第一章索洛增長模型

1、第一章 索洛增長模型一、索洛模型的介紹與一些前提假設(shè)條件該模型是經(jīng)濟(jì)學(xué)家傳統(tǒng)上用于分析經(jīng)濟(jì)增長的主要模型。幾乎對于所有有關(guān)增長的分析而言，索洛模型是其起點(diǎn)。理解該模型實(shí)質(zhì)上便是理解增長理論。但該模型也存在缺陷：它不能解釋不同時(shí)間上人均產(chǎn)出的巨大增長，也無法解釋地域上不同人均產(chǎn)出的巨大差距。（按邊際產(chǎn)品取得收益的傳統(tǒng)途徑）。假設(shè)：（1）生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)自變量是規(guī)模報(bào)酬不變的，即資本與有效勞動是規(guī)模報(bào)酬不變的；（2）除資本、勞動與知識以外的其他投入是相對不重要的，特別地，模型忽略了土地與其他自然資源。規(guī)模報(bào)酬不變的假設(shè)可以讓我們利用緊湊形式的生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行分析：當(dāng)，其中，是單位有效勞動的資本量，是單

2、位有效勞動的產(chǎn)出。定義，及，即把單位有效勞動的產(chǎn)出寫成單位有效勞動的資本量的函數(shù)。人均收入：緊湊型生產(chǎn)函數(shù)假定滿足，。因?yàn)椋海募僭O(shè)意味著資本的邊際產(chǎn)品為正，但它隨每單位有效勞動的資本量的增加而下降。另被假設(shè)滿足稻田條件：，其意思是在資本存量充分小量資本的邊際產(chǎn)品是十分大的，而當(dāng)資本存量變大時(shí)，資本的邊際產(chǎn)品變得十分小。，它是確保經(jīng)濟(jì)的路徑并不發(fā)散。（舉例柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，說明滿足稻田條件的意義）二、生產(chǎn)投入的時(shí)間變化描述資本、勞動與知識的初始水平給定的，勞動與知識以不變的增長率增長：，（與是外生參數(shù)，而變量上的一點(diǎn)表示關(guān)于時(shí)間的一個(gè)導(dǎo)數(shù)，為變量的變化率。而變量的增長率指其變化的速率，它等

3、于其自然對數(shù)的變化率，如，。（同理可得出）假設(shè)產(chǎn)出僅在消費(fèi)與投資之間分配，其中投入投資的產(chǎn)出份額是外生且不變的，投入投資的一單位產(chǎn)出可獲得一單位的新資本?，F(xiàn)有資本以速率折舊，即有：（索洛模型簡化：只存在一種單一的產(chǎn)品，政府不存在，就業(yè)波動被忽視，生產(chǎn)正好可用于三種投入的總生產(chǎn)函數(shù)描述，并且儲蓄率（）、折舊（）、人口增長（）與技術(shù)進(jìn)步（）不變。）三、模型的動態(tài)學(xué)解釋1、的動態(tài)學(xué)由于，求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得：它表示單位有效勞動的資本存量的變化率（）為如下兩項(xiàng)的差：第一項(xiàng)為每單位有效勞動的實(shí)際投資；第二項(xiàng)為持平投資，即為使保持在現(xiàn)有水平上所必須進(jìn)行的投資量。理由是現(xiàn)有資本正在折舊及有效勞動量正在以（

4、）的速率增長。（1）實(shí)際與持平投資圖：實(shí)際投資持平投資（稻田條件保證了上圖的實(shí)際投資曲線先陡峭，后下降，且只有相交一個(gè)點(diǎn)）（2）相位圖：用相位圖說明作為的函數(shù)的的變化：如果初始小于，實(shí)際投資大于持平投資，因而為正，反之，如果大于，實(shí)際投資小于持平投資，因而為負(fù)，如果等于，則為零。因此，無論在哪里開始，它總會收斂于。0索洛模型中k的相圖（3）平衡增長路徑：當(dāng)收斂于，則勞動與知識正分別以速率與增加。資本存量K等于ALk，由于在處不變，那么，K正以速度增長，在資本與有效勞動正以速率增長的條件下，規(guī)模報(bào)酬不變的假設(shè)意味著產(chǎn)出Y正以該速率增長。人均資本（K/L）及人均產(chǎn)出(Y/L)正以速率g增長。即意味

