高等數(shù)學(xué)：10-7 斯托克斯-stokes公式VIP

1、1第七節(jié)第七節(jié) 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環(huán)流環(huán)流量與量與旋度旋度斯托克斯公式斯托克斯公式物理意義物理意義-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分2 本節(jié)介紹空間曲面積分與曲線積分本節(jié)介紹空間曲面積分與曲線積分并同時介紹向量場的兩個重要概念并同時介紹向量場的兩個重要概念斯托克斯公式斯托克斯公式. .環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度. .之間的關(guān)系之間的關(guān)系斯托克斯斯托克斯(Stokes)公

2、式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度3一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 設(shè)設(shè) 的正向與的正向與的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則，),(),(zyxQzyxP函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)的的一一個個空空間間區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)在在包包含含曲曲面面 ),(zyxR zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 為分段光滑的空間有向?yàn)榉侄喂饣目臻g有向閉閉曲線曲線,是以是以為邊界的分片光滑的為邊界的分片光滑的有向曲面有向曲面,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式則有公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋

3、度 4 即有即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd方向余弦方向余弦.是是指定一側(cè)的法向量指定一側(cè)的法向量 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度5的正向與的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則的側(cè)符合右手規(guī)則: 當(dāng)右手除拇指外的四指依當(dāng)右手除拇指外的四指依 的繞行方向時的繞行方向時, 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則拇指所指的方向與拇指所指的方向與上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向

4、曲面的正向邊界曲線的正向邊界曲線.稱稱斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度 n 6斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度(3) 在坐標(biāo)面上在坐標(biāo)面上,應(yīng)用格林公式把應(yīng)用格林公式把(2)得到的平面閉得到的平面閉曲線積分化為二重積分曲線積分化為二重積分.因此因此斯托克斯公式是格林斯托克斯公式是格林注注證明思路證明思路(1) 把曲面積分化為坐標(biāo)面上投影域的二重積分把曲面積分化為坐標(biāo)面上投影域的二重積分;(2) 把空間閉曲線把空間閉曲線上的曲線積分化為坐標(biāo)面上上的曲線積分化為坐標(biāo)面上的閉曲線積分的閉曲線積分;分三步分三步當(dāng)當(dāng)為為 xOy 坐標(biāo)面

5、上的平面區(qū)域時坐標(biāo)面上的平面區(qū)域時, 斯托克斯托克斯公式就是格林公式斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推廣公式在曲面上的推廣.yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd7 RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos 另一種形式另一種形式)cos,cos,(cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式 zRyQxPddd zRyQxPddd zRyQxPddd斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度()d d()d d()d dRQPRQPy zz xx yyzzxxy8Stokes公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表

6、達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度9解解zyyxxzddd yxzzyxyxxzzydddddd法一法一 按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ,計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分例例 ,dddzyyxxz1 zyx是平面是平面 其中其中被三坐標(biāo)面所截成的被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個邊界三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側(cè)它的正向與這個三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則的法向量之間符合右手規(guī)則.有有 yxxzzydddddd斯托克斯斯托克斯(Stoke

7、s)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度xyzOnxyD11110 xyO111 yx yxxzzydddddd yxdd3.23 .弦弦都都為為正正的的法法向向量量的的三三個個方方向向余余 ).1 , 1 , 1( n213 zyyxxzddd xyD cos )31cos cos yxxzzydddddd的法向量的法向量 (對稱性對稱性1: zyx平面平面 xyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度11按按斯托克斯公式斯托克斯公式, , zyyxxzddd SRQPzyxdcoscoscos Syxzzyxd313131 Syxzzyxd11131 Sd)111

8、(31 法二法二1: zyx yxSdd3d xyDyxdd323 有有斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度xyO111 yxxyD12zxOy解解則則)1 , 1 , 1(31 n計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分例例 zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223 zyx是平面是平面 其中其中截立方體截立方體:, 10 x, 10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕,若從若從Ox軸的正向看去軸的正向看去, 取逆時針方向取逆時針方向.取取為平面為平面23 zyx的上側(cè)被的上側(cè)被所圍成的部分所圍成的部分.)1 , 0 , 0()0 , 0 , 1()0 , 1

