經(jīng)典力學(xué)課件：第3章運(yùn)動(dòng)定理（1）動(dòng)量

1、易凡易凡第三章第三章牛頓力學(xué)的運(yùn)動(dòng)定理牛頓力學(xué)的運(yùn)動(dòng)定理（一）動(dòng)量（一）動(dòng)量3.1 3.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理n動(dòng)量的定義動(dòng)量的定義drpm vmdtn動(dòng)量的單位動(dòng)量的單位Kg.m / sKg.m / sn量綱式量綱式 LMT LMT-1 -1 由牛頓第二定律由牛頓第二定律()d m vdpFm adtdt或或Fdtdpn動(dòng)量定理（微分形式）動(dòng)量定理（微分形式）d pFd tF d td p意義：力的時(shí)間積累效應(yīng)導(dǎo)致動(dòng)量發(fā)生變化。n元沖量元沖量dIFdtdp（動(dòng)量定理的微分形式）（動(dòng)量定理的微分形式）n力的時(shí)間積累稱為沖量力的時(shí)間積累稱為沖量n沖量定義（動(dòng)量定理的積分形式）沖量定義（

2、動(dòng)量定理的積分形式）0000ttttttIdIFdtd pp tp t( )()動(dòng)量定理的意義：力F作用于質(zhì)點(diǎn)m的時(shí)間積累（沖量）導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)量變化。 動(dòng)量動(dòng)量P P和沖量和沖量I I為矢量，在直角坐標(biāo)系描述為為矢量，在直角坐標(biāo)系描述為xyzxyzpp ip jp kmv imv jmv k000()()()xyzxxyyzzII iI jI kppippjppk其中其中000000txxxxttyyyyttzzzztIF dtmvmvIF dtmvmvIF dtmvmv 上述形式僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的上述形式僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的沖量沖量00()

3、ttIF d tm vv 由沖量定義由沖量定義沖量是過程量，當(dāng)慣性系選定后，它與參照點(diǎn)選擇無關(guān)。沖量是過程量，當(dāng)慣性系選定后，它與參照點(diǎn)選擇無關(guān)。 動(dòng)量定理形式特征：動(dòng)量定理形式特征：（過程量）（過程量）= =（狀態(tài)量的增量）（狀態(tài)量的增量） 動(dòng)量定理常用于動(dòng)量定理常用于碰撞碰撞過程。過程。p沖擊過程的特征：沖擊過程的特征：相比沖擊力，某些常規(guī)作用力，如重力，摩擦力等可忽略相比沖擊力，某些常規(guī)作用力，如重力，摩擦力等可忽略沖擊力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用的效果是速度發(fā)生陡變，位移可以不計(jì)。沖擊力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用的效果是速度發(fā)生陡變，位移可以不計(jì)。 碰撞碰撞一般泛指物體間相互作用一般泛指物體間相互作用時(shí)間很短（瞬間）

4、時(shí)間很短（瞬間）的過程。在的過程。在這短暫過程中，相互作用力往往很大而且隨時(shí)間改變。這種這短暫過程中，相互作用力往往很大而且隨時(shí)間改變。這種瞬間過程，也稱作瞬間過程，也稱作沖擊過程沖擊過程，作用力通常叫做，作用力通常叫做沖力沖力。n碰撞過程的平均沖擊力：碰撞過程的平均沖擊力：000tt0ttppttdtFttIF0 【例例3.13.1】質(zhì)量質(zhì)量 m m =140g =140g 的壘球以速率的壘球以速率 v v = 40m/s = 40m/s 沿沿水平方向飛向擊球手，被擊后以相同速率沿仰角水平方向飛向擊球手，被擊后以相同速率沿仰角 6060o o飛飛出。求棒對(duì)壘球的平均打擊力。設(shè)棒和球的接觸時(shí)間

