第七章定積分的應用

1、第七章 定積分的應用一 、本章學習要求與內(nèi)容提要（一）學習要求1掌握定積分的微元法.2會用定積分的微元法求平面圖形的面積.3會用定積分的微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積.4會用定積分的微元法求變力所做的功.5會用定積分的微元法求液體的側(cè)壓力.重點 定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.難點 定積分的微元法，微元法在實際問題中的應用.（二）內(nèi)容提要1定積分的微元法(1)在區(qū)間上任取一個微小區(qū)間,然后寫出在這個小區(qū)間上的部分量的近似值,記為(稱為的微元)；（2）將微元上無限“累加”，即在上積分，得 上述兩步解決問題的方法稱為微元法.關于微元，我們有兩點要說明：作為的近似表達式，應該足夠準確

2、，確切地說，就是要求其差是關于的高階無窮小，即.稱做微元的量，實際上就是所求量的微分.具體怎樣求微元呢？這是問題的關鍵，需要分析問題的實際意義及數(shù)量關系。一般按在局部上以“常代變”、“直代曲”的思路（局部線性化），寫出局部上所求量的近似值，即為微元.2.面積微元與體積微元（1）面積微元由曲線軸所圍成的圖形,其面積微元,面積.由上下兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積.由左右兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積（注意，這時應取橫條矩形為，即取為積分變量）.（2）體積微元不妨設直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和 之間的體積.用“微元法”.為求出體積微元，在微小區(qū)間上視不

3、變，即把上的立體薄片近似看作以為底，為高的柱片，于是其體積微元，再在的變化區(qū)間上積分，則有.3弧微元與平面曲線弧微分公式設曲線在上有一階連續(xù)導數(shù),仍用微元法，取為積分變量，在上任取小區(qū)間，切線上相應小區(qū)間的小段的長度近似代替一段小弧的長度，得弧長微元為 ,這里 .二 、主要解題方法（微元法）1求平面圖形的面積的方法 例1 求下列曲線所圍成的圖形的面積(1)拋物線 與直線， (2)圓 .解 (1)先畫圖，如圖所示，并由方程， 求出交點為（2，），（8，2）.解一 取為積分變量,的變化區(qū)間為，2，在區(qū)間，2上任取一子區(qū)間，+ ，則面積微元 =, 則所求面積為 = = （）=9.解二 取為積分變量，

4、的變化區(qū)間為0，8，由圖知，若在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成0，2，2，8兩部分完成.在區(qū)間0，2上任取一子區(qū)間， +，則面積微元 1=,在區(qū)間2，8上任取一子區(qū)間， +， 則面積微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 顯然，解法一優(yōu)于解法二。因此作題時，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當?shù)姆e分變量，盡量使計算方便.(2) 如圖，利用極坐標計算.的變化區(qū)間為，則面積微元 =, 于是所求圖形的面積為=2,利用對稱性，得 =4=2=2（+）=,事實上，表示一個半徑為的圓.面積 =是正確的.小結(jié) 計算面積時要注意：（1） 適當選擇坐標系，以便簡化計算.如題（2）若采用直角坐標系計算就比較麻煩.一般

5、地曲邊梯形宜采用直角坐標系，曲邊扇形宜采用極坐標系.（2）要考慮圖形的對稱性.（3）積分區(qū)間盡量少分塊.2求旋轉(zhuǎn)體體積的方法例2 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解 先畫圖形，因為圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為1,4，相應于1，4上任取一子區(qū)間,+的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為 =, 于是，體積 =1616=12.小結(jié) 求旋轉(zhuǎn)體體積時，第一要明確形成旋轉(zhuǎn)的平面圖形是由哪些曲線圍成，這些曲線的方程是什么；第二要明確圖形繞哪一條坐標軸或平行于坐標軸的直線旋轉(zhuǎn),正確選擇積分變量，寫出定積分的表達式及積分上

6、下限.3 求曲線的弧長的方法例3 (1)求曲線 上從0到3一段弧的長度,(2)求圓的漸開線方程 ,上相應于從0到的一段弧的長度.解 (1) 由公式 = （ ）知,弧長為=.(2) 因為曲線方程以參數(shù)形式給出，所以弧微元為 , =, = ,故 = , 故所求弧長為=.4求變力做功的方法例4 設有一彈簧，假定被壓縮0.5cm時需用力1N（牛頓）,現(xiàn)彈簧在外力的作用下被壓縮3cm，求外力所做的功.解 根據(jù)胡克定理，在一定的彈性范圍內(nèi)，將彈簧拉伸（或壓縮）所需的力與伸長量（壓縮量）成正比，即= （為彈性系數(shù)）按假設 當 =0.005m時 ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有 =200,所以取為積分

7、變量，的變化區(qū)間為0，0.03，功微元為 =200,于是彈簧被壓縮了3cm時，外力所做的功為 =0.09（J）.5求液體對側(cè)面的壓力的方法例5 一梯形閘門倒置于水中，兩底邊的長度分別為，（）,高為，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力.解 取坐標系如圖所示,則的方程為 , 取水深為積分變量，的變化區(qū)間為0，在0，上任取一子區(qū)間， +，與這個小區(qū)間相對應的小梯形上各點處的壓強= (為水的比重), 小梯形上所受的水壓力=()=2（） 小梯形上所受的總壓力為 =2=2=2（）=（）.三、學法建議1本章的重點是定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.學好本章內(nèi)容的關鍵是如何應用微元法，解決一些實際問題，這也是本章的難點.2首先要弄清楚哪種量可以用積分表達，即用微元法來求它，所求的量必須滿足 （1）與分布區(qū)間有關，且具有可加性；（2）分布不均勻，而部分量可以表示出來.3用微元法解決實際問題的關鍵是如何定出部分量的近似表達式，即微元.如面積微元，功微元.微元一般是部分量的線性主部，求它雖有一定規(guī)律，可以套用一些公式，但我們不希望死套公式，而應用所學知識學會自己去建立