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文檔簡介
1、“算兩次”思想在證明組合恒等式中的應用1.,取走和剩下的一一對應;2.我們可令等式中的x等于1,得到該式。另外,我們可考察集合的子集的個數(shù):一方面,采取加法原理,根據(jù)子集中元素個數(shù)分類:;另一方面,采取乘法原理,設其子集為S,我們逐一考察是否在S內,每個元素都有兩種可能,考察完畢,子集S確定,或者我沒把子集看成一個排列,如;。共。所以得證。3.,從取m個有種:一類含a:,一類不含a:。推廣: 從取m個排成一排:一類含a:,一類不含a:。推廣:解釋:有m+n+1不同小球,其中黑球m+1個,白球n個。從中選取n+1個小球,選法共:種,考慮另外一種算法:若有黑1則在剩余小球中選n個,即,若無黑1,則
2、考慮是否有黑2,若有則從剩余n+m-1個小球中取n個,即,依次考慮下去,到考慮是否有黑m,若有,則在剩余n個小球取n個,即,若無黑m。則必有黑m+1,最后剩下的m個白球全取??偣?。所以得證。本公式另一種表現(xiàn)形式:。本公式也可從楊輝三角觀察可得。還可考察等式兩端的系數(shù)相同。推廣: 從取個元素:從這個元素中取個a系,r-k個b系的方法種,所以。(Vandermonde恒等式)特例,當時,即。 當時,。(人教B選修2-3教材P35T17,此題還可以通過考察等式左右兩邊含項的系數(shù)相等得到;同樣考察左右兩邊含項的系數(shù)相等得到Vandermonde恒等式)推廣:。證明:由,令結合可得。得證。解釋:a系選一
3、個作為主元素,從剩余的2n-1中再選n-1個;再有對于k=1,2,3,n從n個a系中選k個,再從中選一主元素,再從n個b系中選n-k個(不做主元素),即。另一種證明方法:因為:,兩展開式右邊乘積中的常數(shù)項恰好等于,而,中含的系數(shù)是。推廣:,當時,即是上式。4.,(可直接用組合數(shù)公式證明)解釋:從n個元素中選出r個元素并把其中之一作為主元素,另一方法,先從n個元素中選出一個主元素,再從剩余的n-1個元素中選取r-1個元素。用之可證明人教B版選修2-3P32T6:。(證明一:倒序相加;證明二:從左往右結合;證明三:兩端求導并令)的推廣:時,。解釋:考慮從n人中選出m名正式代表及若干名列席代表的選法(列席代表不限人數(shù),可以為0).一方面,先選定正式代表,有種方法,然后從個人選列席代表,有種方法,共有種。另一方面,可以先選出人(),然后再從中選出m名正式代表,其余的k人為列席代表。對于每個k,這樣的選法有種,從
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