 0, -1.875 0)T，（精確解為x = (-3, 8, -2)T）7填空題(1) 將方程組中方程的順序由“-”

20、調(diào)整為-能使雅可比和高斯-塞德爾迭代收斂(2) 用高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組那么迭代格式收斂（填“收斂”或“不收斂”）(3) 解線性方程組的高斯-賽德爾迭代格式為8判斷題(1) 對線性方程組Ax = b構(gòu)造的雅可比、高斯-塞德爾和超松弛迭代格式的收斂性僅與方程組的系數(shù)矩陣A有關(guān)，而與迭代初值x(0)無關(guān)( )(2) 高斯-塞德爾迭代格式一定比雅可比迭代格式收斂速度快( )(3) 若方陣A嚴(yán)格對角占優(yōu)，則A非奇異( )(4) 對收斂的迭代格式，在迭代計(jì)算的過程中，不怕中途出錯(cuò)( )9對方程組用超松弛迭代（取 = 1.1）求解，取初值x(0) = (0, 0, 0)T，并精確到小數(shù)點(diǎn)后3位.

21、解 = 1.1時(shí)迭代格式為初值x(0) = (0, 0, 0)T，迭代計(jì)算得x(1) = (0.550 0, 3.135 0, -1.025 7)Tx(2) = (2.219 3, 3.057 4, -1.965 8)Tx(7) = (2.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T第四章插值與擬合4.2 拉格朗日插值1填空題(1) 過點(diǎn)(0, 2)、(1, 1)、(2, 2)的不超過2次的多項(xiàng)式為(2) 設(shè)xi (i = 0, 1, 2, , n)為n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，li (x)為相應(yīng)的Lagrange插值基函數(shù)，則(3) 設(shè)xi = i (i = 0, 1, 2, , n)為

22、n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，li(x)是相應(yīng)的n次Lagrange插值基函數(shù)，則(4) 設(shè)li(x)是對n+1個(gè)點(diǎn)xi (i = 0, 1, 2, , n)進(jìn)行Lagrange插值的基函數(shù)，則(5)如果記R(x)為過兩點(diǎn)(x0, y0)、(x1, y1)的插值多項(xiàng)式P1(x)的余項(xiàng)，則R(x)的誤差限為(6)多項(xiàng)式和都能插值下表xi1234yi21647這是否違背插值多項(xiàng)式的唯一性？否（填“是”或“否”）2給定數(shù)據(jù)表x0235f (x)1-3-42用拉格朗日插值方法求出f (x)的不超過3次的插值多項(xiàng)式L3(x)解先構(gòu)造基函數(shù)如下所以拉格朗日插值多項(xiàng)式為3將下面計(jì)算過程補(bǔ)充完整給定函數(shù)sinx的數(shù)

23、值表如下x0.320.340.36sinx0.3145670.3334870.352274用線性插值和拋物線插值計(jì)算sin0.3367的值，并利用插值余項(xiàng)給出計(jì)算結(jié)果的誤差限取x0 = 0.32，y0 = 0.314567；x1 = 0.34，y1 = 0.333487；x2 = 0.36，y2 = 0.352274(1) 線性插值：由于0.320.336 70.34，在區(qū)間x0, x1上進(jìn)行插值，求得，從而由于，因而 (0.32, 0.34 )(2) 拋物線插值：求得 393.20875(x-0.34)(x-0.36) -833.7175(x-0.32)(x-0.36) ， 440.3425

24、(x-0.32)(x-0.34) 從而由于，因而 (0.32, 0.36 )4已知多項(xiàng)式通過下列點(diǎn)：x-2-10123p(x)315111161試構(gòu)造一多項(xiàng)式q(x)且通過下列各點(diǎn)：x-2-10123q(x)31511111解設(shè)r(x) = p(x) - q(x)，則r(x)滿足x-2-10123r(x)0000060由拉格朗日插值方法知于是4.3 差商與牛頓插值5填空題(1)設(shè)f (x) = an x n +1(an 0)，則(2)設(shè)f (x) = x2+2x，則，(3) 對函數(shù)表x-1012f (x)1-2510求得其各階差商如下表xf (x)一階差商二階差商三階差商-1012( 3 )1

