第2章小波變換的基礎(chǔ)理論研究

1、第2章 小波變換的基礎(chǔ)理論研究2.1引言Fourier 變換是信號(hào)處理的重要工具，它在語(yǔ)音、雷達(dá)、聲納、地震、圖像、通信系統(tǒng)、自動(dòng)控制、生物醫(yī)學(xué)工程、機(jī)械振動(dòng)、遙感遙測(cè)、電力系統(tǒng)等許多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用。但是Fourier 變換反映的是信號(hào)的整體特性，不能得到信號(hào)的局部特性。小波變換是時(shí)間和頻率的局部變換，能更加有效的提取和分析信號(hào)的局部特性。小波分析在許多領(lǐng)域，如信號(hào)分析、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、視頻圖像分析、數(shù)據(jù)壓縮和傳輸、故障診斷等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。圖像的小波變換及其壓縮編碼是當(dāng)今圖像壓縮編碼領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)， Saprio1提出的圖像內(nèi)嵌小波零樹EZW(Embedded Zerotree

2、 Wavelet)編碼技術(shù)使該技術(shù)由理論走向?qū)嵱谩aid 和 Pearlman2在EZW基礎(chǔ)上又給出了更為精細(xì)的基于分層樹結(jié)構(gòu)的集合分裂算法SPIHT(Set Partitioning in Hierarchical Tree)。由于這種算法既降低了碼率，又加快了算法的執(zhí)行速度，因而得到了廣泛的應(yīng)用，在新標(biāo)準(zhǔn)JPEG20003,4中已有應(yīng)用。然而在圖像的小波壓縮編碼技術(shù)中，小波基的正則性、信號(hào)的邊界處理對(duì)壓縮率及失真的影響仍然是值得研究的問(wèn)題5。本章在小波變換的理論基礎(chǔ)上對(duì)這些問(wèn)題做了一些分析和探討。2.2 小波變換的原理7-11短時(shí)Fourier變換（STFT: Short Time Fo

3、urier Transform）對(duì)于一些非平穩(wěn)信號(hào)，如音樂(lè)信號(hào)、語(yǔ)音信號(hào)，圖像信號(hào)等，它們的頻域特性都是隨時(shí)間變化的。對(duì)這一類信號(hào)用Fourier變換進(jìn)行分析，僅能知道信號(hào)所含有的頻率信息，但不能知道這些頻率信息究竟出現(xiàn)在什么時(shí)段上，為了研究這些信號(hào)的局部形態(tài)，需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行二維時(shí)-頻分析。二維時(shí)-頻分析實(shí)際上就是依賴于時(shí)間的頻譜特性。STFT首先是由Garbor提出的?？紤]一個(gè)信號(hào)x(t)，集中在一個(gè)局部點(diǎn)t，假定通過(guò)一個(gè)窗函數(shù)g(t)（g(t)是在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)定義的），通過(guò)窗口的x(t)g*(t-t)的Fourier變換就是STFT7： (2.1)這就把一維信號(hào)x(t)經(jīng)STFT變換映

4、射到二維的時(shí)-頻平面（t，f）上。STFT非常強(qiáng)的依賴于窗函數(shù)g(t)。STFT的反變換7為： (2.2)滑動(dòng)窗g(t)tfSTFT(t,f1)STFT(t,f2)STFT(t1,f)STFT(t2,f)t1調(diào)制的濾波器組圖2.1 STFT的時(shí)-頻平面t2f1f2（2.1）式可從兩方面進(jìn)行解釋6,7。在二維時(shí)-頻平面上，如圖2.1所示，垂直方向上的豎條表示在t時(shí)刻，在窗函數(shù)g(t)確定的窗口范圍內(nèi)所含有的所有頻率分量；另一方面，從子帶分析的角度來(lái)看，水平方向的橫條表示在給定頻率f處，用脈沖響應(yīng)為g(t)的帶通濾波器對(duì)所有時(shí)間的信號(hào)進(jìn)行濾波。g(t)不但要求在時(shí)域是近似有限寬的，而且在頻域也要求

