插值擬合方法

1、第第4 4講講 數(shù)據(jù)的插值擬合法數(shù)據(jù)的插值擬合法4.1 數(shù)據(jù)的擬合方法數(shù)據(jù)的擬合方法4.2 數(shù)據(jù)的插值方法數(shù)據(jù)的插值方法4.1 數(shù)據(jù)的擬合方法數(shù)據(jù)的擬合方法已知已知n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi, yi)，i=1,2,n，xi互不相互不相同，如何尋求函數(shù)同，如何尋求函數(shù) y=f(x) ，使，使f(x)在某種準(zhǔn)則下在某種準(zhǔn)則下與這與這n個(gè)點(diǎn)最接近？個(gè)點(diǎn)最接近？ 擬合模型通過(guò)尋找簡(jiǎn)單的因果變量之間的數(shù)量關(guān)擬合模型通過(guò)尋找簡(jiǎn)單的因果變量之間的數(shù)量關(guān)系，對(duì)未知的情形作出預(yù)測(cè)與預(yù)報(bào)系，對(duì)未知的情形作出預(yù)測(cè)與預(yù)報(bào).Remark ：不必要求近似函數(shù)的曲線或曲面通過(guò)所有的不必要求近似函數(shù)的曲線或曲面通過(guò)所有的數(shù)據(jù)

2、點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn).一、一、擬合原理擬合原理問(wèn)問(wèn)題題二、擬合模型的分類與方法二、擬合模型的分類與方法1. 直線擬合：直線擬合：用用一次函數(shù)或稱線性函數(shù)一次函數(shù)或稱線性函數(shù)擬合數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù).2. 曲線擬合：曲線擬合：若直線擬合效果不佳，可提高擬合精度，若直線擬合效果不佳，可提高擬合精度，用曲線擬合數(shù)據(jù)用曲線擬合數(shù)據(jù). 常用的是常用的是二次函數(shù)二次函數(shù)、三次函數(shù)三次函數(shù)等高等高次多項(xiàng)式，有時(shí)也會(huì)用到次多項(xiàng)式，有時(shí)也會(huì)用到指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、三三角函數(shù)角函數(shù)等等.3. 觀察數(shù)據(jù)修勻：觀察數(shù)據(jù)修勻：根據(jù)數(shù)據(jù)分布的總趨勢(shì)根據(jù)數(shù)據(jù)分布的總趨勢(shì)去剔除觀察數(shù)去剔除觀察數(shù)據(jù)中的偶然誤差據(jù)中的偶然誤差，即數(shù)

3、據(jù)修勻（或稱數(shù)據(jù)光滑）問(wèn)，即數(shù)據(jù)修勻（或稱數(shù)據(jù)光滑）問(wèn)題題.4. 分段擬合：分段擬合：在在不同段不同段上用上用不同的低次多項(xiàng)式不同的低次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合進(jìn)行擬合.選擇何種曲線擬合最好呢？選擇何種曲線擬合最好呢？ 首先可在坐標(biāo)軸上畫(huà)出數(shù)據(jù)的首先可在坐標(biāo)軸上畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖，通過(guò)觀察選擇，通過(guò)觀察選擇幾種合適的曲線分別擬合，通過(guò)比較，幾種合適的曲線分別擬合，通過(guò)比較，哪條曲線的哪條曲線的最小二最小二乘指標(biāo)乘指標(biāo)J 最小即為最好的擬合曲線最小即為最好的擬合曲線.2211 ( )nniiiiiJf xy表示第表示第i個(gè)點(diǎn)的擬個(gè)點(diǎn)的擬合值與實(shí)際值的絕合值與實(shí)際值的絕對(duì)誤差對(duì)誤差第第i個(gè)點(diǎn)的個(gè)點(diǎn)的擬合

