比例應(yīng)用題題庫教師

1、6-2-4比例應(yīng)用題目tMl昨教學(xué)目標(biāo)1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化;4、單位“1”變化的比例問題5、方程解比例應(yīng)用題月twi4知識點撥比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容.通過本講需要學(xué)生掌握的內(nèi)容有：一、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)1：若a:b=c:d,貝U(a+c)：(b+d)=a:b=c：d；性質(zhì)2：若a:b=c:d,貝g-c):(b-d)=a:b=c：d;性質(zhì)3:若a:b=c:d,貝+xc):(b+xd)=a:b=c：d;(x為常數(shù))性質(zhì)4：若a:b=c

2、:d,則axd=bx；c(即外項積等于內(nèi)項積)正比例：如果a+b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果axb=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比.二、主要比例轉(zhuǎn)化實例x=a0y=b；亙=9；ybxa'ab'xy'mx a xmamb（其中m#0）；x-ya-bxyabx-ya-bacx: y: z = ac: bc: bd ；y的d,則x是y的，y是x的史.bbcad、按比例分配與和差關(guān)系按比例分配例如：將x個物體按照a:b的比例分配給甲、乙兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數(shù)量與x的比分別為a:（a + b）和b:（a + b）,所以甲分配到ax個

3、，乙分配到”個.已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題例如：兩個類別A、B,元素的數(shù)量比為a:b（這里a>b）,數(shù)量差為x,那么A的元素數(shù)量為-ax，所以解題的關(guān)鍵是求出（a-b）與a或b的比值.四、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運用單位“1”。題中如果有幾個不同的單位“ 1”必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“ 1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，使數(shù)量關(guān)系簡單化，達(dá)到解決問題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，要注意以下幾點:1.題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“ 1”。2.若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位

4、“1”。3.應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法4 .題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。5 .賦值解比例問題目1MIIt例題精講模塊一、比例轉(zhuǎn)化【例1已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、內(nèi)兩數(shù)和的-,乙等于甲、內(nèi)兩數(shù)和的1,32丙等于甲、乙兩數(shù)和的5,求甲：乙：丙.7.一1一.11【解析】由甲等于乙、內(nèi)兩數(shù)和的-，得到甲等于三個數(shù)和的=-，同樣的乙等于甲、33+14內(nèi)兩數(shù)和的，=1,同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的二=9,所以2+137512一.

5、115甲：乙：丙=一L=3:4:54312【例2】已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2,那么甲的2、乙33的2倍、內(nèi)的一半這三個數(shù)的比為多少？2【解析】甲的一半、乙的2倍、內(nèi)的4這三個數(shù)的比為1:1:1,所以甲、乙、丙這三個數(shù)的3比為1=11:（尸2）#2l1gP2:1:-,化簡為4:1:3,那么甲的工、乙的2倍、丙23223的一半這三個數(shù)的比為.Zm2:（1M2）:：3JIIP-:2:-,化簡為16:12:9.,3232【鞏固】甲、乙、丙三個數(shù)，已知甲：（乙+丙）=4:3,乙：丙=2:7,求甲：乙：丙【解析】由乙：丙=2:7可得到乙：乞+丙）=2:9,丙：（乙+丙）=7:9

6、,而甲：（乙+丙）=4:3,427所以：甲:乙:丙=一：一：一=12:2:7.399【例3】如下圖所示，圓B與圓C的面積之和等于圓A面積的4,且圓A中的陰影部分面5積占圓A面積的1,圓B的陰影部分面積占圓B面積的1,圓C的陰影部分面積占圓C面積的1.求圓A、圓B、圓C的面積之比.3【解析】設(shè)A與B的共同部分的面積為xA與C的共同部分的面積為y,則根據(jù)題意有A=3(B+C)=6(x+y),x=且，y=,于是得到(B+C)=6+)453453【鞏固】【解析】例4【解析】【鞏固】【解析】5子可化簡為B=15C,所以A=（B+C）=20C.最后得到A:B:C=20:15:1.4右圖是一個園林的規(guī)劃圖，