5、是近似有限寬的，如圖2.2所示。STFT中的窗函數(shù)g(t)一旦確定，它的時(shí)間窗大小和頻率窗大小就確定了。時(shí)間窗大小和頻率窗大小決定了g(t)的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。根據(jù)文獻(xiàn)7，設(shè)g(t)的Fourier變換為G(f)，定義濾波器g(t)的帶寬Df為： (2.3)其中分母表示g(t)的能量。兩個(gè)正弦信號(hào)，只有它們的頻率差大于Df時(shí)，通過(guò)濾波器g(t)才能將它們區(qū)分出來(lái)，所以以g(t)為窗口的STFT的頻率分辨率由Df決定。類似，時(shí)間的寬度Dt定義為： (2.4)其中分母同樣表示g(t)的能量，兩個(gè)脈沖信號(hào)只有它們?cè)跁r(shí)間上相距大于Dt時(shí)，通過(guò)濾波器G(f)才能將它們區(qū)分出來(lái)。 在(2.3),(2

6、.4) 式中，假定g(t)和G(f)的中心點(diǎn)在t=0和f=0處，如圖2.2所示在STFT中，由于和的固定不變，在整個(gè)時(shí)-頻平面上只能采用相同的頻率、時(shí)間分辨率，這是STFT的不足。因?yàn)閷?duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，也許某一小時(shí)間段上，是以高頻信息為主，我們希望用小的時(shí)間窗進(jìn)行分析，而對(duì)長(zhǎng)時(shí)間段上的低頻信號(hào)，希望采用大時(shí)間窗進(jìn)行分析。因此，對(duì)于一個(gè)時(shí)變的非平穩(wěn)信號(hào)，很難找到一個(gè)好的時(shí)間窗來(lái)適合于不同的時(shí)間段。小波變換的引入彌補(bǔ)了STFT的不足。小波變換采用了可變帶寬的窗函數(shù)（濾波器），在低頻端用窄帶濾波器進(jìn)行分析，而在高頻端用寬帶濾波器進(jìn)行分析，這就是所謂的相對(duì)帶寬固定的濾波器組（即恒Q特性）6。如圖2.3

7、(b)所示。圖2.3 (a)為STFT下的絕對(duì)帶寬恒定的濾波器組。f(b)頻域波形圖2.2 STFT窗口函數(shù)的時(shí)、頻域波形t(a)時(shí)域波形(a) 絕對(duì)帶寬恒定的濾波器組頻譜(b) 相對(duì)帶寬恒定的濾波器組頻譜G(f)G(f)fff02f03f04f05f06f0f02f04f08f0圖2.3 STFT和小波變換濾波器組的頻譜2.2.2 連續(xù)小波變換(CWT:Continuous Wavelet Transform)2.2.2.1 一維連續(xù)小波變換設(shè)為平方可積函數(shù)，L2(R), 若其Fouriera變換A(w)滿足： (2.5)則稱為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，(2.5)式為小波函數(shù)的容許條件。由(

8、2.5)式可知： (2.6)即小波母函數(shù)的均值為零，那么它一定是正負(fù)交替的。如Marr小波:對(duì)一個(gè)小波母函數(shù)，通過(guò)平移和伸縮構(gòu)成一組小波基，記為a0, tR (2.7)參數(shù)a,t分別稱為尺度因子和位移因子（常數(shù)是用于能量的歸一化）。Marr小波的基及其Fourier變換如圖2.4所示。由于a, t為連續(xù)變換的，所以為連續(xù)小波基函數(shù)。圖2.4 Marr小波基的時(shí)域波形、頻域波形（b）頻域波形-10-8-6-4-2024681001234a=2 a=1 a=0.5（a）時(shí)域波形-5-4-3-2-1012345-1-0.500.511.5a=0.5a=1a=2信號(hào)的連續(xù)小波變換定義為7： (2.8)