25、-2510( 25 )-375( 15 )5-1( 5 )-2( 2 )( 1 )那么過這四個(gè)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式為對新增節(jié)點(diǎn)x = 3，f (x) = 25，請完成上面的差商計(jì)算表；并寫出過這五個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式6判斷題(1)交換差商f x0, x1, xk中的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，差商的值改變符號( )(2) 若在原有數(shù)據(jù)上增加一組數(shù)據(jù)，則使用牛頓插值的插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，不必重復(fù)計(jì)算所有系數(shù)( )(3)對同一個(gè)插值問題，其牛頓插值多項(xiàng)式與拉格朗日多項(xiàng)式相同，且兩種余項(xiàng)也相同.( )7給定數(shù)據(jù)表x0235f (x)1-3-42(1)求出f (x)的不超過3次的插值多項(xiàng)式.解計(jì)算均差表如下xf(

26、x)一階均差二階均差三階均差四階均差012-3-23-4-11/35234/31/54-130-2/3-13/60所以牛頓插值多項(xiàng)式為(2)若增加一組數(shù)據(jù) (4, -1)，求f (x)的不超過4次的插值多項(xiàng)式，并求f (1.5)的近似值解若增加一組數(shù)(4, -1)，則在上述均差表增加一行一列（見上表雙下劃線）f (1.5)N4(1.5) = -1.7188618完成下面計(jì)算過程已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y = f (x)的如下數(shù)值表x00.20.40.60.8f (x)0.19950.39650.58810.77210.9461用反插值插值方法求方程f (x) = 0.4500在(0.00, 1.80)

27、內(nèi)的根的近似值將y作為自變量，采用牛頓插值，完成下面均差表f(xi)xi一階均差二階均差三階均差四階均差0.199 50.396 50.588 10.772 10.946 100.20.40.60.8( 0.015228 )( 1.043841 )( 1.086957 )( 1.149425 )( 0.073631 )( 0.114792 )( 0.174492 )( 0.071884 )( 0.108624 )( 0.049209 )從而得到4次插值多項(xiàng)式為 1.015228 (y - 0.1995)+ 0.073631 (y - 0.1995)(y - 0.3965)+ 0.071884

28、(y - 0.1995)(y - 0.3965)(y - 0.5881)+ 0.049209 (y - 0.1995)(y - 0.3965)(y -0.5881 )(y - 0.7721)于是方程f (x) = 0.4500的根為4.5 分段低次插值9對函數(shù)在區(qū)間1, 2上作等距分段線性插值，怎樣選擇步長h，才能使插值誤差小于？解，由得第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分5.2 牛頓-柯特斯求積公式1填空題(1)牛頓-柯特斯公式的系數(shù)和(2)在牛頓-柯特斯求積公式中，當(dāng)系數(shù)有負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)時(shí)，牛頓-柯特斯公式不使用(3)計(jì)算積分，取4位有效數(shù)字，用梯形公式求得的近似值為

29、用辛普森公式求得的近似值為2判斷題(1) 牛頓-柯特斯求積公式的系數(shù)和將隨著點(diǎn)數(shù)的增加而增大( )(2)牛頓-柯特斯公式計(jì)算時(shí)，節(jié)點(diǎn)取得越多，則精度越高( )(3) 用辛普森求積公式，其誤差為( )(4)用梯形求積公式，其誤差為( )3試用n = 1，2，3的牛頓-柯特斯公式計(jì)算積分解當(dāng)n = 1時(shí)，從而有當(dāng)n = 2時(shí)，從而有當(dāng)n =3時(shí)，從而有5.3 復(fù)合求積公式4填空題(1)用變步長梯形求積法的計(jì)算過程中，要判斷計(jì)算結(jié)果的精度是否滿足，由得出的近似判別條件是(2) 變步長梯形求積公式中，設(shè)n等分時(shí)的步長為h，這時(shí)的積分值為Tn，步長減半后的積分值為T2n，那么Tn和T2n之間的關(guān)系式為5