5、著，無論其起點(diǎn)在何處，經(jīng)濟(jì)總會收斂于一個(gè)平衡增長路徑，模型的每個(gè)變量正以一個(gè)不變的速率增長，人均產(chǎn)出增長率只由技術(shù)進(jìn)步惟一地決定。四、儲蓄率變化的影響政策最有可能影響索洛模型有參數(shù)是儲蓄率。1、對產(chǎn)出的影響。的增加把實(shí)際投資線向上移動，因而上升，如圖： 用于投資的儲蓄率增加的效應(yīng)不會立即跳躍到的新值上。當(dāng)初始等于的舊值，實(shí)際投資大于持平投資，為正。因此，開始上升，且持續(xù)上升，直到達(dá)到的新值才保持不變。如下圖所示：在這里，表示儲蓄率增加的時(shí)刻，依據(jù)假設(shè)，在時(shí)刻跳躍，并且在此后保持不變。由于的跳躍使實(shí)際投資以一個(gè)正的數(shù)量大于持平投資，由0跳躍到一個(gè)嚴(yán)格的正的數(shù)量上。逐漸由的舊值上升到其新值上，并且

6、逐漸地返回到零。此外，每個(gè)工人的平均產(chǎn)出Y/L等于。當(dāng)不變時(shí)，Y/L以A的增長率（）增長。當(dāng)正在增加時(shí)，Y/L的增長起因于A在增長，也起因于在增加。因而Y/L的增長率大于。然而，當(dāng)達(dá)到新值時(shí)，只有A的增長對Y/L的增長產(chǎn)生作用。Y/L的增長率恢復(fù)到。因此，儲蓄率的永久性增加產(chǎn)生了每個(gè)工人的平均產(chǎn)出增長率的暫時(shí)性增加。此時(shí)的上升，最終會增加至新增儲蓄率被用于維持的高水平。每個(gè)工人的產(chǎn)出增長率初始為，在時(shí)刻向上跳躍，然后返回到其初始水平。因而每個(gè)工人的平均產(chǎn)出開始上升并且高于其處在平衡路徑上時(shí)的水平，并且接著逐漸返回到一個(gè)較高的路徑上，后者同第一個(gè)路徑平行。儲蓄率的變化具備水平效應(yīng)，但不具備增長效

7、應(yīng)，它改變了經(jīng)濟(jì)的平衡增長路徑，因而也改變了任何時(shí)點(diǎn)上每個(gè)工人的產(chǎn)出水平。但這并不影響平衡路徑上每個(gè)工人的平均產(chǎn)出增長率。在索洛模型中，只有技術(shù)進(jìn)步的增長率的變化具有增長效應(yīng)，所有其他變化只會產(chǎn)生水平效應(yīng)。2、對消費(fèi)的影響每單位有效勞動的消費(fèi)等于每單位有效勞動的產(chǎn)出乘以該產(chǎn)出用于消費(fèi)的份額。在時(shí)刻處呈非連續(xù)的變化每單位有效勞動的消費(fèi)初始發(fā)生向下跳躍。隨著的上升與仍處在較高水平上，消費(fèi)逐漸地上升。儲蓄對消費(fèi)的影響分析：假設(shè)表示均衡增長路徑上單位有效勞動的消費(fèi)。即。在平衡增長路徑上，實(shí)際投資等于持平投資。因此，其中，是由、與決定的。因此，可將表示為：。對上式求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得：由于的增加會提高，即，

8、那么，的增加是否在長期內(nèi)提高或降低消費(fèi)，這取決于資本邊際產(chǎn)品是否大于或小于。當(dāng)?shù)纳仙?，每單位有效勞動的投資的增加必定會等于與的乘積，以便使增加可被維持。如果是小于，那么，由增加的資本所獲得的產(chǎn)出的增加并不足以把資本存量維持在較高水平上，消費(fèi)必定下降以便保持較高的資本存量。如果是大于，那么，由必存在相當(dāng)高的產(chǎn)出去保持處在較高水平上，消費(fèi)上升。（的上升是否提高或降低消費(fèi)取決于是處在的斜率的大小，如果大于持平投資的斜率，則的上升提高消費(fèi)；小于持平投資的斜率，則的上升降低消費(fèi)，等于持平投資的斜率平行，則的的邊際變動不會對消費(fèi)產(chǎn)生影響，且在各種平衡增長路徑上，消費(fèi)處在其最大的可能水平上。此時(shí)的值就是著名

9、的資本存量的黃金律水平。3、儲蓄在長期內(nèi)對產(chǎn)出的影響（定量分析）： （1）為求出，需先求出，我們知道，是由0的條件界定的，因此，滿足：對上式求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，則得出： （2）把（2）式代入（1）式得到： （3）將（3）兩邊同乘以轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥?，另利用去替換，得到：由于是在處的產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性。用表示這個(gè)彈性，即可獲得：如果市場是競爭性的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產(chǎn)品，那么，在平衡增長路徑上的每單位有效勞動的資本獲得的總產(chǎn)出量是。因而，如果資本獲得其邊際產(chǎn)品，平衡增長路徑上分配給資本的總收入份額是或。（儲蓄率的產(chǎn)出彈性，較小意味著實(shí)際投資曲線更彎曲。結(jié)果，曲線的向上移動只會把它與持平投資線的交