5、為出。求棒對(duì)壘球的平均打擊力。設(shè)棒和球的接觸時(shí)間為 t t =1.2ms=1.2ms。 因打擊力很大，所以由碰撞引起的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變，基本上由因打擊力很大，所以由碰撞引起的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變，基本上由打擊力的沖量決定。打擊力的沖量決定。重力、阻力的沖量可以忽略。重力、阻力的沖量可以忽略。12vmvmtF )(101.8102.130cos4014.0230cos233N tmvF 平均打擊力約為壘球自重的平均打擊力約為壘球自重的59005900倍！倍！ 在碰撞過程中，物體之間的碰撞沖力是很大的。在碰撞過程中，物體之間的碰撞沖力是很大的。12vmvmtF F tmv160omv230om=140gv

6、vv 12【例例3.23.2】 一圓錐擺，質(zhì)量為一圓錐擺，質(zhì)量為m m的小球繞著鉛直軸以的小球繞著鉛直軸以轉(zhuǎn)動(dòng)，擺繩與軸成轉(zhuǎn)動(dòng)，擺繩與軸成角。角。a a、b b為圓周直徑的兩點(diǎn)。為圓周直徑的兩點(diǎn)。求小球由求小球由abab的過程中，繩的張力施于小球的沖量。的過程中，繩的張力施于小球的沖量。xyzomabtmgTobaxyt【解解】建立如圖的坐標(biāo)系建立如圖的坐標(biāo)系 o oxyz xyz 。xyzTT iT jT k張力張力T T為為sincossinsincosxyzTTtTTtTT ，/00/0sincossincos0 xIT d tTtd tTtd t /00/0sinsinsinsinsi

7、n(coscos 0)2sinIT dtTtdtTTtdtT yy/00coscosTIT dtTdt zzcoscos20tanxyzm gTm gorTIIm gIm g ，22222tan4 tanyzIm gjm gkm gIII 1.1. 由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)mm1 1和和mm2 2構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系t t0 0時(shí)刻，時(shí)刻，m m1 1、m m2 2的速度和動(dòng)量分別為的速度和動(dòng)量分別為1020101 1020220vvpm vpm v、, =、t t時(shí)刻，時(shí)刻，m m1 1、m m2 2的速度和動(dòng)量分別為的速度和動(dòng)量分別為1211222vvpm vpm v、, =、在作用過程中

8、在作用過程中m m1 1受力：受力： 外力外力 F F1 1， 內(nèi)力內(nèi)力 f f1212 （ m m2 2施予的力）施予的力）m m2 2受力：受力： 外力外力 F F2 2， 內(nèi)力內(nèi)力 f f2121 （ m m1 1施予的力）施予的力）選定參照系（慣性系）選定參照系（慣性系）022122220220()ttFfdtm vm vpp=-對(duì)于對(duì)于m m2 2有有對(duì)于對(duì)于m m1 1有有011211110110()ttFfdtm vm vpp=-兩式相加兩式相加000011 222 1121 22 1112211 022 0121 02 0()()()()()()()ttttttttFfd tF

9、fd tFFd tffd tm vm vm vm vpppp)令令121201020FFFpppppp、（合外力合外力）（總動(dòng)量總動(dòng)量）而而122112210ffff 得到得到00ttFdtpp與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理形式完全一樣2.2. N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系n N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)m m1 1、m m2 2、 m mi i、 m mN N構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系n 外力（外力（external forceexternal force）：）： 系統(tǒng)外部對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力系統(tǒng)外部對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力n 內(nèi)力（內(nèi)力（internal forceinternal force）：）：

10、 系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力特點(diǎn)：特點(diǎn)：成對(duì)出現(xiàn)；大小相等方向相成對(duì)出現(xiàn)；大小相等方向相反反推論：推論：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和為零質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和為零。= 0ijijf2.2. N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系由由N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)m m1 1、m m2 2、 m mi i、 m mN N構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組考慮第考慮第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn) m mi iiF受力受力（外力）（外力）（內(nèi)力）（內(nèi)力）12NiiiNijj iffff t t0 0時(shí)刻的速度和動(dòng)量分別為時(shí)刻的速度和動(dòng)量分別為00iivp、 t t時(shí)刻的速度和動(dòng)量分別為時(shí)刻的速度和動(dòng)量分別為iivp