9、CWT將一維信號(hào)映射到二維時(shí)間-尺度平面上，在二維時(shí)間-尺度平面上，有利于信號(hào)特征的提取。從時(shí)-頻分析的角度來(lái)看，如令 (2.9)則CWT可看作是STFT。信號(hào)在某一尺度a，平移點(diǎn)t上的小波變換系數(shù)，實(shí)質(zhì)上表征的是t位置上，時(shí)間段上經(jīng)過(guò)中心頻率為，帶寬為帶通濾波器的頻率分量大小。隨著尺度a的變化，帶通濾波器的中心頻率及帶寬都發(fā)生變化。當(dāng)分析低頻（對(duì)應(yīng)大尺度）信號(hào)時(shí)，其時(shí)間窗增大，濾波器中心頻率和帶寬減小，而當(dāng)分析高頻（對(duì)應(yīng)小尺度）信號(hào)時(shí)，其時(shí)間窗減小，濾波器中心頻率和帶寬增大，這正好符合實(shí)際問(wèn)題中高頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間短，低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)的自然規(guī)律。而在STFT中，窗口是固定不變的，這正是兩者的本

10、質(zhì)區(qū)別。小波變換的逆變換為8,9： (2.10)2.2.2.2 二維連續(xù)小波變換設(shè)a(x,y)為一二維連續(xù)函數(shù)，滿足容許條件：(2.11)則可以作為小波母函數(shù)。為的二維Fourier變換。二維連續(xù)函數(shù)的小波變換定義為： (2.12)其中，為二維小波基，t1，t2為兩個(gè)方向上的位移，a為尺度。 (2.13)二維Marr小波母函數(shù)，時(shí)域波形見圖2.5圖2.5 二維Marr小波母函數(shù)的時(shí)域波形，尺度a分別為0.5、1、2二維小波變換的逆變換為： （2.14）當(dāng)二維小波母函數(shù)是可分離型時(shí)，即，則它可簡(jiǎn)化為一維小波變換。在實(shí)際的圖像小波變換中大都采用可分離的小波變換。2.3 多分辨率分析與Mallat算

11、法2.3.1 小波變換參數(shù)的離散化由于連續(xù)小波變換變換域參數(shù)是連續(xù)的，從降低信息冗余9的角度和實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)說(shuō)，需要將尺度參數(shù)和位移參數(shù)離散化。一種最常用的方法就是將尺度按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取a=a0m(mZ，Z為整數(shù)基，a01，常取為2)。位移的離散化，為了不丟失信息，要滿足Nyquist采樣定理。當(dāng)尺度a增加一倍時(shí)（m加1），對(duì)應(yīng)的濾波器帶寬減小一半，采樣頻率可以降低一半，采樣間隔增大一倍。因此，在尺度a=1（m=0）時(shí)，位移t的采樣間隔設(shè)為T0，則在尺度a=a0m時(shí)的采樣間隔為a0mT0。因此，在尺度和位移都離散化后，小波基函數(shù)可表示為：，m,nZ. 在歸一化(設(shè)T0=1)情況下，上

12、式為：(2.15)任意函數(shù)x(t)的離散小波變換為：(2.16)2.3.2 多分辨率分析(MRA: Multi-Resolution Analysis)多分辨率分析方法是Mallat在研究計(jì)算機(jī)視覺時(shí)提出的11，它的基本思想是將圖像在不同尺度下分解，得到不同尺度下圖像分解的結(jié)果，然后進(jìn)行比較，從而得到一些有用的信息。2.3.2.1 多分辨率分析的數(shù)學(xué)描述9,10,11設(shè)函數(shù)L2(R)(平方可積空間)，若其整數(shù)平移序列相互正交，即： n,nZ (2.17)則由所張成的子空間稱為尺度空間9，而函數(shù)稱為尺度函數(shù)(或生成元)。由(2.15)式可知，在尺度函數(shù)序列中由于m=0，因此，由所張成的子空間為零

