數(shù)學(xué)建模課件數(shù)模講座三

1、第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.1 存貯模型存貯模型3.2 森林救火森林救火3.3 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題 靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜靜 態(tài)態(tài) 優(yōu)優(yōu) 化化 模模 型型3.1 存貯模型存貯模型問(wèn)問(wèn) 題題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該

2、廠備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)元，貯存費(fèi)每日每件每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要要 求求不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。問(wèn)題分析

3、與思考問(wèn)題分析與思考 每天生產(chǎn)一次，每次每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。元。日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元。元。 10天生產(chǎn)一次，每次天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元。元。 50天生產(chǎn)一次，每次天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)4900 +100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)127500元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用255

4、0元元1010天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ?每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問(wèn)題分析與思考問(wèn)題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的

5、需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。使每天總費(fèi)用的平均值最小。4. 為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時(shí)間的函

6、數(shù)貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用TQccC221每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問(wèn)題連續(xù)化離散問(wèn)題連續(xù)化AcdttqcT202)(一周期貯存費(fèi)為一周期貯存費(fèi)為A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型應(yīng)用模型應(yīng)用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天),

7、 Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答問(wèn)題回答問(wèn)題 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQEOQ公式）公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件貯存費(fèi)每天每件貯存費(fèi) c2 ，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，零時(shí)，Q件立即到貨。件立即到貨。允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺

8、貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件件立即生產(chǎn)出來(lái)立即生產(chǎn)出來(lái)(或立即到貨或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi)每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期貯存費(fèi)貯存費(fèi)BcdttqcTT331)(一周期一周期缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值平均值（目標(biāo)函數(shù)）（目標(biāo)函數(shù)）213121)(2121T

9、TrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q212rccT 212crcrTQ不允不允許缺許缺貨模貨模型型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型0qQrT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足注意：缺貨需補(bǔ)足Q每周期初的存貯每周期初的存貯量量R每

10、周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）（或訂貨量）332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR3.2 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題問(wèn)題分析分析問(wèn)題問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林

11、燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小NoImage 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題問(wèn)題分析分析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻畫出時(shí)刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)

12、而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0tt1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速火勢(shì)蔓延速度）度） 2）t1tt2, 降為降為-x (為隊(duì)員的平均滅火速為隊(duì)員的平均滅火速度）度） 4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1 1）的解釋的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與

13、與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延

14、的最少隊(duì)員數(shù)數(shù)dtdBb0t1t2 tx其中其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知為已知參數(shù)參數(shù)模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估可估計(jì)計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻, 火勢(shì)蔓延速度火勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么為什么? ? ,可設(shè)置一系列數(shù)可設(shè)置一系列數(shù)值值由模型決定隊(duì)員數(shù)量由模型決定隊(duì)員數(shù)量x3.3 最優(yōu)

15、價(jià)格最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題問(wèn)題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x2）收入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)格即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本4）銷量）銷量 x 依賴于價(jià)格依賴于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模與求解與求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利潤(rùn)利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0* ppdpdU使利潤(rùn)使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿滿足足*ppppdpdCdpdI最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到最大利潤(rùn)在邊際收