第4章+不定積分(1)

1、第4章 不定積分教學(xué)目的1理解原函數(shù)、不定積分的概念。2掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部積分法。3會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學(xué)重點1不定積分的概念。2不定積分的性質(zhì)及基本公式。3換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點1 換元積分法。2 分部積分法。3三角函數(shù)有理式的積分。§1不定積分的概念和性質(zhì)一、不定積分概念1原函數(shù)·定義 如果在區(qū)間上或，則稱是在上的一個原函數(shù)。如是在上的一個原函數(shù)，也是的原函數(shù)。·問題：(1)具備什么條件才有原函數(shù)？(2)同一函數(shù)的原函數(shù)之間有什么關(guān)系？(3)怎么求原函數(shù)？·原函數(shù)

2、存在定理 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。設(shè)是的一個原函數(shù)，則對于任意常數(shù)C，有所以也是的原函數(shù)。另一方面，如果和都是的原函數(shù)，故于是 由拉格朗日中值定理的推論可知，存在常數(shù)使得·結(jié)論 如果是的一個原函數(shù)，則函數(shù)的所有原函數(shù)集合為2不定積分·定義函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為的不定積分，記為其中符號稱為積分號，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式。注：(1)如果是的某個原函數(shù)，則其中為任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。例1求。例2求。解當(dāng)時，所以有當(dāng)時，所以有統(tǒng)一地表示為例3 設(shè)曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求曲線方程。注：(2)的原函數(shù)的圖形稱為的一條積分

3、曲線。·由于是的原函數(shù)，所以或又是的原函數(shù)，所以或二、基本積分表積分運算是微分運算的逆運算，由導(dǎo)數(shù)公式可得(1)(為常數(shù))；(2)；(3)；(4), ；(5), ；(6), ；(7), ；(8)；(9)。例4 求。三、不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，可直接得到不定積分的下列性質(zhì)。性質(zhì)1 設(shè)的原函數(shù)存在，則性質(zhì)2設(shè)，的原函數(shù)存在，則以上積分性質(zhì)可直接對等式右端的求導(dǎo)進(jìn)行驗證。注：性質(zhì)2對有限個函數(shù)都成立。例5 求。例6 求。例7 求。例8 求。例9 求。例10 求。例11 求。作業(yè): 習(xí)題4-1 2(5)(12)(14)(20)(23)(25)(26).§2 換元積分法利用

4、基本積分公式可求出的不定積分是十分有限的。在本節(jié)我們把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法，分為第一換元法和第二換元法。一、第一換元法設(shè)所求的不定積分為，它可以寫成如果容易求得的一個原函數(shù)，作代換，則于是 (1)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，容易驗證公式(1)的正確性。利用公式(1)計算不定積分的方法稱為第一換元法，習(xí)慣上也稱為湊微分法。例1求。（令)例2求.(令)注：(1)湊微分法求不定積分步驟：（變形）（湊微分）關(guān)鍵是容易求出。(2)對變量替換比較熟練后，一般可不必寫出新設(shè)的積分變量。例3求。例4求。例5求。例6 求。例7 求。例8 求。

5、例9 求。例10求。例11求。例12求。解。類似地可求得 。注：求不定積分與求導(dǎo)相比具有更大的靈活性。一般地，如果所遇到的不定積分能化為下列形式之一時，可考慮用湊微分法。(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) 。這里只要不定積分容易求得，所給的不定積分也就得到了。與第一換元法相反，對于不定積分為，適當(dāng)?shù)剡x擇代換，將其化為有時更容易計算。如，令，即，則，所以。 條件：（1）容易計算；（2）可導(dǎo)且有反函數(shù)。二、第二換元法設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且，若有原函數(shù)，則例13求（）。解為了去掉被積函數(shù)中的根號，考慮，取則，所以=。由于，所以，因此有。例14求。解類似上例

6、，可以利用三角公式:化去根號。設(shè)()，那么，于是。這里，。例15求。解可利用公式來化去根號。注意被積函數(shù)的定義域是。當(dāng)時，設(shè)()，那么，于是 其中。當(dāng)時，令，那么，由以上結(jié)果，有其中。把及的結(jié)果合起來，有。注：（1）一般地，如果被積函數(shù)含有，可作代換化去根式；如果被積函數(shù)含有，可作變換化去根式；如果被積函數(shù)含有，可作變換化去根式。但具體解題時要分析被積函數(shù)的具體情況，還可用雙曲代換、倒代換及其他一些方法，例如積分例16 求（作倒代換）注：（2）以下結(jié)果作為公式。以后可以直接引用 (其中常數(shù))：（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。作業(yè)：習(xí)題4-2 2(4)(5)(8)(9)(11)

