算兩次在證明組合恒等式中的應用

1、“算兩次”思想在證明組合恒等式中的應用1.，取走和剩下的一一對應；2.我們可令等式中的x等于1，得到該式。另外，我們可考察集合的子集的個數(shù)：一方面，采取加法原理，根據(jù)子集中元素個數(shù)分類：；另一方面，采取乘法原理，設其子集為S，我們逐一考察是否在S內，每個元素都有兩種可能，考察完畢，子集S確定，或者我沒把子集看成一個排列，如；。共。所以得證。3.，從取m個有種：一類含a：，一類不含a：。推廣： 從取m個排成一排：一類含a：，一類不含a：。推廣：解釋：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1個，白球n個。從中選取n+1個小球，選法共：種，考慮另外一種算法：若有黑1則在剩余小球中選n個，即，若無黑1，則

2、考慮是否有黑2，若有則從剩余n+m-1個小球中取n個，即，依次考慮下去，到考慮是否有黑m，若有，則在剩余n個小球取n個，即，若無黑m。則必有黑m+1，最后剩下的m個白球全取?？偣?。所以得證。本公式另一種表現(xiàn)形式：。本公式也可從楊輝三角觀察可得。還可考察等式兩端的系數(shù)相同。推廣： 從取個元素：從這個元素中取個a系，r-k個b系的方法種，所以。（Vandermonde恒等式）特例，當時，即。 當時，。（人教B選修2-3教材P35T17，此題還可以通過考察等式左右兩邊含項的系數(shù)相等得到；同樣考察左右兩邊含項的系數(shù)相等得到Vandermonde恒等式）推廣：。證明：由，令結合可得。得證。解釋：a系選一

3、個作為主元素，從剩余的2n-1中再選n-1個；再有對于k=1，2,3，n從n個a系中選k個，再從中選一主元素，再從n個b系中選n-k個（不做主元素），即。另一種證明方法：因為：，兩展開式右邊乘積中的常數(shù)項恰好等于，而，中含的系數(shù)是。推廣：，當時，即是上式。4.，（可直接用組合數(shù)公式證明）解釋：從n個元素中選出r個元素并把其中之一作為主元素，另一方法，先從n個元素中選出一個主元素，再從剩余的n-1個元素中選取r-1個元素。用之可證明人教B版選修2-3P32T6：。（證明一：倒序相加；證明二：從左往右結合；證明三：兩端求導并令）的推廣：時，。解釋：考慮從n人中選出m名正式代表及若干名列席代表的選法（列席代表不限人數(shù)，可以為0）.一方面，先選定正式代表，有種方法，然后從個人選列席代表，有種方法，共有種。另一方面，可以先選出人（），然后再從中選出m名正式代表，其余的k人為列席代表。對于每個k,這樣的選法有種，從