4、值擬合值第第i個(gè)點(diǎn)的個(gè)點(diǎn)的實(shí)際值實(shí)際值一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)所測(cè)數(shù)據(jù)均為抽樣數(shù)據(jù)假設(shè)所測(cè)數(shù)據(jù)均為抽樣數(shù)據(jù).二、模型的分析與建立二、模型的分析與建立 先畫(huà)出散點(diǎn)圖，見(jiàn)下圖先畫(huà)出散點(diǎn)圖，見(jiàn)下圖.問(wèn)題一問(wèn)題一 【溫度與電阻的關(guān)系模型溫度與電阻的關(guān)系模型】有一個(gè)對(duì)溫度敏感的有一個(gè)對(duì)溫度敏感的電阻，現(xiàn)測(cè)得一組溫度電阻，現(xiàn)測(cè)得一組溫度t與電阻與電阻R的數(shù)據(jù)。見(jiàn)表的數(shù)據(jù)。見(jiàn)表9.1t20.532.751.07395.7R7658268739421032 試給出溫度與電阻間的函數(shù)關(guān)系，并計(jì)算溫度為試給出溫度與電阻間的函數(shù)關(guān)系，并計(jì)算溫度為60度度時(shí)的電阻值時(shí)的電阻值表表 9.1t=20.5 32.7

5、51 73 95.7;R=765 826 873 942 1032;plot(t,R,*)xlabel(t)ylabel(R)203040506070809010075080085090095010001050tR 觀察上圖不難發(fā)現(xiàn)：散點(diǎn)基本上在一條直線上，因觀察上圖不難發(fā)現(xiàn)：散點(diǎn)基本上在一條直線上，因此可假設(shè)電阻與溫度滿足此可假設(shè)電阻與溫度滿足一次函數(shù)（或稱線性函數(shù)）一次函數(shù)（或稱線性函數(shù)）. 設(shè)擬合函數(shù)為設(shè)擬合函數(shù)為 y=a1+a2x12yaa x120.5132.7151173195.7A1121112212221331233244412455512511111TTyaa xyxyyaa

6、 xxayyaa xxAxbA AxA baxyyaa xxyyaa x12765826,8739421032axbat=20.5 32.7 51 73 95.7;R=765 826 873 942 1032;A=ones(5,1),t;b=R;a1a2=Aba1a2 = 702.0968 3.3987三、模型求解三、模型求解 可用可用Matlab計(jì)算計(jì)算.解法一：使用解法一：使用 regress() 函數(shù)函數(shù)t=20.5 32.7 51 73 95.7;R=765 826 873 942 1032;x=ones(5,1),t;y=R;b=regress(y,x,0.05)b = 702.09

7、68 3.3987解法二：使用解法二：使用 ployfit() 函數(shù)函數(shù) cleart=20.5 32.7 51 73 95.7;R=765 826 873 942 1032;x=t;y=R; p=polyfit(x,y,1)p = 3.3987 702.0968即即a1=702.0968, a2=3.3987，因此擬合的函數(shù)為，因此擬合的函數(shù)為 y=702.0968+3.3987x將將x=60代入計(jì)算得代入計(jì)算得y=906203040506070809010075080085090095010001050tR shijinihecleart=20.5 32.7 51 73 95.7;R=76

8、5 826 873 942 1032;plot(t,R,*)xlabel(t);ylabel(R)hold ont=20:0.1:100;plot(t,702.0968+3.3987.*t)實(shí)際值與擬合圖實(shí)際值與擬合圖 regress() 函數(shù)主要用于函數(shù)主要用于線性線性擬合，在擬合時(shí)進(jìn)行顯著性擬合，在擬合時(shí)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，故稱為回歸函數(shù)檢驗(yàn)，故稱為回歸函數(shù). Polyfit() 函數(shù)主要是利用函數(shù)主要是利用多項(xiàng)式多項(xiàng)式擬合擬合. 它可以是線性或非它可以是線性或非線性線性. Remark: polyfit(x, y, m)表示用表示用m 次多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)次多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)x, y. regres