13、尺度空間，記做V0，而即為V0的一組基。根據(jù)泛函分析的理論12，任意函數(shù)V0，可以由V0的一組基的線性表出，即： (2.18)其中： (2.19)同樣可得到尺度m0下的尺度函數(shù)序列，由所張成的子空間為m尺度空間，記為Vm。那么任意Vm可由線性表出： (2.20)由此，尺度函數(shù)在不同尺度下的平移序列張成了一系列的尺度空間Vm，mZ。隨著尺度m的增大，函數(shù)的寬度增大，且實(shí)際的平移間隔（2mT0）也變大，所以它的線性表達(dá)式(2.20)就不能表示函數(shù)的細(xì)微變換（小于該尺度下的變化），因此，其張成的尺度空間只能包含大尺度的慢變信號(hào)，相反，隨著尺度m的減小，函數(shù)的寬度變小，實(shí)際的平移間隔（2mT0）也變小

14、，則它的線性表達(dá)式可以表達(dá)函數(shù)的更細(xì)微的變化，因此，其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，尺度空間變大。由此，可以給出多分辨率分析嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述：（1） 在L2(R)中，存在一系列嵌套子空間Vm，mZ， (2.21)這一系列嵌套子空間具有：逼近性： ； (2.22)伸縮性： (2.23)（2）存在函數(shù)V0，使得 nZ構(gòu)成V0的正交基，即， (2.24)若 nZ是V0的正交基，則m, nZ是Vm的正交基。2.3.2.2 小波函數(shù)10雖然多分辨率分析的一系列子空間逼近L2(R)，但是，由于它們之間是互相包含的，不具有正交性，因此它們的基m, nZ在不同尺度下不具有正交性，因而也就不能作為L(zhǎng)2(R)的正

15、交基。為了尋找一組L2(R)的正交基，有必要引入Vm的正交補(bǔ)。設(shè)Wm是Vm的在Vm-1中的正交補(bǔ)空間，即 (2.25)那么，對(duì)任意mn，Wm和Wn都是正交的，由(2.21)、(2.22)式可得： (2.26)因此，Wm是構(gòu)成L2(R)的一系列正交子空間，且 (2.27)若W0，則Wm，亦即： (2.28)若nZ是W0的一組正交基，由 (2.28) 式對(duì)任意尺度mZ， nZ一定是Wm的一組正交基，再根據(jù)(2.26)式，全體m,nZ構(gòu)成L2(R)的一組正交基，就是小波母函數(shù)，Wm是尺度為m的小波空間。小波空間與尺度空間是互補(bǔ)的，尺度空間之間是包含關(guān)系，而小波空間是正交關(guān)系。2.3.2.3 一維信號(hào)

16、的多分辨率分析根據(jù)多分辨率分析的定義，由于，如果一維信號(hào)V0，則可分解（投影）為V1和W1上的兩部分，在V1上的投影稱為的近似部分，記為，在W1上的投影稱為的細(xì)節(jié)部分，記為。如果是尺度函數(shù)，是小波函數(shù)，那么： (2.29) (2.30)其中a1,n和d1,n分別為尺度分解系數(shù)和小波分解系數(shù)： (2.31) (2.32)重構(gòu)信號(hào): (2.33)同樣，當(dāng)V-1，則可分解（投影）為V0和W0上的兩部分： (2.34) (2.35) (2.36)以上的分析是在m=-1,0,1的尺度空間進(jìn)行的，在其它尺度空間上同樣適用。2.3.2.4 一維二尺度方程尺度函數(shù)和小波函數(shù)在相鄰兩個(gè)尺度上的關(guān)系就是二尺度方程

17、，它反映了相鄰尺度空間和小波空間之間的內(nèi)在聯(lián)系。由多分辨率分析的定義可知，若和分別為尺度空間V0和小波空間W0的正交基，由于V0V-1，W0V-1，所以和也必然包含在V-1中，而V-1的一組正交基為 nZ，所以和可以表示為： (2.37) (2.38)其中系數(shù)和分別為： (2.39) (2.40)對(duì)任意相鄰空間，(2.37)和(2.38)都成立10，此二式就稱為二尺度方程。系數(shù)和稱作濾波器系數(shù)，它們是由尺度函數(shù)和小波函數(shù)決定的，與具體的尺度無(wú)關(guān)。2.3.3 Mallat算法11設(shè)V0是一尺度空間， nZ是它的正交基，那么任意 V0可以由 nZ線性表出，即：其中： 為在V0上的尺度系數(shù)。由于V0