7、其中，正方形的3是草地；圓的a是竹林；竹林比47草地多占地450平方米.問：水池占多少平方米？正方形的3是草地，那如果水池占1份，草地的面積便是3份；圓的是竹林，水47池占1份，竹林的面積是6份。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=）3份。3份的面積是450平方米，可見1份面積是450+3=150平方米），即水池面積是150平方米。某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是10:8:7,甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3:1,乙組中男、女會員的人數(shù)之比是5:3.求丙組中男、女會員人數(shù)之比.以總?cè)藬?shù)為1,則甲組男會員人數(shù)為乙組男會員為85=1108753-

8、53311一人口4十=一,女會貝為3+210510103X1087313黑，女會員為31X-103110，女會員為找=小丙組男會員為3+2（4國福；所以，丙組中男、女會員人，19數(shù)之比為:=5:9.1050一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個工程隊建設(shè)，兩個工程隊建設(shè)了相同多的一段時間后，分別剩下60%、40%的任務(wù)沒有完成，已知兩個工程隊的工作效率（建設(shè)速度）之比3:1，求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度之比.（法一）甲工程隊以3倍乙工程隊建設(shè)速度，僅完成了40%的承包任務(wù)，而乙工程隊完成了60%,所以甲工程隊承包任務(wù)的40%等于乙工程隊承包任務(wù)的60%父3=180%,所以甲工程

9、隊的承包的任務(wù)是乙工程隊承包任務(wù)的180%40%=450%,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為450%:1=9:2.（法二）兩個工程隊完成的工程任務(wù)（修建公路長度）之比等于工作效率之比，等于3:1,而他們分別完成了各自任務(wù)的40%和60%,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為（340%）:（1+60%）=9:2.【鞏固】（2008年清華附中考題）甲、乙兩個工人上班，甲比乙多走1的路程，而乙比甲5的時間少1,甲、乙的速度比是11【解析】甲走的路程是乙走的路程的6,甲用的時間是乙用的時間的衛(wèi)，所以甲的速度是510乙的速度的6+U=吱，即甲、乙的速度比是12:11.51011【例5】某團(tuán)體有1

10、00名會員，男女會員人數(shù)之比是14:11,會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、內(nèi)兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為12:13、5:3、2:1,那么丙組有多少名男會員？【解析】會員總?cè)藬?shù)100人，男女比例為14:11,則可知男、女會員人數(shù)分別為56人、44人;又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為50人，乙、丙人數(shù)之和為50人，可設(shè)丙組人數(shù)為x人，則乙組人數(shù)為（50-x）人，又已知甲組男、女會員比為12:13,則甲組男、女會員人數(shù)分別為24人、26人，又已知乙、丙兩組男、女會員比例，則可得：24+5（50-x）+2x=56,解得x=18.即丙組會員人832數(shù)為18人，又已

11、知男、女比例，可得丙組男會員人數(shù)為18M二=12人.3例6（2007年華杯賽總決賽）A、B、C三項工程的工作量之比為1:2:3,由甲、乙、內(nèi)三隊分別承擔(dān).三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，內(nèi)完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？【解析】根據(jù)題意，如果把A工程的工作量看作1,則B工程的工作量就是2,C工程的工作量就是3.設(shè)甲、乙、丙三個工程隊的工作效率分別為x、y、z.經(jīng)過k天，則：一2kx.將代入，得ky=111111（4）,3,2kx4將代入，得2kx=2jx,x=&,

12、37k將*=*代入，得y=6.代入，得z=.7k7k7k甲、乙、丙三隊的.工作效率的連比是:=4:6:3.7k7k7k【鞏固】某次數(shù)學(xué)競賽設(shè)一、二、三等獎.已知：甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等;甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為5:6;甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20%;甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的50%；甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的4.5倍.那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？【解析】由、可知甲、乙兩校獲獎總?cè)藬?shù)的比為6:5,不妨設(shè)甲校有60人獲獎，則乙校有50人獲獎.由知兩校獲二等獎的共有（60+50）