9、s() 函數(shù)與函數(shù)與polyfit() 函數(shù)的區(qū)別函數(shù)的區(qū)別問(wèn)題問(wèn)題2 【農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ娃r(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀吭谘芯哭r(nóng)業(yè)生產(chǎn)的試驗(yàn)中，在研究農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的試驗(yàn)中，為分析某地區(qū)土豆產(chǎn)量與化肥的關(guān)系，得到了每公頃地為分析某地區(qū)土豆產(chǎn)量與化肥的關(guān)系，得到了每公頃地的氮肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，見(jiàn)圖的氮肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，見(jiàn)圖9.2氮肥量氮肥量(kg)03467101135202259336404471土豆產(chǎn)土豆產(chǎn)量量(kg)15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75請(qǐng)根據(jù)表請(qǐng)根據(jù)表9.2的數(shù)據(jù)，給出土豆產(chǎn)量與氮肥

10、施肥量之間的關(guān)系的數(shù)據(jù)，給出土豆產(chǎn)量與氮肥施肥量之間的關(guān)系表表9.2一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為抽樣數(shù)據(jù)假設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為抽樣數(shù)據(jù). 假設(shè)其他化肥用量不變假設(shè)其他化肥用量不變.二、模型分析與建立二、模型分析與建立 先用先用Matlab畫(huà)出散點(diǎn)圖畫(huà)出散點(diǎn)圖. 05010015020025030035040045050015202530354045x(dan fei liang)y(tu dou chan liang)clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15

11、43.46 40.83 30.75;plot(x,y,+)xlabel(x(dan fei liang)ylabel(y(tu dou chan liang)可以看出散點(diǎn)圖呈二次曲線圖形，可取如下擬合函數(shù)可以看出散點(diǎn)圖呈二次曲線圖形，可取如下擬合函數(shù)其中其中x表示氮肥量，表示氮肥量，y表示土豆產(chǎn)量。表示土豆產(chǎn)量。a,b,c為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。2yaxbx c三、模型求解三、模型求解abc = -0.0003 0.1971 14.741620.00030.197114.7416yxxclear x=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18 21.

12、36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;abc=polyfit(x,y,2)x1=0:471;y1=polyval(abc,x1);plot(x,y,*,x1,y1)xlabel(x(dan fei liang)ylabel(y(tu dou chan liang)0501001502002503003504004505001015202530354045x(dan fei liang)y(tu dou chan liang)問(wèn)題問(wèn)題3 【血藥濃度模型血藥濃度模型】通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得一次性快速靜脈通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得一次性快速靜脈注射注射300m

13、g藥物后的血藥濃度數(shù)據(jù)，見(jiàn)表藥物后的血藥濃度數(shù)據(jù)，見(jiàn)表9.3t(h)0.250.511.523468y(ug/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.899.327.455.243.01 求血藥深度隨時(shí)間的變化規(guī)律求血藥深度隨時(shí)間的變化規(guī)律y(t)表表 9.3一、模型假設(shè)一、模型假設(shè)1. 假設(shè)假設(shè) t=0 時(shí)，時(shí)，y=0.2. 假設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為假設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為抽樣數(shù)據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，能反映血藥濃度與時(shí)間，能反映血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系的關(guān)系二、模型分析與建立二、模型分析與建立 利用利用Matlab畫(huà)出散點(diǎn)圖畫(huà)出散點(diǎn)圖.0123456782468101214161820t(shi jia

14、n)y(nong du) cleart=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;y=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;plot(t,y,o)xlabel(t(shi jian)ylabel(y(nong du)由圖可見(jiàn)，散點(diǎn)圖大致呈由圖可見(jiàn)，散點(diǎn)圖大致呈負(fù)指數(shù)函數(shù)負(fù)指數(shù)函數(shù)形態(tài)，可令形態(tài)，可令 其中其中a, b0 為待定系數(shù)為待定系數(shù).btya e三、模型求解三、模型求解解法一：將其線性化處理解法一：將其線性化處理. 將等式將等式 兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得令令 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)閎tya elnln.ya