18、=V1W1，將f(t)在V1和W1上分解，即：其中： nZ是V1的正交基， nZ是W1的正交基。，分別為在V1上的尺度系數(shù)和W1上的小波系數(shù)。根據(jù)二尺度方程不難得到10,11： (2.41) (2.42)其中：、分別是分解時(shí)相應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器，a0,m是0尺度下尺度系數(shù)，a1,m是1尺度的尺度系數(shù)，d1,m是1尺度的小波系數(shù)，初始系數(shù)a0,m一般取為函數(shù)的采樣值10。對(duì)a1,m繼續(xù)分解就可以得到函數(shù)的金字塔型分解算法，如圖2.6所示g(k) 2 h(k) 2h(k)g(k) 2a0,ka2,kd2,kd1,ka1,k 2圖2.6一維Mallat分解算法重構(gòu)： (2.43)其中：、分別

19、是重構(gòu)時(shí)相應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器。上式中a1,(m-k)/2、d1, (m-k)/2當(dāng)(m-k)取奇數(shù)時(shí)取零，即插零。2.4 圖像信號(hào)的小波變換將一維信號(hào)的分析結(jié)果推廣到二維圖像信號(hào)上來(lái)，就有以下的結(jié)果。2.4.1 二維多分辨率分析設(shè)VmmZ是一維L2(R)的多分辨率分析的尺度空間嵌套，是它的尺度函數(shù)。Vm的一組正交基為，Wm是Vm在Vm-1中的正交補(bǔ)，即, ,而Wm的一組正交基為。則可通過(guò)一維多分辨率分析的張量積來(lái)定義二維的多分辨率分析。設(shè)： (2.50)則滿足： (2.51) , (2.51)令，則為的尺度函數(shù)，那么，空間的一組正交基為：m,n1,n2Z (2.52)= (2.53)其

20、中：， (2.54)且 (i=1,2,3)，ij，i,j1,2,3，及(m1m2)。在m尺度上,有四個(gè)正交的子空間, 它們的母函數(shù)分別是： (2.55a) (2.55b) (2.55c) (2.55d)由母函數(shù)的伸縮和平移可構(gòu)成它們的正交基，類似于(2.52)式。由(2.53)式，任一函數(shù)可投影到，和空間上，則有： (2.56)其中：,(i=1,2,3)為展開系數(shù)，分別為： (2.57a) (2.57b) (2.57c)(2.57d)為在尺度1上的近似系數(shù)，為該尺度三個(gè)方向上的細(xì)節(jié)系數(shù)。2.4.2 圖像小波變換的算法2.4.2.1 二維二尺度方程在二維情況下，每個(gè)尺度上有四個(gè)子空間，所以就有四

21、個(gè)二尺度方程，在0尺度和1尺度之間二尺度方程為:(2.58a)(2.58b)(2.58c)(2.58d)其中i=0,1,2,3二維濾波器系數(shù)。對(duì)任意兩相鄰子空間和，上面的二尺度方程總是成立。在(2.50)式的條件下，可以得到： (2.59a) (2.59b)其中，為一維濾波器，見(2.39)、(2.40)式。同理: (2.59c) (2.59d)2.4.2.2 圖像小波變換的分解與重構(gòu)算法10,11根據(jù)二尺度方程(2.58)式及(2.57)式可以得到二維圖像信號(hào)的小波分解算法為： (2.60a) (2.60b) (2.60c) (2.60d)上式將0尺度上的近似系數(shù)分解為1尺度上的近似系數(shù)和三

22、個(gè)不同方向上的細(xì)節(jié)系數(shù)。對(duì)1維尺度上的近似系數(shù)再進(jìn)行分解，即形成了二維的金字塔分解算法。重構(gòu)：+(2.61)2.5 小波變換的正則性132.5.1 小波變換的濾波器表示 2 2 2a0,kd1,ka1,k 20,k圖2.7 雙通道的濾波器組在小波變換算法中，濾波器起著重要的作用。一維信號(hào)的一級(jí)小波分解與重構(gòu)可以用圖2.7所示的雙通道的濾波器組來(lái)表示。設(shè)和的z變換分別為和，和的z變換分別為和，a0,k和 0,k分別記為和，它們的z變換分別為和，則： (2.62)當(dāng)濾波器滿足以下條件時(shí)：(2.63)(2.64)(2.65)則： (2.66)對(duì)應(yīng)時(shí)域?yàn)椋?(2.67)此式表明，重構(gòu)信號(hào)僅是輸入信號(hào)的