13、父20%=22人；由知甲校獲二等獎的有22子（4.5+1）父4.5=18人；由知甲校獲一等獎的有60-60父50%-18=12人，那么乙校獲一等獎的也有12人，從而所求百分?jǐn)?shù)為12-50X100%=24%.【例7】某校畢業(yè)生共有9個班，每班人數(shù)相等.已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多1.那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？【解析】如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1；由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1.一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、

14、三班總?cè)藬?shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)之和.所以，男、女生人數(shù)之比是5:4.模塊二、按比例分配與和差關(guān)系（一）量倍對應(yīng)【例8】一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到16個，而甲、乙兩班的人數(shù)比為13:11,求一共有多少個蘋果？【解析】一共有16+（13-11尸（13+11）=192個蘋果.【鞏固】小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢鴶?shù)量之比為3:4:6,三人一共藏書52本，

15、求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量.3【解析】根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人藏書總量的一、346>一6一,所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為52乂3=12本，小志擁有的346346346一，46臧書數(shù)量為52M=16本，小剛擁有的臧書數(shù)量為52M=24本.346346【鞏固】在抗洪救災(zāi)區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐18元,甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是10:7,則甲捐元，乙捐元，內(nèi)捐元.【解析】由于甲比內(nèi)多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18元，那么甲、乙所捐資的和為：18（10-7）父10=60（元），乙、丙所捐資的和為60-18=42元

16、.所以，甲捐了8042=38（元），乙捐了60-38=22（元），內(nèi)捐了38-18=20（元）.【鞏固】甲、乙兩個班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的1等于乙班種的棵數(shù)的1,45且乙班比甲班多種樹24棵，甲、乙兩個班各種樹多少棵？11【解析】甲、乙兩班種樹棵數(shù)之比為：-：-=4:5,甲班種樹棵數(shù)為：24+（5-4不4=96（棵）,54乙班種樹棵數(shù)為：2415-4戶5=120（棵）.【鞏固】有120個皮球，分給兩個班使用，一班分到的1與二班分到的相等，求兩個班32各分到多少皮球？【解析】根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比1=3:2,所以一班分到皮球120M色-=722332個，二班分到皮球120-

17、72=48個.【例9】一班和二班的人數(shù)之比是8：7,如果將一班的8名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)?:5.求原來兩班的人數(shù).【解析】原來一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的一8-二旦，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的8715-=-,調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為-：4=6:5,所以一班原來的人數(shù)為4591598+（656=48人，二班原來的人數(shù)為48+8父7=42人.【例10】幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3,中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,那么大班有女生多少名？【解析】由于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法.假設(shè)18名女生全部是大

18、班，則大班男生數(shù)：女生數(shù)=5:3=30:18,即男生應(yīng)有30人，實際上男生有32人，相差2個人；又中班男生數(shù)：女生數(shù)=2:1=6:3,以3個中班女生換3個大班女生，每換一組可增加1個男生，所以需要換2組；所以，大班女生有183父2=12（名）.【鞏固】參加植樹的同學(xué)共有720人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是3:2,六年級比四年級多80人，三個年級參加植樹的各有多少人？【解析】假設(shè)四年級和六年級人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學(xué)共有720+80=800人，四、五、六三個年級的人數(shù)比為3:2:3,知道三個量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個年級參加植樹的人數(shù).、一3.K年級：800M=300

19、人；323一一2.五年級：800M=200人；323四年級：300-80=220人.【鞏固】圓珠筆和鉛筆的價格比是4:3,20支圓珠筆和21支鉛筆共用71.5元.問圓珠筆的單價是每支多少元？【解析】設(shè)圓珠筆的價格為4,那么鉛筆的價格為3,則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為20X4+21X3=143,則單位“1”的價格為71.5+143=0.5元.所以圓珠筆的單價是O.5X4=2（元）.【例11】甲、乙兩只螞蟻同時從A點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結(jié)果在距B點2厘米的C點相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的1.2倍，求這個長方形的周長.【解析】兩只螞蟻在距B點2厘米的C點相遇，說明乙比甲一共多走了2M2=4