15、bt12ln,ln,yYabbb 12.Ybb t用用Matlab求解如下求解如下: cleart=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;y=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;Y=log(y);b=polyfit(t,Y,1)b = -0.2347 2.99430.234719.9709.tYe12.994319.9709,0.2347baeeb即即 b1=2.9943 b2=-0.2347則血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系為則血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系為01234567892468101214161820ty cleart=0.25

16、 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;y=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;Y=log(y);b=polyfit(t,Y,1);a=exp(b(2);b=-b(1);plot(t,y,*);hold ont=0:0.01:9;plot(t,a.*exp(-b.*t),r)xlabel(t)ylabel(y)解法解法2 使用非線性擬合函數(shù)使用非線性擬合函數(shù)nlinfit( ). 首先建立首先建立Fun7_1.m文件如下：文件如下：function y=Fun7_1(a,t)y=a(1)*exp(-a(2)*t);不妨取不妨取a

17、=20, 由由t=1時(shí)，時(shí)，y=15.36算出算出b=0.264取取 a0=20 0.264;用用Matlab求解如下求解如下 cleart=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;y=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;a0=20,0.264;a=nlinfit(t,y,fun7_1,a0)a =20.2413 0.24200.24220.2413.tYe0123456789246810121416182022ty shijijiefa2jiefa1t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;y=19.21

18、18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;plot(t,y,*);hold ona0=20,0.264;a=nlinfit(t,y,fun7_1,a0);t=0:0.01:9;plot(t,a(1).*exp(-a(2).*t)hold onplot(t,19.9714.*exp(-0.2347.*t),r)xlabel(t);ylabel(y)nlinfit函數(shù)的用法函數(shù)的用法 nlinfit函數(shù)采用的迭代法，其中函數(shù)采用的迭代法，其中a0為為迭代初值迭代初值. 若所給初值離最優(yōu)解比較近，則迭代求出該最優(yōu)解若所給初值離最優(yōu)解比較近，則迭代求出該最

19、優(yōu)解的概率就很高的概率就很高. 如何如何估計(jì)初值估計(jì)初值，暫無(wú)確切方法，暫無(wú)確切方法. 可以在得到解后可以在得到解后畫(huà)出函數(shù)圖形，看看實(shí)驗(yàn)點(diǎn)是否都在曲線附近畫(huà)出函數(shù)圖形，看看實(shí)驗(yàn)點(diǎn)是否都在曲線附近.若相若相差太大，可以考慮重新給出初值重新計(jì)算差太大，可以考慮重新給出初值重新計(jì)算.問(wèn)題問(wèn)題4一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)氯氣與生產(chǎn)時(shí)間之間滿足假設(shè)氯氣與生產(chǎn)時(shí)間之間滿足其中其中a, b為待定系數(shù)為待定系數(shù).二、模型分析與建立二、模型分析與建立 此問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是確定待定系數(shù)此問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是確定待定系數(shù)a, b的值的值.三、模型求解三、模型求解 首先定義非線性函數(shù)首先定義非線性函數(shù)fun7_2.m文件：文

20、件：8(0.49),b xyaa efunction y=fun7_2(beta0,x)a=beta0(1);b=beta0(2);y=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8);然后在命令窗口中輸入然后在命令窗口中輸入clearx=8 8 10 10 10 10 12 12 12 12 14 14 14 16 16 16 18 18 20 20 20 20 22 22 24 24 24 26 26 26 28 28 30 30 30 32 32 34 36 36 38 38 40 42;y=0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43

21、 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43 0.43 0.46 0.45 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.4 0.42 0.4 0.4 0.41 0.4 0.41 0.41 0.4 0.4 0.4 0.38 0.41 0.4 0.4 0.41 0.38 0.4 0.4 0.39 0.39;beta0=0.30 0.20;ab=nlinfit(x,y,fun7_2,beta0)ab = 0.3904 0.1028即即a=0.3904, b=0.1028.所以模型函數(shù)為所以模型函數(shù)為 0.1028(8)0.39040.0996.xye作業(yè)：用作業(yè)：用Matlab畫(huà)出相