23、n步延遲，即實(shí)現(xiàn)了完全重構(gòu)。由下面的公式可知n一定為奇數(shù)。而(2.63),(2.64),(2.65)式就是完全重構(gòu)條件，對(duì)應(yīng)到時(shí)域?yàn)椋?.5.2 正則性探討5,13在圖像的小波變換編碼中，一般選擇正交或雙正交小波基。小波基對(duì)應(yīng)濾波器組，不同的濾波器組在進(jìn)行信號(hào)分解與重構(gòu)時(shí)產(chǎn)生不同的效果。小波基與濾波器組的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表2.113：小波基濾波器組對(duì)稱性相位系數(shù)數(shù)量正則性正交小波基不對(duì)稱（除Haar小波）不保證線性相位一組系數(shù)，其他三組系數(shù)是該組系數(shù)的逆序及其調(diào)制任意階正則性雙正交小波基對(duì)稱確保線性相位兩組系數(shù)，其他兩組系數(shù)是這兩組系數(shù)的逆序及其調(diào)制有限階正則性（與濾波器長(zhǎng)度有關(guān)）表2.1：小波基與

24、濾波器組的對(duì)應(yīng)關(guān)系正則性是函數(shù)光滑程度的反映，是選擇小波變換濾波器應(yīng)考慮的一個(gè)重要因素。定義1:設(shè)函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)存在，對(duì)任意x,xR，若有， 其中：0l1，c是與x,x無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么稱具有N+l階正則性。根據(jù)定義，若具有N+l階正則性，則具有N階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。正則性越高，函數(shù)越光滑。越光滑的函數(shù)，在頻域中能量越集中。尺度函數(shù)的正則性與小波函數(shù)的消失矩成對(duì)應(yīng)關(guān)系，高階正則性的尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)高階消失矩的小波函數(shù)。當(dāng)給出分解低通濾波器后，可以構(gòu)造出尺度函數(shù)14,15。定理1：設(shè)是有限長(zhǎng)序列，n=0,1, ,L-1，是的z變換。定義, 。所對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列為，則的長(zhǎng)度為。證明：用數(shù)學(xué)歸納法k=1時(shí)，=，對(duì)應(yīng)

25、的時(shí)間序列為，結(jié)論成立。k=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列長(zhǎng)度為。根據(jù)卷積定理，的時(shí)間序列為與時(shí)間序列之卷積，其長(zhǎng)度為=,結(jié)論成立。設(shè)k= K時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)k=K+1時(shí): 由于的時(shí)間序列長(zhǎng)度為，所以的序列長(zhǎng)度為+=。結(jié)論成立。定理2：構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：，與為一Z變換對(duì)。則：，的支撐集為。證明：由于H(k)(z)=，所以：，。又由于：,。令：，則：,。所以：。根據(jù)定理1，。當(dāng)k時(shí)，若收斂到一個(gè)連續(xù)函數(shù)，那么就具有正則性，就是由生成的尺度函數(shù)。只有滿足一定的條件16，才能保證收斂到一個(gè)連續(xù)函數(shù)。實(shí)際的圖像除小部分邊沿之外，大部分是光滑的。小波分解時(shí)，低頻系數(shù)包含原圖像的大量信息，而高頻系數(shù)除極少數(shù)系數(shù)外，大部