20、（厘米）.又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的1.2倍，相同時間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2:1=6:5,所以甲爬白路程是4.（6-5產(chǎn)5=20（厘米），乙爬的路程是20+4=24（厘米），長方形的周長為20+24=44（厘米）.【鞏固】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，甲車的速度是50千米/小時，乙車的速度是40千米/小時，當(dāng)甲車駛過A、B距離的1多50千米時與乙車相遇，3A、B兩地相距千米.【解析】在相同的時間內(nèi)，兩車行駛的路程比等于兩車的速度之比，由于兩車的速度之比等于50:40=5:4,那么A、B距離的1多50千米即是A、B距離的=,所以503459千米的距離相當(dāng)于全程的&

21、#39;-1L-,全程的距離為50個2=225（千米）.9399【例12】甲乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲、乙的速度比是5：4,相遇后，甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離A地還有10千米.問：A,B兩地相距多少千米？【解析】甲、乙原來的速度比是5：4相遇后的速度比是：5X（120%）：4X（1+20%）=4：4.8=5：6.相遇時，甲、乙分別走了全程的5/9和4/9設(shè)全程x千米，剩下的部分甲行的長度和乙行的長度之比為5:6其中相遇后甲行駛了全長的4/9還剩，一、48，一4844所以乙行駛了全長的二=3400 -M5 3 5 3二1，所以乙一共行

22、了全長二十工=不，915915454411_/=寶沒有走4545所以A、B全長為450千米.【例13】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘.完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是1：=5:3,工作時間相同，工作量與工作效率成正915比，所以師傅與徒弟分別完成總量的工和色-,師傅和徒弟一共加工了5353100（553533）=400個零件（涉及到數(shù)量差和數(shù)量比的題在以下題目中詳細(xì)講述）.【鞏固】師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘.完成任務(wù)時，

23、師傅比徒弟多加工多少個零件？【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是1：=5:3,而工作時間相同，則工作量與工作效率915成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的工和工，師傅比徒弟多加工零件= 100 個.5353【例14】A、B、C三個水桶的總?cè)莘e是1440公升，如果A、B兩桶裝滿水，C桶是空的；若將A桶水的全部和B桶水的1,或?qū)桶水的全部和A桶水的-倒入C桶，C桶53都恰好裝滿.求A、B、C三個水桶容積各是多少公開？【解析】根據(jù)題意可知，A桶水的全部加上B桶水的-等于B桶水的全部加上A桶水的53所以A桶水的2等于B桶水的4,那么A桶水的全部等于B桶水的C桶35535水為B桶水的6+-=7.所以A、

24、B、C三個水桶的容積之比是£：1：1=6：5：7.又A、B、C三個水桶的總?cè)莘e是1440公升，所以A桶的容積是1440M6=480657.57一公開，B桶的容積是480父-=400公升，C桶的容積是480黑=560公升.66【鞏固】加工某種零件，甲3分鐘加工1個，乙3.5分鐘加工1個，丙4分鐘加工1個.現(xiàn)在三人在同樣的時間內(nèi)一共加工3650個零件.問：甲、乙、丙三人各加工多少個零件？【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙、丙的工作效率之比為-：-=28:24:21,那么在相同的33.54時間內(nèi)，三人完成的工作量之比也是28:24:21,所以甲加工了28243650M8=1400個零件，乙力口工

