10 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題

1、精選文檔10 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題一、知識(shí)點(diǎn)講解與分析：1、零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn)2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得。（1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提（2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”（假設(shè)連續(xù)） 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè) 若，那么在不一定有零點(diǎn) 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一4、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系 設(shè)函數(shù)為，則的零點(diǎn)即為滿足方程的根，若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)椋捶匠痰母谧鴺?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

2、其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到。 由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳見方法技巧）二、方法與技巧：1、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但無法直接求出時(shí)，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。例如：對(duì)于方程，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點(diǎn)必在中2、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問題中的作用（1）函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性定理作用：通過代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零

3、點(diǎn)存在而無法判斷個(gè)數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價(jià)變形作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個(gè)數(shù)（3）兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時(shí)，通常進(jìn)行參變

4、分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的平衡（作圖問題詳見：1.7 函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個(gè)方面：（1）零點(diǎn)所在區(qū)間零點(diǎn)存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個(gè)數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個(gè)類型常要用到函數(shù)零點(diǎn)，方程，與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，請(qǐng)通過例題體會(huì)如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，則的取值范圍為 ()A B C D例2：設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)相

5、異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_例3：已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.例4：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B. C D例5：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A 4 B6 C8 D10例6：對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 例7：已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D0或2例8：定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)，若函

6、數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例9：已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，其中，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù) 的圖像上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 三、模擬題題目精選：1、已知是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程有個(gè)根，則的取值范圍是( )A或 B C或 D2、若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足條件：點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（與可看作同一點(diǎn)對(duì)），已知，則的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有_個(gè)3、已知

7、函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 4、已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_5、已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7、已知函數(shù)，若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_8、已知函數(shù)，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為_9、已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且 ，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10、對(duì)于函數(shù)，設(shè)，若存在使得，則稱與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 11、已知偶函數(shù)滿足對(duì)任意，均有且，