26、分接近于零?；谛〔ㄗ儞Q的圖像壓縮編碼技術(shù)正是利用了小波變換的這個(gè)特性。設(shè)是一個(gè)充分光滑的函數(shù)，可由t=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)近似： (2.68)其中：表示在t=0點(diǎn)的階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)M時(shí)，。由(2-36)式，小波展開系數(shù) (2.69)定理3：當(dāng)小波函數(shù)具有M階消失矩時(shí)，即:，= 0, 1 ,M-1，則： ，= 0,1,M-1，nZ(整數(shù)集)。證明： = 0回到（2.69）式，當(dāng)?shù)南Ь卦礁邥r(shí),d0,n越接近于零。2.6 濾波器組的線性相位與邊界處理13當(dāng)信號(hào)經(jīng)過(guò)小波分解后，分解后的信號(hào)要發(fā)生相移；當(dāng)濾波器具有線性相位時(shí)，它的相移是線性的；而當(dāng)濾波器不具有線性相位時(shí)，它的

27、相移是非線性的。對(duì)線性相移，在重構(gòu)時(shí)可用與分解濾波器成正交的重構(gòu)濾波器進(jìn)行補(bǔ)償，使重構(gòu)的信號(hào)在相位上保證與原信號(hào)一致。小波變換是針對(duì)無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)的，對(duì)于有限長(zhǎng)的信號(hào)，必須處理好邊界問(wèn)題。處理邊界的原則是（1）保持信息不丟失（即恢復(fù)信號(hào)不能畸變），（2）數(shù)據(jù)量不能增大。為此，已有了零延拓、對(duì)稱延拓17及周期延拓。我們認(rèn)為周期延拓是更好的方法，結(jié)合本文提出的濾波方法，可以滿足上面兩點(diǎn)要求。設(shè)待處理的有限長(zhǎng)信號(hào)為, ，長(zhǎng)度為N；對(duì)做周期延拓。分解時(shí)向后延拓M(濾波器長(zhǎng)度)點(diǎn)，= , , ，其中，對(duì)做濾波，設(shè)濾波器為h0(0), h0(1), h0(M-1)，則輸出：n=0,1,N-1 (2.70)表示

28、為矩陣形式： (2.71)的相位比滯后一個(gè)角度，長(zhǎng)度仍保持N。重構(gòu)時(shí)則相反，將輸入信號(hào)向前延拓M點(diǎn)，濾波器采用重構(gòu)濾波器，則重構(gòu)信號(hào)為，用矩陣表示為： (2.72)其中：=,=, 。重構(gòu)信號(hào)的相位比超前一個(gè)角度，從而使與保持同相位，長(zhǎng)度為N。2.7 仿真研究2.7.1 濾波器正則性與小波變換的關(guān)系a1d1d2d3小波分解 a0圖2.8 圖像的一次小波分解正則性與小波變換的關(guān)系。選用不同正則性的濾波器組對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圖像Lena(2562568bit)及mosaic(2562568bit)圖像進(jìn)行一次分解與重構(gòu)，如圖2.8所示，結(jié)果見表2.2，其中：a0為原圖像的像素灰度值矩陣，a1為低頻分量， dk（

29、k=1,2,3）為三個(gè)方向上的高頻分量。表2.2 正則性與小波變換的關(guān)系（Lena圖像/mosaic圖像）圖2.9、圖2.10為重構(gòu)圖像。重構(gòu)時(shí)只保留低頻分量,并對(duì)其進(jìn)行整數(shù)量化，舍去高頻分量。小波濾波器系數(shù)正則性rard1rd2rd3PSNR(db)長(zhǎng)度0 1 2 3 4Haar(h0) 2.707,. .7070.000.9941/.6250.0035/.1250.0020/.1250.0003/.125028.77 /7.27(g0) 2.707, .7070.000雙正交(h0) 9.853, .377, -.111, -.024, .0381.068.9966/.8001.0012/

30、.0632.0006/.0632.0002/.063233.25 /11.56(g0) 7.788, .418, -.041, -.0651.7012.7.2 濾波器的線性相位與信號(hào)的邊界問(wèn)題選輸入信號(hào)為正弦信號(hào)x(n)=sin(wn),頻率w=p/18,y1為分解后的低頻信號(hào)，y為重構(gòu)信號(hào)（舍去了高頻信號(hào)）。圖2.9 Lena圖像的小波分解與重構(gòu)(b)Haar小波(c)雙正交小波(a)原圖像(b)Haar小波(c)雙正交小波(a)原圖像圖2.10 Mosaic 圖像的小波分解與重構(gòu)Case 1:選用雙正交小波濾波器組h0= 0.0663,-0.1989,-0.1547,0.9944, 0.9