10、點(diǎn)向上移出一點(diǎn)；及的變化對產(chǎn)生較小的影響）。4、收斂速度怎樣快地趨向。我們知道是由決定的，因?yàn)椤Ｒ虼?，可寫出。?dāng)趨于，趨于0。在附近，的一階泰勒展開式的近似值為：設(shè)表示，那么，上式可變?yōu)椋荷鲜奖硎?，在平衡增長路徑附近，大致同的距離成比例的速度趨向，即的增長率大致不變且等于，這意味著（微分方程解）：，其中是的初始值。要求出？，對求關(guān)于的微分，并且在處所形成的表達(dá)式取值，得到：因此，以速率收斂于其平衡增長路徑值。同樣以趨向的速率趨向，即。（假定，即，即用每個(gè)工人的平均產(chǎn)出的增長率，與每年走完其各自與的剩余距離的4%，且大致花18年的時(shí)間走完與其平衡增長路徑值的一半距離）索洛模型的核心結(jié)論是：如果在

11、市場中資本所要求的報(bào)酬是其對產(chǎn)出的貢獻(xiàn)，那么，物質(zhì)資本積累的變化并不能解釋世界范圍的經(jīng)濟(jì)增長的顯著部分或國家間的收入差別。例如，從直接方式看：如果兩個(gè)經(jīng)濟(jì)間每工人平均產(chǎn)出的差異為X倍，那么兩個(gè)經(jīng)濟(jì)間每工人平均產(chǎn)出對數(shù)的差為，由于每工人平均產(chǎn)出關(guān)于每工人平均資本的彈性是，每工人平均資本對數(shù)必須有數(shù)量為的差距。那么，每工人平均資本（）的差異為或由該式得到：，如果X10倍，那么，差異為1000倍，這是不現(xiàn)實(shí)的。從間接方式看，由于模型無法依據(jù)每工人平均資本的差異來解釋每工人平均產(chǎn)出的較大的變化，因此，考慮資本所需要的差額意味著資本報(bào)酬率的巨大差異（盧卡斯，1990）。如果市場是競爭性的，資本的報(bào)酬率等

12、于其邊際產(chǎn)品減去折舊。用柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)來說明這一點(diǎn)，即，產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性為，資本的邊際產(chǎn)品為：，即資本的邊際產(chǎn)品關(guān)于產(chǎn)出的彈性為。如果，每個(gè)工人平均產(chǎn)出的10倍的差額來源于每個(gè)工人平均資本的差異，這意味著資本的邊際產(chǎn)品的100倍的差異（現(xiàn)實(shí) 并不存在這種報(bào)酬率差異的證據(jù)）。因此，每個(gè)工人平均實(shí)物資本的差異無法說明我們所觀察到的每個(gè)工人平均產(chǎn)出差異，或者我們所觀察到的每個(gè)工人平均產(chǎn)出差異能由每個(gè)工人平均實(shí)物資本的差異來解釋。當(dāng)然，索洛模型中，將每個(gè)工人平均產(chǎn)出變化的其他潛在來源是勞動的有效性。但這變量是外生的。A是什么？是雜物袋。五、經(jīng)驗(yàn)性應(yīng)用在索洛模型中，第個(gè)工人平均產(chǎn)出的長期增長只依

13、存于技術(shù)進(jìn)步。但短期增長或者來源于技術(shù)進(jìn)步或者來源于資本積累。1、增長因素分析法其中，R（t）是索洛剩余。上式是指每個(gè)工人平均產(chǎn)出的分解為每個(gè)工人平均資本的增長的貢獻(xiàn)與剩余項(xiàng)索洛殘值，它有時(shí)被解釋為對技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)的度量。2、收斂性鮑默爾（1986）檢驗(yàn)16個(gè)工業(yè)化國家間由18701978年的收斂性模型，如下：上式中，如果b為負(fù)，則存在收斂性，否則不存在收斂性。六、環(huán)境與經(jīng)濟(jì)增長1、自然資源與土地：一種基本情形：其中，R表示生產(chǎn)中可利用的資源，T表示土地?cái)?shù)量同樣，。由于土地?cái)?shù)量是固定的，則，資源稟固定及在生產(chǎn)中被利用，資源使用必定會最終下降，則，。由于在生產(chǎn)函數(shù)中資源與土地的出現(xiàn)意味著不會收斂于某一值?？紤]到資本運(yùn)動方程：，意味著K的增長率為：，為使K的增長率不變，必定不變，那么，Y與K的增長率必定相等。對兩邊取對數(shù)，得到：給上式兩邊求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，得到：如果經(jīng)濟(jì)處在一個(gè)平衡路徑上，與一定相等，代入上式得：在平衡增長路徑上每個(gè)工人平均產(chǎn)出增長率為：上式表明，平衡增長路徑