22、關(guān)畫(huà)出相關(guān)圖形圖形.問(wèn)題問(wèn)題5一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)中國(guó)人口的變化滿足一定規(guī)律假設(shè)中國(guó)人口的變化滿足一定規(guī)律.二、模型分析、建立與求解二、模型分析、建立與求解 首先畫(huà)出散點(diǎn)圖首先畫(huà)出散點(diǎn)圖.1945195019551960196519701975198019851990199556789101112x(nian fen)y(ren kou shu)clearx=1949:5:1994;y=5.4 6 6.7 7 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8;plot(x,y,*)xlabel(x(nian fen)ylabel(y(ren kou shu)三、模型求解三、模型求

23、解模型一：模型一：用用線性函數(shù)線性函數(shù)擬合擬合. 設(shè)我國(guó)人口數(shù)量滿足以下模型設(shè)我國(guó)人口數(shù)量滿足以下模型y=a+bx 其中其中a, b為待定系數(shù)為待定系數(shù). 通過(guò)計(jì)算得通過(guò)計(jì)算得y=-283.232+0.148x模型二：模型二：用用指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)擬合擬合. 設(shè)我國(guó)人口數(shù)量滿足以下模型設(shè)我國(guó)人口數(shù)量滿足以下模型y=aebx 其中其中a, b為待定參數(shù)為待定參數(shù). 模型兩邊取對(duì)數(shù)得模型兩邊取對(duì)數(shù)得lny=lna+bxy=4.1444*10-15e0.0179xx=1949:5:1994;y=5.4 6 6.7 7 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8;a=polyfit(x,y,1

24、);x1=1949:0.1:1994;y1=a(2)+a(1)*x1;b=polyfit(x,log(y),1);y2=exp(b(2)*exp(b(1)*x1);plot(x,y,*)hold onplot(x1,y1)hold onplot(x1,y2,r)xlabel(x(nian fen)ylabel(y(ren kou shu)194519501955196019651970197519801985199019955678910111213x(nian fen)y(ren kou shu) shijimodel1model2用兩個(gè)模型分別計(jì)算相應(yīng)年度的人口數(shù)及其誤差見(jiàn)下表用兩個(gè)模型分

25、別計(jì)算相應(yīng)年度的人口數(shù)及其誤差見(jiàn)下表.分別計(jì)算兩個(gè)模型的最小二乘指標(biāo)得分別計(jì)算兩個(gè)模型的最小二乘指標(biāo)得 從而線性模型更適合中國(guó)人口的增長(zhǎng)從而線性模型更適合中國(guó)人口的增長(zhǎng).120.29150.7437.JJ4.2 數(shù)據(jù)的插值方法數(shù)據(jù)的插值方法若知道函數(shù)若知道函數(shù)y=f(x)在在n個(gè)互異的點(diǎn)個(gè)互異的點(diǎn)x1, x2, , xn的函的函數(shù)值數(shù)值 y1, y2, , yn . 如何估計(jì)此函數(shù)在另一點(diǎn)如何估計(jì)此函數(shù)在另一點(diǎn)a 的的函數(shù)值？函數(shù)值？一、一、插值原理插值原理問(wèn)問(wèn)題題 考慮構(gòu)造一個(gè)過(guò)考慮構(gòu)造一個(gè)過(guò)x1, x2, , xn的次數(shù)不超過(guò)的次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)的多項(xiàng)式式 y=Ln(x)，使其滿足，使其滿