31、944,-0.1547,-0.1989,0.0663 g0= 0.0000, 0.0000, 0.1768, 0.5303, 0.5303, 0.1768, 0.0000, 0,0000 Case 2:選用正交小波濾波器組h0= -0.0106, 0.0329, 0.0308, -0.1870, -0.0280, 0.6309, 0.7148, 0.2304 g0= 0.2304, 0.7148, 0.6309, -0.0280, -0.1870, 0.0308, 0.0329, -0.0106圖2.11 雙正交小波分解與重構(gòu) (a)輸入信號(hào), (b)分解信號(hào),(c)重構(gòu)信號(hào)051015202

32、53035401x(a)0-10510152025303540(b)0510152025303540(c)20-220-2y1ynnn圖2.12 正交小波分解與重構(gòu) (a)輸入信號(hào), (b)分解信號(hào), (c)重構(gòu)信號(hào)05101520253035401x(a)0510152025303540(b)0510152025303540(c)0-120-220-2y1ynnn仿真結(jié)果見圖2.11和圖2.12。本章小結(jié)：小波變換是一種變尺度的時(shí)-頻聯(lián)合分析方法，它更適合于對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理，能夠分析到信號(hào)的局部形態(tài)，它的變尺度特性低頻部分采用大的時(shí)間尺度，高頻部分采用小的時(shí)間尺度，與人類的視覺系統(tǒng)相吻合。

33、本章對(duì)小波變換的理論基礎(chǔ)做了分析和歸納，特別對(duì)小波變換中的兩個(gè)關(guān)鍵技術(shù)小波的正則性與信號(hào)的邊界處理做了進(jìn)一步的分析和探討，從而得出如下結(jié)論：1. 正則性是我們選擇小波基時(shí)要考慮的一個(gè)重要因素。對(duì)一般較為平滑的圖像，如Lena圖像，經(jīng)過(guò)小波分解后，低頻分量較大，而高頻分量較小；而且正則性階數(shù)越高，低頻分量越大，高頻分量越小。對(duì)于圖像的壓縮編碼來(lái)說(shuō)，壓縮比大，恢復(fù)圖像失真小。但對(duì)紋理較多的圖像，如mosaic圖像，小波分解后，其低頻分量減小，高頻分量增大，因而壓縮比減小，恢復(fù)圖像的失真加大。2. 對(duì)有限長(zhǎng)信號(hào)，經(jīng)過(guò)小波分解后，必引起相位的偏移，為了減小相位偏移所引起的相位失真，在分解與重構(gòu)時(shí)應(yīng)采用

34、向前、向后的周期延拓；采用本文所提出分解與重構(gòu)算法，可以使信號(hào)在小波變換前后的相位偏移得到完全的補(bǔ)償。經(jīng)過(guò)周期延拓，可以使數(shù)據(jù)量不擴(kuò)大且信息不丟失。參考文獻(xiàn)1 Shapiro J M. Embedded image coding using zerotrees of wavelet coefficientsJ. IEEE Trans. Signal Processing, Dec.1993, 41(12): 3445-3462.2 Said A, Pearlman W A. A new, fast, and efficient image codec based on set partitio

35、ning in hierarchical trees J. IEEE Trans. Circuits and Systems for Video Technology, Jun. 1996, 6(3):243-250.3 張曉娣，劉貴忠等. 新一代的靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG2000J. 電信科學(xué)， 2001, No.5:20-23.4 屈穩(wěn)太,諸靜. 基于靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG2000的變電站圖像監(jiān)控系統(tǒng)的研究J. 電力系統(tǒng)及氣自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2003,25(1).5 Villasenor J D, Benjamin B, Liao J. Wavelet filter evaluation for image compression J. IEEE Trans. Image Processing, 1995, 4(8