25、了3650M=1200個零件，丙力口2824212824212128 24 21工了3650M=1050個零件?！眷柟獭繉W(xué)而思學(xué)校四五六年級共有615名學(xué)生，已知六年級學(xué)生的二，等于五年級學(xué)生的2,等于四年級學(xué)生的3。這三個年級各有多少名學(xué)生學(xué)生？57123【解析】將六年級學(xué)生的1,等于五年級學(xué)生的2,等于四年級學(xué)生的-,看作一個單位，257那么六年級學(xué)生人數(shù)等于2個單位，五年級學(xué)生等于2.5個單位，四年級學(xué)生等于7學(xué)生，所以六年級、五年級、四年級學(xué)生人數(shù)的比為2:52=1215:14,所以六3231212 15 14年級學(xué)生人數(shù)為615M=180人，五年級學(xué)生人數(shù)為615M15=225人，四

26、年級學(xué)生人數(shù)為615M14=210人.121514121514【例15】一塊長方形鐵板，寬是長的-.從寬邊截去21厘米，長邊截去35%以后，得到一塊正方形鐵板.問原來長方形鐵板的長是多少厘米？【解析】如果只將長邊截去35%,寬、長之比為4:5M（1-35%）=16:13,所以寬邊的長度4一為21+（16-13）父16=112厘米，所以原來鐵板的長為112+=140厘米.5【鞏固】一個正方形的一邊減少20%,另一邊增加2米，得到一個長方形，這個長方形的面積與原正方形面積相等.原正方形的邊長是多少米？【解析】要保證面積不變，一邊減少20%,即是原來的-,另一邊要變成原來的-,即增54.51一一.、

27、1.加5_1=1,所以原正方形的邊長為2+1=8（米）.【例16】一把小刀售價3元.如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是2:5;如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?:13.小明原來有多少錢？55【解析】由已知，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的上=a,小明的錢相當(dāng)257于小明、小強(qiáng)買刀后錢數(shù)和的-8-=,所以小明、小強(qiáng)的錢數(shù)的比值為8+132185三：5=8:15,而小明買刀后小明、小強(qiáng)的錢數(shù)之比為2:5=6:15,所以小明買刀217431前后的錢數(shù)之比為8:6=4:3,所以小刀的售價等于小明原來錢數(shù)的二=，所441以小明的錢數(shù)為3+1=12兀。也可這樣看

28、，小明買刀與未買刀的錢數(shù)比為42:/=3:4，小明的錢數(shù)為4M3+（43。=12（元）【鞏固】（2009年十三分小升初入學(xué)測試題）甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為6:5,后來甲又得到180元，乙又得到30元，這時甲、乙錢數(shù)之比為18:11,求原來兩人的錢數(shù)之和為多少？【解析】兩人原有錢數(shù)之比為6:5,如果甲得到180元，乙得到150元，那么兩人的錢數(shù)之比仍為6:5,現(xiàn)在甲得到180元，乙只得到30元，相當(dāng)于少得到了120元，現(xiàn)在兩人錢數(shù)之比為18:11,可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加180元和150元之后，錢數(shù)之比為18:15,然后乙的錢數(shù)減少120元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?8:11,所以120元相當(dāng)

29、于4份，1份為30元，后來兩人的錢數(shù)之和為30M（18+15）=990元，所以原來兩人的總錢數(shù)之和為990-180-150=660元.【鞏固】甲本月收入的錢數(shù)是乙收入的5,甲本月支出的錢數(shù)是乙支出的3,甲節(jié)余240元，乙節(jié)余480元.甲本月收入多少元？【解析】甲、乙本月收入的比是5:8,分別節(jié)余240元和480元，支出的錢數(shù)之比是3:4.如果乙節(jié)余480元，甲節(jié)余480+8父5=300元，那么兩人支出的錢數(shù)之比也是5:8,現(xiàn)在甲只節(jié)余240元，多支出了60元，結(jié)果支出的錢數(shù)之比從5:8變成了6:8（即3:4）,所以這60元就對應(yīng)6-5=1份，那么甲支出了60M6=360元，所以甲本月收入為36