26、足 Ln(xk)=yk, k=1,2,n 然后用然后用Ln(a) 作為準(zhǔn)確值作為準(zhǔn)確值L(a)的近似值的近似值. 這種方法叫作這種方法叫作插值插值. Remark: 插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過(guò)所有的已知點(diǎn)插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過(guò)所有的已知點(diǎn). 插值方法一般有：拉格朗日（插值方法一般有：拉格朗日（Lagrange）插值、分）插值、分段線性插值、埃爾米特（段線性插值、埃爾米特（Hermite）插值、樣條插值以）插值、樣條插值以及分形插值等及分形插值等.Matlab的插值函數(shù)分為的插值函數(shù)分為內(nèi)部插值與外部插值內(nèi)部插值與外部插值.內(nèi)部插值：內(nèi)部插值：要求已知點(diǎn)要求已知點(diǎn)x是單調(diào)的，且被插值點(diǎn)是單調(diào)的，

27、且被插值點(diǎn)xi不能超不能超過(guò)過(guò)x的范圍的范圍. 如如interp1( )、interp2( )、interpn( )等等. 而而griddata( )既可以計(jì)算既可以計(jì)算內(nèi)部插值內(nèi)部插值，也可以計(jì)算外，也可以計(jì)算外部插值部插值.二、二、插值方法插值方法 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)擬合擬合要求得到一個(gè)具體的要求得到一個(gè)具體的近似函數(shù)表達(dá)式近似函數(shù)表達(dá)式，而，而數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)插值插值不一定得到近似函數(shù)的表達(dá)式，僅通過(guò)插不一定得到近似函數(shù)的表達(dá)式，僅通過(guò)插值方法值方法找到未知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的近似函數(shù)值找到未知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的近似函數(shù)值. 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)擬合擬合得到的近似函數(shù)表達(dá)式得到的近似函數(shù)表達(dá)式不一定要經(jīng)過(guò)所有不一定要經(jīng)過(guò)所有已知點(diǎn)已知點(diǎn)，

28、而數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)插值插值要求近似函數(shù)要求近似函數(shù)經(jīng)過(guò)已知的所有經(jīng)過(guò)已知的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn).數(shù)據(jù)擬合與數(shù)據(jù)插值的區(qū)別數(shù)據(jù)擬合與數(shù)據(jù)插值的區(qū)別一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)飛機(jī)機(jī)翼截面下假設(shè)飛機(jī)機(jī)翼截面下輪廓的變化是輪廓的變化是連續(xù)連續(xù)的的.二、模型分析與建立二、模型分析與建立 畫(huà)出散點(diǎn)圖畫(huà)出散點(diǎn)圖05101500.511.522.5xy問(wèn)題問(wèn)題7從散點(diǎn)圖很難觀察出函數(shù)形式從散點(diǎn)圖很難觀察出函數(shù)形式, 用插值的方法用插值的方法. 由于只由于只有有一個(gè)變量一個(gè)變量且是且是單調(diào)單調(diào)的，可用的，可用一元插值函數(shù)一元插值函數(shù)interp1()進(jìn)進(jìn)行計(jì)算行計(jì)算.三、模型求解三、模型求解用用Matlab求解如下

29、：求解如下：x1=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15;y1=0 1.2 1.7 2 2.1 2 1.8 1.2 1 1.6;x=0:0.1:15;y=interp1(x1,y1,x,spline)plot(x1,y1,.,x,y,r)gridtitle(spline)xlabel(x)ylabel(y)插值后的結(jié)果如下圖顯示插值后的結(jié)果如下圖顯示.05101500.511.522.5splinexy一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)電壓的變化是連續(xù)的假設(shè)電壓的變化是連續(xù)的.二、模型分析與建立二、模型分析與建立 畫(huà)出散點(diǎn)圖畫(huà)出散點(diǎn)圖.問(wèn)題問(wèn)題8 由散點(diǎn)圖可觀察出電容器兩端的電壓隨充電時(shí)