9、 , 0( Oxy11212123 yx21 yxxyD在在xOy面上的投影為面上的投影為.xyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度1311即即31coscoscos SyxxzzyzyxId313131222222 Szyxd)(34 Sd2334 xyDyxdd332.29 )23( zyx上上在在 yxSdd3d Oxy212123 yx21 yxxyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度14kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 1. .環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義上上的的曲曲線線積積分分中中某某一一封封

10、閉閉的的有有向向曲曲線線則則沿沿場場 A zRyQxPsdAdddcirculationcurl環(huán)流量環(huán)流量. .二、物理意義二、物理意義-環(huán)流環(huán)流量與量與旋度旋度設(shè)向量場設(shè)向量場斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度A稱為向量場 沿曲線按所取方向的15 sAd利用利用Stokes公式公式, , zRyQxPddd RQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),(zyxsRQPA yPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,環(huán)流量環(huán)流量SRQPzyxkjid 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度dS(d d ,d d ,d d

11、 )y zz xx y16.)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiA rot旋度旋度2. 旋度的定義旋度的定義).rot(ARQPzyxkji為向量場的旋度為向量場的旋度稱向量稱向量 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度17.處處的的旋旋度度RQPzyxkjiA rot旋度旋度42322yzyzxxzzyxkji kxyzjxziyxz43)22(224 ),1 , 2, 1( P在在點(diǎn)點(diǎn)解解例例)1 , 2, 1(22423 PkyzjyzxixzA在在求求向向量量場場斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度ro

12、t( 2,3,8).A 18斯托克斯公式的又一種形式斯托克斯公式的又一種形式其中其中的單位法向量為的單位法向量為 的的單單位位切切向向量量為為 SyPxQxRzPzQyRdcos)(cos)(cos)( sRQPd)coscoscos(kjin coscoscos kjit coscoscos 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度19斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 stASnAddrot sASAtndd)rot(或或其中其中 cos)(cos)(cos)(rot)rot(yPxQxRzPzQyRnAAn 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)

13、流量與旋度環(huán)流量與旋度coscoscostAA tPQR20Stokes公式公式的物理解釋的物理解釋 sAtd的的環(huán)環(huán)流流量量等等于于沿沿有有向向閉閉曲曲線線向向量量場場 A.所張的曲面的通量所張的曲面的通量的旋度場通過的旋度場通過向量場向量場 A環(huán)流量環(huán)流量 SdrotA斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度()的正向與 的側(cè)符合右手法則旋度為零向量的向量場稱為無旋場旋度為零向量的向量場稱為無旋場或有勢場或保守場或有勢場或保守場.無源且無旋的場稱為調(diào)和場無源且無旋的場稱為調(diào)和場. .21斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意

14、義環(huán)流量環(huán)流量與與旋度旋度斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度三、小結(jié)三、小結(jié)Stokes公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.(注意使用的條件注意使用的條件)22 計(jì)算計(jì)算 其中其中,drot0SnA ),3 ,2(2zxyA 9222 zyx是球面是球面 (1) 用對面積的曲面積分用對面積的曲面積分;(2) 用對坐標(biāo)的曲面積分用對坐標(biāo)的曲面積分;(3) 用高斯公式用高斯公式;(4) 用斯托克斯公式用斯托克斯公式.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)

15、流量與旋度環(huán)流量與旋度的上半部上側(cè)的上半部上側(cè), 是它的邊界是它的邊界.思考題思考題23 解答解答 232rotzxyzyxkjiA 22222211,1,1yxyxyyxxzzzzzzzz(1) 原式原式=Szzyxd1122 yxzzzzyxDyxxydd1112222 xyDyxdd.9 SnAdrot0 ),3 ,2(2zxyA )1 , 0 , 0(斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度0(cos,cos,cos )n24(2)原式原式= yxdd 9dd xyDyx(3) 補(bǔ)平面補(bǔ)平面原式原式=.9)dd( xyDyx Sdcos12212211cos:,11cos:yxyxzzzz10dd dvx y 1dd yx斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度SnAdrot0 ),3 ,2(2zxyA 方向朝下方向朝下,與與構(gòu)成構(gòu)成封閉曲面封閉曲面.0:1 z Sdcos1特別注意兩類曲面積分的區(qū)特別注意兩類曲面積分的區(qū)別別25將將寫成參數(shù)方程寫成參數(shù)方程:0,sin3,cos3 zyx 原式原式= zzyxxydd3d22原式原式=