理論力學(xué)-周衍柏-第三版-第二章習(xí)題答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章習(xí)題解答2.1 解 均勻扇形薄片，取對(duì)稱(chēng)軸為軸，由對(duì)稱(chēng)性可知質(zhì)心一定在軸上。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有  2.2 解 建立如圖2.2.1圖所示的球坐標(biāo)系把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。設(shè)均勻球體的密度為。則 由對(duì)稱(chēng)性可知，此球帽的質(zhì)心一定在軸上。代入質(zhì)心計(jì)算公式，即  2.3 解 建立如題2.3.1圖所示的直角坐標(biāo)，原來(lái)與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)

2、程中，在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的（因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運(yùn)動(dòng)：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地，水平距離 第二次運(yùn)動(dòng):在最高點(diǎn)人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動(dòng)量守恒，有可知道 水平距離跳的距離增加了=2.4 2.4 解 建立如圖2.4.1圖所示的水平坐標(biāo)。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有 對(duì)分析；因?yàn)?在劈上下滑，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。如圖2.4.2圖所示。所以相對(duì)下滑。由牛頓第二定律有 所以水平方向的絕對(duì)加速度由可知 聯(lián)立，得 把代入

3、，得 負(fù)號(hào)表示方向與軸正方向相反。求劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)反作用力。用隔離法。單獨(dú)考察質(zhì)點(diǎn)的受力情況。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)垂直斜劈運(yùn)動(dòng)的加速度為0，所以把代入得， 水平面對(duì)劈的反作用力。仍用隔離法。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o(wú)加速度，所以 于是   2.5 2.5解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。如圖2.5.1圖所示薄圓盤(pán)，任取一微質(zhì)量元， 所以圓盤(pán)繞此軸的動(dòng)量矩=  2.6 解炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個(gè)部分，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻模⒁淮怂俣确謩e作平拋運(yùn)動(dòng)。由前面

4、的知識(shí)可知，同一高處平拋運(yùn)動(dòng)的物體落地時(shí)的水平距離之差主要由初速度之差決定。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無(wú)外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒： 以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過(guò)程中能量守恒： 聯(lián)立解之，得所以落地時(shí)水平距離之差= 2.7 解 建立如題2.7.1圖所示的直角坐標(biāo)系。 當(dāng)沿半圓球下滑時(shí)，將以向所示正方向的反向運(yùn)動(dòng)。以、組成系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，即相對(duì)于地固連的坐標(biāo)系的絕對(duì)速度為相對(duì)的運(yùn)動(dòng)速度 故水平方向豎直方向 在下滑過(guò)程中，只有保守力（重力）做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：（以地面為重力零勢(shì)能面） =把代入 =把代入  2.8

5、 2.8 證 以連線為軸建立如題2.8.1圖所示的坐標(biāo)。 設(shè)初始速度為與軸正向夾角碰撞后，設(shè)、運(yùn)動(dòng)如題2.8.2圖所示。、速度分別為、，與軸正向夾角分別為、。以、為研究對(duì)象，系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒。方向：垂直軸方向有：可知整個(gè)碰撞過(guò)程只有系統(tǒng)內(nèi)力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：由得 即兩球碰撞后速度相互垂直，結(jié)論得證。  2.9 解 類(lèi)似的碰撞問(wèn)題，我們一般要抓住動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理得運(yùn)用，依次來(lái)分析條件求出未知量。設(shè)相同小球?yàn)?，初始時(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，球的速度以碰撞后球速度所在的方向?yàn)檩S正向建立如題2.9.1圖所示的坐標(biāo)(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡(jiǎn)化表

6、達(dá)式)。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。方向上有： 方向上有： 又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù) 即=用- 用代入得 求在各種值下角的最大值，即為求極致的問(wèn)題。我們有得即=0所以 即由因?yàn)? 故=所以  2.10 以為研究對(duì)象。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，隨即在不可伸長(zhǎng)的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。以的連線為軸建立如題2.10.1圖所示。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒：隨即在的約束下方向變?yōu)檠剌S的正向，速度變?yōu)楣?方向上有故恢復(fù)系數(shù)定義有：= 即 聯(lián)立得 2.11 解 如圖所示， 有兩質(zhì)點(diǎn)，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開(kāi)始時(shí)靜止。現(xiàn)在有一沖量作用與，則作用后，得到

7、速度，仍靜止不動(dòng)：。它們的質(zhì)心位于原點(diǎn)，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因?yàn)橄到y(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)心系是慣性系，且無(wú)外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)時(shí)間后，如圖所示：于是在系中的速度的速度：因此  2.12 解 對(duì)于質(zhì)心系的問(wèn)題，我們一般要求求出相對(duì)固定參考點(diǎn)的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，由此去計(jì)算物體相對(duì)或絕對(duì)物理量及其間的關(guān)系。由題可知，碰前速度為，速度。碰后速度，分別設(shè)為。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒。有恢復(fù)系數(shù)聯(lián)立得再由質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對(duì)固定點(diǎn)位矢，分

8、別為 ，對(duì)同一固定點(diǎn)的位矢所以（質(zhì)點(diǎn)組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。）設(shè)兩球碰撞后相對(duì)質(zhì)心的速度，。（負(fù)號(hào)表示與相反）同理，碰撞前兩球相對(duì)質(zhì)心的速度（負(fù)號(hào)表示方向與相反）所以開(kāi)始時(shí)兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能：=2.13 2.13 用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過(guò)程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。有  2.14 此類(lèi)題為變質(zhì)量問(wèn)題，我們一般研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系以豎直向上我軸正向建立如題2.14.1圖所示坐標(biāo)。繩索離地面還剩長(zhǎng)時(shí)受重力則所以 求地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對(duì)繩索的支持力即可，它們是一對(duì)作用力與反作用力。這

9、是我們以快要落地的一小微元作為研究對(duì)象。它的速度由變?yōu)?。用動(dòng)量守恒，有=又因?yàn)?  2.15 解 這是一道變質(zhì)量的問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，我們由書(shū)上p.137的（2.7.2）式來(lái)分析。以機(jī)槍后退方向作為軸爭(zhēng)先，建立如題2.15.1圖的坐標(biāo)。豎直方向上支持力與重力是一對(duì)平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力單位時(shí)間質(zhì)量的變化由式所以  2.16解 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問(wèn)題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書(shū)上p.138的（2.7.4）式分析雨滴的質(zhì)量變化是一類(lèi)比較特殊的變質(zhì)量問(wèn)題。我們知道處理這類(lèi)問(wèn)題常常理想化模型的幾何形狀。對(duì)于雨滴我們常看

10、成球形，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即為常數(shù)。我們對(duì)式兩邊求導(dǎo)由于=，所以對(duì)式兩邊積分以雨滴下降方向?yàn)檎较?，?duì)式分析 （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以  2.17 證 這是變質(zhì)量問(wèn)題中的減質(zhì)量問(wèn)題，我們?nèi)杂脮?shū)上p.137(2.7.2)式來(lái)分析。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。以向上為正方向，則火箭任一時(shí)刻的質(zhì)量噴氣速度2074是指相對(duì)火箭的速度，即。有式化簡(jiǎn) 對(duì)兩邊積分 此既火箭速度與時(shí)間的關(guān)系。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知代入可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。又當(dāng)時(shí)，=11.25而要用此火箭發(fā)射人造太陽(yáng)行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。故所攜帶燃料重量至少是空火箭重量的300倍。  2.18證 要使火箭上升，必須有發(fā)動(dòng)機(jī)推力火箭的重量，即即火箭才能上升，結(jié)論得證。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是