11、、 據(jù)動(dòng)量定理應(yīng)有據(jù)動(dòng)量定理應(yīng)有000()tiijiiiiitjFfdtm vm ivpp將將N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方程相加，左邊為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方程相加，左邊為0000000,()()()()NNNtttiijiijtttijiijittttiijiijttttiijiijjiFfdtF dtfdtF dtf dtFdtfdt 左邊為左邊為0ttFdt且且,()()0ijijjii ji ijjifff令令iiFF（質(zhì)點(diǎn)系的合外力質(zhì)點(diǎn)系的合外力）右邊右邊00NNNiiiiiiiiiiim vm vm vm v() 令令00NNiiiiiipm vpm v（質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量）則右邊則右邊 = =

12、0pp最后得到最后得到00ttFdtpp 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 （積分形式）：系統(tǒng)總動(dòng)量的變化等于質(zhì)點(diǎn)系所受到合外力的沖量。n說明說明 質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定律形式與單質(zhì)點(diǎn)一樣，但式中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定律形式與單質(zhì)點(diǎn)一樣，但式中F F是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受到的合外力，系所受到的合外力，p p是系統(tǒng)的總動(dòng)量。是系統(tǒng)的總動(dòng)量。 令令00ttIFdtpp為合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的為合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的沖量沖量上式是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定律的積分形式上式是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定律的積分形式 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式Fdtdp=質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的時(shí)間變化率等于所受合外力 動(dòng)量定理僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的動(dòng)量

13、定理僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的沖量沖量 內(nèi)力的沖量不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量，但會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組中各內(nèi)力的沖量不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量，但會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量?；蛘哒f，內(nèi)力將導(dǎo)致各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量重新分配質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量?；蛘哒f，內(nèi)力將導(dǎo)致各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量重新分配 動(dòng)量定理與牛頓定律的關(guān)系：動(dòng)量定理與牛頓定律的關(guān)系：牛頓定律僅適用于單質(zhì)點(diǎn)，動(dòng)量定理卻適用于質(zhì)點(diǎn)系牛頓定律僅適用于單質(zhì)點(diǎn)，動(dòng)量定理卻適用于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來說，牛頓定律說的是力的瞬時(shí)效果，而動(dòng)量定對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來說，牛頓定律說的是力的瞬時(shí)效果，而動(dòng)量定理說的是力對(duì)時(shí)間的積累效果。理說的是力對(duì)時(shí)間的積累效果。n 孤立體系的動(dòng)量守恒定律孤立體

14、系的動(dòng)量守恒定律若合外力若合外力0iiFF但但 F Fx x，y y，z z之一為之一為0 0000 xxpppppp，則有則有常稱為質(zhì)點(diǎn)系在某個(gè)方向的動(dòng)量不變或常稱為質(zhì)點(diǎn)系在某個(gè)方向的動(dòng)量不變或“守恒守恒”n 孤立體系的動(dòng)量守恒定律： 不受外力或所受外力的矢量和為零的體系，系統(tǒng)的總動(dòng)量不變（恒矢量）。若合外力若合外力0iiFF00ttIFdt則則0( )()0p tp t即有即有或或0( )()p tp tA則稱系統(tǒng)的動(dòng)量守恒則稱系統(tǒng)的動(dòng)量守恒n 動(dòng)量守恒定律的幾點(diǎn)說明動(dòng)量守恒定律的幾點(diǎn)說明動(dòng)量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論動(dòng)量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于

15、慣性系動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系動(dòng)量若在某一慣性系中守恒，則在其它一切慣性系中均守恒動(dòng)量若在某一慣性系中守恒，則在其它一切慣性系中均守恒當(dāng)外力當(dāng)外力內(nèi)力且作用時(shí)間極短時(shí)（如碰撞）可認(rèn)為動(dòng)量近似內(nèi)力且作用時(shí)間極短時(shí)（如碰撞）可認(rèn)為動(dòng)量近似守恒守恒動(dòng)量守恒定律雖然由牛頓第三定律導(dǎo)出，但它比牛頓第三定動(dòng)量守恒定律雖然由牛頓第三定律導(dǎo)出，但它比牛頓第三定律適用范圍更廣。在牛頓第三定律不成立時(shí)，只要計(jì)及場的律適用范圍更廣。在牛頓第三定律不成立時(shí)，只要計(jì)及場的動(dòng)量，動(dòng)量守恒定律仍然成立。動(dòng)量，動(dòng)量守恒定律仍然成立。 動(dòng)量守恒定律可以直接從空間的平移不變性（一種時(shí)空對(duì)稱動(dòng)量守恒定律可以直接從空間的