30、0+240=600元.【例17】（2008年西城實驗考題）一項機(jī)械加工作業(yè)，用4臺A型機(jī)床，5天可以完成；用4臺A型機(jī)床和2臺B型機(jī)床3天可以完成；用3臺B型機(jī)床和9臺C型機(jī)床，2天可以完成，若3種機(jī)床各取一臺工作5天后，剩下A、C型機(jī)床繼續(xù)工作，還需要天可以完成作業(yè).【解析】由于用4臺A型機(jī)床5天可以完成；用4臺A型機(jī)床和2臺B型機(jī)床3天可以完成，所以2臺B型機(jī)床3天完成的量等于4臺A型機(jī)床2天完成的量，則A、B兩種機(jī)床每天完成的量的比為（2父3）:（4父2）=3:4,即A型機(jī)床每天完成的量為3,B型機(jī)床每天完成的量為4,該項作業(yè)總量為3M4M5=60,那么C型機(jī)床每天完成的量為（60+2口

31、父3廣9=2,3種機(jī)床各取一臺工作5天后，剩下的工作量為60-（3+4+2）5=15,A、C型機(jī)床還需繼續(xù)工作15子（3+2）=3天.【例18】動物園門票大人20元，小孩10元.六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比，大人增加了60%,兒童增加了90%,共增加了2100人，但門票收入與前一天相同.六一兒童節(jié)這天共有多少人入園？【解析】前一天大人與小孩的人數(shù)比為1:（60%父2）=5:6,六一那天增加的大人與增加的小5、孩人數(shù)比為（5父60%）:（6父90%）=5:9,大人增加的人數(shù)為2100乂一=750人，小孩14增加的人數(shù)為2100-750=1350人，大人的總數(shù)為750.60%+750

32、=2000人，小孩的總?cè)藬?shù)為1350+90%+1350=2850人，總?cè)藬?shù)為2000+2850=4850人.【例19】（2008年武漢市外國語學(xué)校小升初數(shù)學(xué)卷）某水果批發(fā)市場存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是1:2,第一天售出蘋果的20%,售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是1:3；第二天售出蘋果18噸，桃子12噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的土，問原有蘋果和桃子各有多少噸？言小,解得1 315【解析】法：設(shè)原來蘋果有x噸，則原來桃子有2x噸，得：x=37.所以原有蘋果37噸，原有桃子37父2=74（噸）.法二：原來蘋果和桃子的噸數(shù)的比是1:2,把原來的蘋果的噸數(shù)看作1,則原來桃子的噸數(shù)

33、為2,第一天后剩下的蘋果是1x（120%）=4,剩下的桃子是2乂工二號，5132所以此時剩下的蘋果和桃子的重量比是,=8:15.現(xiàn)在再售出蘋果18噸，桃子5212噸，所剩的蘋果與桃子的重量比是4:15.這就相當(dāng)于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比是8:15,先售出桃子12噸，蘋果12M9=空噸，此時剩下的蘋果和桃子155的重量比還是8:15,再售出1832=竺噸蘋果，剩下的蘋果和桃子的重量比變?yōu)?54:15,所以這58相當(dāng)于8-4=4份，最后剩下的桃子有竺:父竺=更噸，那么第一天5542后剩下的桃子有87+12=U1噸原有桃子U!+2=74噸，原有蘋果74+2=37噸.22213（二）利用不變量

34、統(tǒng)一份數(shù)【例20】有一個長方體，長和寬的比是2:1,寬與高的比是3:2.表面積為72cm2,求這個長方體的體積.【解析】由條件長方體的長、寬、高的比6:3:2,則長方體的所有視面，上面、前面、左面的面積比為（6父3）:（6父2）:（3父2）=18:12:6=3:2:1,這三個面的面積和等于長方體13表面積的二分之一，所以，長方體的上面的面積為72MlM_3-=18cm2,前面的232112o,一“一，11o一面積為72MM=12cm2,左面的面積為720MM=6cm2,而2321232118<126=12962,36以36即是長、寬、高的乘積，所以這個長方體的體積為CC336cm.【鞏固