30、由散點(diǎn)圖可觀察出電容器兩端的電壓隨充電時(shí)間的關(guān)系大致呈間的關(guān)系大致呈對(duì)數(shù)關(guān)系對(duì)數(shù)關(guān)系，本題不要求給出函數(shù)形，本題不要求給出函數(shù)形式，因此同樣使用插值的方法式，因此同樣使用插值的方法.02468101266.577.588.599.51010.5xy三、模型求解三、模型求解用用Matlab求解如下：求解如下：0246810124567891011splinexy插值后結(jié)果如圖所示插值后結(jié)果如圖所示.function wenti8_2x1=1 2 3 4 6.5 9 12;y1=6.2 7.3 8.2 9 9.6 10.1 10.4;x=0:0.1:12;y=interp1(x1,y1,x,spl

31、ine)plot(x1,y1,.,x,y,r)gridtitle(spline)xlabel(x)ylabel(y)Remark: 一元插值函數(shù)一元插值函數(shù)interp1的基本調(diào)用格式為的基本調(diào)用格式為interp1(x, y, cx, method). 其中其中x, y分別表示已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別表示已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo). x必須必須單調(diào)，單調(diào)，cx為需要插值的橫坐標(biāo)為需要插值的橫坐標(biāo)，method為可選參數(shù)，為可選參數(shù)，可為以下四個(gè)值之一：可為以下四個(gè)值之一： 1）nearest最近鄰點(diǎn)插值最近鄰點(diǎn)插值 2）linear線性插值（可缺?。┚€性插值（可缺?。?3）spline三次樣條

32、插值三次樣條插值 4）cubic三次插值三次插值一、模型假設(shè)一、模型假設(shè) 假設(shè)溫度的變化是連續(xù)的假設(shè)溫度的變化是連續(xù)的.二、模型分析與建立二、模型分析與建立 首先畫(huà)出散點(diǎn)圖首先畫(huà)出散點(diǎn)圖.問(wèn)題問(wèn)題9從散點(diǎn)圖難以觀察出函數(shù)形式從散點(diǎn)圖難以觀察出函數(shù)形式, 下面用插值的方法下面用插值的方法.0246810125101520253035xy三、模型求解三、模型求解用用Matlab求解如下求解如下.x1=1:1:12;y1=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;x=3.2 6.5 7.1 11.7;y=interp1(x1,y1,x)plot(x1,y1,*,x,y,O)x

33、label(x)ylabel(y)y = 10.2000 30.0000 30.9000 24.90000246810125101520253035xy運(yùn)行結(jié)果如圖所示運(yùn)行結(jié)果如圖所示.問(wèn)題問(wèn)題10一、模型假設(shè)一、模型假設(shè)1.假設(shè)河床的深度是連續(xù)變化的假設(shè)河床的深度是連續(xù)變化的.2.假設(shè)緊靠河床鋪設(shè)電纜，即電纜長(zhǎng)度等于河床長(zhǎng)度假設(shè)緊靠河床鋪設(shè)電纜，即電纜長(zhǎng)度等于河床長(zhǎng)度.二、模型分析與建立二、模型分析與建立畫(huà)出河床觀測(cè)的散點(diǎn)圖畫(huà)出河床觀測(cè)的散點(diǎn)圖x=5:5:100;y=2.41 2.96 2.15 2.65 3.12 4.23 5.12 6.21 5.68 .4.22 3.91 3.26 2.

34、85 2.35 3.02 3.63 4.12 3.46 2.08 0;y1=10-y;plot(x,y1,*)axis(0 100 0 10)xlabel(x)ylabel(y)grid on 三、模型求解三、模型求解 利用利用分段線性插值分段線性插值，并可以在此基礎(chǔ)上利用，并可以在此基礎(chǔ)上利用梯形梯形法法求積分命令求積分命令trapz計(jì)算河床面積計(jì)算河床面積. 同時(shí)利用每段連續(xù)同時(shí)利用每段連續(xù)線長(zhǎng)度之和來(lái)近似河床曲線長(zhǎng)度線長(zhǎng)度之和來(lái)近似河床曲線長(zhǎng)度.0102030405060708090100012345678910 xyx=5:5:100;y=2.41 2.96 2.15 2.65 3.12 4.23 5.12 6.21 5.68 .4.22 3.91 3.26 2.85 2.35 3.02 3.63