16、平移不變性（一種時(shí)空對(duì)稱性）導(dǎo)出。時(shí)空對(duì)稱性原理是比牛頓定律更高層次的定律，性）導(dǎo)出。時(shí)空對(duì)稱性原理是比牛頓定律更高層次的定律，動(dòng)量守恒定律比牛頓定律更普遍更基本，在宏觀和微觀領(lǐng)域動(dòng)量守恒定律比牛頓定律更普遍更基本，在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。均適用。例例3.3 3.3 長為長為L L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m的軟繩盤放在水平臺(tái)上。用手的軟繩盤放在水平臺(tái)上。用手抓住繩的一端以恒定速率抓住繩的一端以恒定速率v v0 0向上提起，求當(dāng)提起高度為向上提起，求當(dāng)提起高度為x x時(shí)受的拉力。時(shí)受的拉力。xv0Tox【解解】以軟繩為質(zhì)點(diǎn)系。以軟繩為質(zhì)點(diǎn)系。t t時(shí)刻：時(shí)刻： 繩提起高度繩提起高度 x x ，動(dòng)量，

17、動(dòng)量 0mpxvLt+dtt+dt時(shí)刻：繩提起高度時(shí)刻：繩提起高度 x+x+x x ，動(dòng)量，動(dòng)量0()mpxdx vL繩受力：重力繩受力：重力 mgmg，手拉力，手拉力 T T，地面彈力，地面彈力 N N。應(yīng)用動(dòng)量定理應(yīng)用動(dòng)量定理000()()TNmg dtppmmmxdx vxvv dxLLL0002()mdxmTNmgvvLdtLdxvdt ; 即即2020()()mNLx gLmmTLx gmgvLLxmTmgvLL 最后得最后得20200,mxTvLmxLTmgvL 當(dāng)當(dāng)例例3.4 3.4 質(zhì)量密度為質(zhì)量密度為的鏈條從光滑的桌面上由靜止開的鏈條從光滑的桌面上由靜止開始下滑，求鏈條下滑運(yùn)

18、動(dòng)規(guī)律。始下滑，求鏈條下滑運(yùn)動(dòng)規(guī)律。xox【解解】以鏈條為質(zhì)點(diǎn)系，以桌面為參照系。以鏈條為質(zhì)點(diǎn)系，以桌面為參照系。t t時(shí)刻，鏈條下滑長時(shí)刻，鏈條下滑長 x x ，動(dòng)量，動(dòng)量 pxv t tdt dt時(shí)刻，鏈條下滑長時(shí)刻，鏈條下滑長 x xdx dx ，動(dòng)量，動(dòng)量()()pxdxvdvxvvdxxdvdxdv F dtdpppvdxxdvdxdv 忽略二階小量，則有忽略二階小量，則有 據(jù)動(dòng)量定理據(jù)動(dòng)量定理F d tv d xx d v ()()Fxdx gFdtxdx gdtxgdt 20dvxvgxdtdxvdt 得到得到 0 xgdtvdxxdvdvdxxvxgdtdt 即即 而而 得到微

19、分方程得到微分方程 解微分方程解微分方程 212dvdv dxdvdvvdtdx dtdxdx22222()02x dvdvgxvvgxdxdxx方程為方程為2222()22dvgxvvgdxxx即有即有222222322223342222()33ygxvdydvvgggdxdxxvygxgvxxx 令令則則2dydxyx 即即222lnlnlnyxcorcyxcyx 解得解得0,00txc 初始條件初始條件即得即得2203xgvx所以所以即即2203xgv2223dxvxgdt或或223dxgdxdtx即即6gxtc0,00txc 因?yàn)橐驗(yàn)樗运宰詈蟮玫阶詈蟮玫?66ggxtxt 四四 .