35、】有一個長方體，長與寬的比是2:1,寬與高的比是3:2.已知這個長方體的全部棱長之和是220厘米，求這個長方體的體積.221【解析】由條件范與圖的比為3:2=1:所以這個長萬體的長、范、局的比為2:1:即6:3:2,由于長方體的所有棱中，長、寬、高各有4條，所以長方體的長為220MlM-6=30厘米，寬為220m,m3一=15厘米，高為4632463212220父1父=10厘米，所以這個長萬形的體積為30父15父10=4500立萬厘米.4632【例21】（2009年第七屆“希望杯”二試六年級）某高速公路收費站對于過往車輛收費標(biāo)準(zhǔn)是：大型車30元，中型車15元，小型車10元.一天,通過該收費站的

36、大型車和中型車數(shù)量之比是5:6,中型車與小型車之比是4:11，小型車的通行費總數(shù)比大型車多270元.（1）這天通過收費站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？（2）這天的收費總數(shù)是多少元？【解析】大型車、小型車通過的數(shù)量都是與中型車相比，如果能將5:6中的6與4:11中的4統(tǒng)一成4,6=12,就可以得到大型車、中型車、小型車的連比.由5:6=10:12和4:11=12:33,得到大型車：中型車：小型車=10:12:33.以10輛大型車、12輛中型車、33輛小型車為一組.因為每組中收取小型車的通行費比大型車多10父33-30父10=30（元），所以這天通過的車輛共有270+30=9（組）.所以這大

37、通過大型車有10M9=90（輛），中型車有12M9=108（輛），小型車有33M9=297（卒3）.（2）這天收取的總費用為：30黑90+15父108+297父10=7290元.【例22】6枚壹分硬幣摞在一起與5枚貳分硬幣摞在一起一樣高，4枚壹分硬幣摞在一起與3枚伍分硬幣摞在一起一樣高.用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？【解析】由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為6:5,壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:3=6:4.5,所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為6:5:4.5,即12:10:9,因此壹分硬幣的數(shù)量為1

38、24MI2=48枚，貳分硬幣的數(shù)量為12109124M-10=40枚，伍分硬幣的數(shù)量為124M9=36枚，這些硬幣一共1210912109有48父1+40父2+36父5=308分，即幣值為3.08元.【例23】（2007年二中考題）某工地用3種型號的卡車運送土方.已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6,速度比為6:8:9,運送土方的路程之比為15:14:14,三種車的輛數(shù)之比為10:5:7.工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了25天完成任務(wù).那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三種卡車

39、運送土方的路程之比為15：14：14,速度之比為6：8：9,所以它們運送1次所需的時間之比為151-1-=：2：14,相同時間內(nèi)它們運送的次數(shù)689249比為：2：土-在前10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比5714為5：57.由于三種卡車載重量之比為10：76,所以三種卡車的總載重量之比為50：35：42.那么三種卡車在前10天內(nèi)的工作量之比為：502：|；3K4：I-492=：2.04后05龍，7由于甲車全部投入使用，所以在5.714后15天里的工作量之比為40：20：27.所以在這25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之2010401532比為：=.（202027）10（402

40、027）1579【例24】（2008年第13屆華杯賽初賽）將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個小朋友.原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為5:4:3.實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為7:6:5,其中有一位小朋友比原計劃多得了15塊糖果.那么這位小朋友是（填“甲”、“乙”或“丙”），他實際所得的糖果數(shù)為塊.【解析】方法一：原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的實際甲、121212乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的只有內(nèi)占總數(shù)的比例是增加的，181818所以這位小朋友是丙.糖果總、數(shù)為15+f-1=540（塊）,內(nèi)實際所得的糖果數(shù)為1812.5._-540父科=150（塊）甲 乙 丙 總數(shù)為:

41、4 : 312 份:6:518份:12:936份:12:1036份方法二：化通比為：原計分配為5實際分配為7化通比為1514對比分析甲1514,乙1212,丙910,發(fā)現(xiàn)多得糖果的是丙所以15+（109）X10=150（塊）【鞏固】有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25%那么,這堆糖果中有奶糖多少塊？【解析】方法一：原來奶糖占地=且，后來占工5=!因此后來的糖果數(shù)是奶糖的4倍,1002010049也比原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+（4區(qū)面-1）=20塊.其中奶糖有20X包=9塊.20方法二：原來奶糖與其他糖（包含水果糖）之比是45%:（1-45%）=9:1

42、1，設(shè)奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份.現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25%:（1-25%）=1:3=9:27,奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，l份即1塊.奶糖占9份，就是9塊奶糖.【鞏固】今年兒子的年齡是父親年齡的，15年后，兒子的年齡是父親年齡的-.今411年兒子多少歲？【解析】方法一：今年兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的,=1，15年后兒子的年齡相當(dāng)于4-13父子年齡差的=5,所以15年相當(dāng)于父子年齡差的,年齡差為11-56632115子=30歲.今年兒子30+3=10歲.21方法二：今年兒子的年齡是父親年齡的1,所以兒子：父親=1:4

43、;415年后，兒子的年齡是父親年齡的所以兒子：父親=5:1111因為在年齡問題中年齡差不變所以列表分析為：兒子父親年齡差1:435:116根據(jù)不變量化通比為2:865:116對比分析為：15+(52)X2=10(歲)【例25】一個周長是56厘米的大長方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個小長方形.在圖中小長方形面積的比是A:B=1:2,B:C=1:2.而在圖中相應(yīng)的比例是A':B'=1:3,B':C'=1:3.又知長方形D'的寬減去D的寬所得到的差與D'的長減去D的長所得到差之比為1:3.求大長方形的面積.【詳解】因為A:B=1:2,B:C=1:2

44、,所以A:C=1:4;因為 A': B' =1:3B': C' =1:3所以A':C'=1:9,設(shè)長方形的寬為a,長為b,得:3 2一aa4 35 .4.b-b105得a:b=2:5.又a+b=56+2=28所以長方形面積=20父8=160.【例26】（2008年101中學(xué)試題）北京中學(xué)生運動會男女運動員比例為19:12,組委會決定增加女子藝術(shù)體操項目，這樣男女運動員比例變?yōu)?0:13;后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變?yōu)?0:19,已知男子象棋項目運動員比女子藝術(shù)體操運動員多15人，則總運動員人數(shù)為多少？1919.一,【解析】將運動會最初的

45、運動員人數(shù)設(shè)為“1”，那么男運動員人數(shù)為=19,女運動191231_,1219一、員人數(shù)為而增加女子藝術(shù)體操項目，男運動員人數(shù)不變，仍然是,所以這313119247時女運動員人數(shù)為V+20M13=247,增加男子象棋項目，女運動員人數(shù)保持不變，31620仍然是也，所以男運動員人數(shù)增加為絲7+19父30=空.女子藝術(shù)體操項目人數(shù)62062062球共570+390=960個.【鞏固】一堆圍棋子有黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，黑子與白子的個數(shù)之比為2:1;再拿走45枚黑棋子后，黑子與白子的個數(shù)比為1:5,求開始時黑棋子與白棋子各有多少枚？【解析】第二次拿走45枚黑棋，黑子與白子的個數(shù)之比由2:1（=10:5）變?yōu)?:5,而其中白棋的數(shù)目是不變的，所以黑棋由原來的10份變成現(xiàn)在的1份，減少了9份，這樣原來黑棋的個數(shù)為45+9X10=50（枚），白棋的個數(shù)為45+95+15=40（枚）.【例27】（2008年西城實驗考題）有若干個突擊隊參加某工地會戰(zhàn)，已知每個突擊隊人數(shù)相同，而且每個隊的女隊員的人數(shù)是該隊的男隊員的工，以后上級從第一突擊隊調(diào)18走了該隊的一半隊員，而且全是男隊員，于是工地上的全體女隊員的人數(shù)是剩下的全體男隊員的8,問開始