7、(16)(18)(19)(22)(32)(33).§3 分部積分法設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)微分的乘積公式即對上式兩邊求不定積分得稱為分部積分公式。利用這個公式求不定積分的方法稱為分部積分法。例1求。解取，則，所以如果設(shè)，則上式右邊的積分比原積分更難計算。·應(yīng)用分部積分法的關(guān)鍵是從被積函數(shù)中選擇恰當(dāng)?shù)牟糠峙c湊成，使積分變成。原則：容易得到，要比易求。例2 求。例3求。例4 求。·分部積分法的常見積分形式以及，的選擇：（1），等形式，這里為自然數(shù)，一般設(shè)，而被積表達(dá)式的其余部分設(shè)為；（2），等形式，這里為正整數(shù)。一般設(shè)，被積表達(dá)式的其余部分設(shè)為。·有些積分

8、經(jīng)過幾次分部后會出現(xiàn)與原積分相同的積分。例5求。解。上式右端第三項恰是所求的積分，移項后得所以例6求。·注意與其他積分法，如換元法相結(jié)合。例7求。 ·利用分部積分法還可以推出一些有用的遞推公式。例8求，其中為正整數(shù)。解用分部積分法，當(dāng)時有。即于是 。以此作為遞推公式，并由，即可得。作業(yè)：習(xí)題4-34; 5; 9; 14; 19; 20.§4 有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分稱為有理函數(shù)，其中和分別是次和次多項式。當(dāng)時，稱為真分式，而當(dāng)時，稱為假分式。利用多項式的除法，總可以把一個假分式化為一個多項式與一個真分式之和。例如。多項式的不定積分容易計算，因此我們只要討論

9、有理真分式的不定積分問題。1幾種簡單分式的積分（1） ；（2） ；（3），其中、為常數(shù)，。我們舉例說明這種不定積分的計算方法例1求。例2求。例3求。2分母可分解為的有理函數(shù)的積分這里，為常數(shù)()，為正整數(shù)。在代數(shù)學(xué)中可以證明，分母為的有理真分式必可分解為下列形式的簡單分式的和:而其中每一個簡單分式的不定積分求解已經(jīng)解決，于是問題歸結(jié)為如何確定常數(shù)，以及，。這需要用到待定系數(shù)法，我們舉例說明。例4求。解 因為故可將被積函數(shù)表示成兩個簡單分式的和。設(shè) 其中，是待定的常數(shù)。將等式右邊通分，消去分母，得恒等式：比較該等式兩端的系數(shù)及常數(shù)項，得方程組:解得，因此。這里求和的方法稱為待定系數(shù)法。此外，和也

10、可用下面的方法解得：因為是恒等式，取任意值兩端應(yīng)該相等，若令，則有，。再令，則有，故。例5求。 例6 。·對有理函數(shù)進(jìn)行積分的步驟是：（1）如果函數(shù)是假分式，則首先通過多項式除法將其化為一個多項式與一個有理真分式之和；（2）對于真分式，將其分母進(jìn)行因式分解，再通過待定系數(shù)法將該真分式分解為若干個簡單分式之和；（3）對于每個簡單分式，分別求不定積分。所謂簡單分式是指型如，的分式，其中為正整數(shù)?？梢宰C明，任一有理真分式總可以分成若干個最簡分式之和。進(jìn)而，如果該真分式的分母有因子，則其相應(yīng)的分解式應(yīng)包含：。 同樣，如果真分式的分母有因子，(其中)，則相應(yīng)的分解式中應(yīng)包含。·有理函

11、數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)。有些函數(shù)的原函數(shù)存在，但不能用初等函數(shù)表示。如：，。二、可化為有理函數(shù)的積分1三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)，其積分通常記為。對積分，可通過變換化為關(guān)于的有理函數(shù)的積分。因為又，所以 例7 求。 解令，則·變量替換對三角函數(shù)有理式的積分都可應(yīng)用，但有些三角函數(shù)有理式的不定積分用其他方法可能更為簡便。例8 求。解2簡單無理函數(shù)的積分下面通過例子介紹由和以及常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算構(gòu)成的簡單無理函數(shù)的積分。這種積分是可以通過變換化為關(guān)于的有理函數(shù)的積分。例9求 。例10 求 。作業(yè)：習(xí)題4-4 6; 7; 17;

12、20.小結(jié)一、本章基本內(nèi)容 （一）概念和性質(zhì)1如果在區(qū)間上，則稱是在上的一個原函數(shù)。2的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為的不定積分3，其中、為不全為的常數(shù)。（二）計算方法1牢記基本積分表(P186-187:(1)-(13);P203:(18)(19)(23)(24)。2換元積分法（1）第一換元法：已知，則（變形）（湊微分）有時也直接作，如A含、 的有理式，作；B含、的有理式，作，其中為、的最小公倍數(shù)。（2）第二換元法：作（要求單調(diào)）被積函數(shù)含，作；被積函數(shù)含，作，利用，；被積函數(shù)含，作；利用，一般地，可化為以上三種形式之一。常用代換還有：倒代換；對于三角有理式，可作萬能代換。3分部積分法或 （1）被積函數(shù)是多項式與、的乘積，則將、湊成；（2）被積函數(shù)是多項式與反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的乘積，則將多項式與湊成；（3）被積函