30、選擇題(1)當(dāng)在區(qū)間a, b上具六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，充分小時(shí)，分別用復(fù)合梯型求積公式Tn、復(fù)合辛普森求積公式Sn和復(fù)合柯特斯求積公式Cn，計(jì)算定積分，其精確度從高到低，依次是（ A ）(A) Tn，Sn，Cn(B)Tn，Cn，Sn(C)Sn，Tn，Cn(D)Cn，Sn，Tn(2)用復(fù)合梯形公式Tn計(jì)算定積分，要使誤差，n應(yīng)該不小于（ B ）(A)5 (B)10(C) 20(D) 50(3)用復(fù)合辛普森公式Sn計(jì)算定積分，要使誤差，應(yīng)該不小于（ B ）(A)1 (B)2(C) 5(D) 10(4)用復(fù)合柯特斯公式Cn計(jì)算定積分，要使誤差，應(yīng)該不小于（A）(A)1 (B)2(C) 3(D) 406用n

31、= 4的復(fù)合辛普森公式S4積分解=3.141592507用變步長梯形求積法計(jì)算積分，要求精確至3位有效數(shù)字（提示：先換元化為常義積分后再計(jì)算）解x = 0為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，作變換，積分化為由復(fù)化梯形公式（這里）計(jì)算可得：T1=1.5，T2=1.55，T4=1.5656，T8=1.5695至此，有，所以5.4 龍貝格求積方法8填空題(1)辛普森求積公式經(jīng)過龍貝格加速得到的牛頓-柯特斯公式(2)龍貝格求積方法需要用到的4個(gè)公式分別為(3)龍貝格求積方法的三個(gè)加速公式分別是根據(jù)梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式的導(dǎo)出的.(4)用龍貝格求積法求的近似值，求得k = 1時(shí)：k = 2時(shí)：，k = 3時(shí)：，

32、k = 4時(shí)：，；9判斷題(1)對n = 4的牛頓-柯特斯求積公式作龍貝格加速，所得公式仍屬牛頓-柯特斯求積公式序列 ( )(2)龍貝格求積公式是一種要將積分區(qū)間等分的求積公式. ( )10用龍貝格算法計(jì)算積分，要求誤差不超過（其準(zhǔn)確值為）解，由于|R2R1| 0.00001，已精確到小數(shù)點(diǎn)后5位，故可取5.6 數(shù)值微分11填空題(1) 由函數(shù)在一些離散點(diǎn)上的來推算出函數(shù)在某些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)近似值，這類問題稱為數(shù)值微分.(2)中心差分公式的截?cái)嗾`差為(3)二階導(dǎo)數(shù)的中心差分公式為其截?cái)嗾`差為(4)已知,取步長h = 0.01，由向前差商公式得由向后差商公式得由中心差商公式得12判斷題(1) 當(dāng)插值

33、多項(xiàng)式收斂于時(shí)，不能保證一定收斂于 ( )(2)用差商公式近似計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，步長越小，則誤差越小( )(3)用兩點(diǎn)公式求得的一階導(dǎo)數(shù)在x0、x1處的值完全相同，誤差也完全相同. ( )13已知以下數(shù)據(jù)x0.010.020.030.04f (x)0.01210.01240.01290.0139若取h = 0.01，用中心差分公式計(jì)算函數(shù)在0.02，0.03處的一階導(dǎo)數(shù)及在0.02處的二階導(dǎo)數(shù)解由中心差分公式，有第六章常微分方程的數(shù)值解法6.2 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法1填空題(1)對初值問題若函數(shù)f ( x, y )滿足條件，則解y = y ( x )存在且唯一(2)在區(qū)間0, 1上用歐拉方法求解初值問題取步長h = 0.1，其差分格式為(3) 初值問題的梯形公式是階方法，是式的方法（填“顯式”或“隱式”）(4)對于微分方程初值問題的差分方法，如果當(dāng)h0時(shí)，其整體階段誤差ei 0時(shí)，則該方法是收斂的，歐拉方法是收斂的方法（填“收斂”或“不收斂”）(5)改進(jìn)的歐拉方法的整體截?cái)嗾`差為O(h2)，局部截?cái)嗾`差為2用歐拉公式計(jì)算初值問題的解函數(shù)y = y (x)在x = 0.1，0.2，0.3處的近似值（保留4位小數(shù)）解由顯式歐拉公式有計(jì)算可得3完成下面計(jì)算過程用改進(jìn)的歐拉公式求初值問題的數(shù)值解（保留6位小數(shù)）取h = 0.1，由于改進(jìn)的歐拉公式為因此該問題的計(jì)算格式為計(jì)算結(jié)果填入下