20、 .質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)心參考系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)心參考系 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：1.1. 質(zhì)心質(zhì)心idpdFpdtdt= 它在形式上相同與牛頓定律的動(dòng)量表示式相同，但其含義并不它在形式上相同與牛頓定律的動(dòng)量表示式相同，但其含義并不相同。相同。 而質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況各不相同，加速度也不相同，而質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況各不相同，加速度也不相同，不能簡單等效于：不能簡單等效于： （m m是質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量）是質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量）Fma= 牛頓第二定律是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，等價(jià)于牛頓第二定律是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，等價(jià)于Fm a1.1. 質(zhì)心質(zhì)心CFm a2.2. 質(zhì)心的位置質(zhì)心的位置由由

21、N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系 m mi i ; i = 1, 2, , N; i = 1, 2, , N在確定的參照系中，各質(zhì)點(diǎn)的位矢為在確定的參照系中，各質(zhì)點(diǎn)的位矢為 r ri i 。定義：定義：對(duì)于確定的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位置用質(zhì)心位矢對(duì)于確定的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位置用質(zhì)心位矢r rc c表示：表示：1 1221121NiiNNicNNiim rm rm rmrrmmmm 2.2. 質(zhì)心的位置質(zhì)心的位置1 1221121NiiNNicNNiim rm rm rmrrmmmm n說明說明 質(zhì)心位矢質(zhì)心位矢r rc c是矢量，在直角坐標(biāo)系下，質(zhì)心的坐標(biāo)為：是矢量，在直角坐標(biāo)系下，質(zhì)心

22、的坐標(biāo)為：111111,NNNiiiiiiiiicccNNNiiiiiim xm ym zxyzmmm 推廣至連續(xù)質(zhì)量分布的質(zhì)點(diǎn)系推廣至連續(xù)質(zhì)量分布的質(zhì)點(diǎn)系111,()cccxxdmyydmzzdmMMMMdm 質(zhì)心的位矢并不是各質(zhì)點(diǎn)位矢的算術(shù)平均值，而是以質(zhì)量為質(zhì)心的位矢并不是各質(zhì)點(diǎn)位矢的算術(shù)平均值，而是以質(zhì)量為權(quán)重的加權(quán)平均。權(quán)重的加權(quán)平均。 選擇不同坐標(biāo)系，質(zhì)心位矢選擇不同坐標(biāo)系，質(zhì)心位矢r rc c表達(dá)式不同。但質(zhì)心與各質(zhì)點(diǎn)表達(dá)式不同。但質(zhì)心與各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置僅與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量分布有關(guān)，與參照系的選擇間的相對(duì)位置僅與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量分布有關(guān)，與參照系的選擇無關(guān)。無關(guān)。zxyom1m2mir

23、cmjmNr1rNrjrir23.3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理n 質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度v vc ciiiiiiiciicdm rm rm vdtdrdvdtdtMMMn 質(zhì)心的動(dòng)量質(zhì)心的動(dòng)量P Pc ccciiiiiipMvm vpp 質(zhì)心動(dòng)量的意義：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)全部集中在質(zhì)心上，以vc速度運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)心的動(dòng)量 Pc 等于質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量P；由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式1112221222111NNNiiiiiiiiNiiNNciiiiNiiiidpddddrFpm vmdtdtdtdtdtm rddd rm rmMdtdtdtmn 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理n 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

24、定理： 體系質(zhì)心的加速度等于質(zhì)量為體系總質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在合外力作用體系質(zhì)心的加速度等于質(zhì)量為體系總質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下的加速度下的加速度 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述了物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。體系的內(nèi)力不影響質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述了物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。體系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。22cicidrFFMM ad t即即22,cicid rMmadt式中式中cdpdpFdtdtn 上式即是質(zhì)心的動(dòng)量定理 外力對(duì)體系的沖量等于質(zhì)心動(dòng)量的增量外力對(duì)體系的沖量等于質(zhì)心動(dòng)量的增量n 質(zhì)心質(zhì)心的動(dòng)量定理的動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式cFdtdp00tcctF dtM vM v例例3.5 3.5

25、 用質(zhì)心概念求解例用質(zhì)心概念求解例3.33.3002;()2cxvxxxxxxvLLL222cmxxxLxmL質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)系外力：拉力質(zhì)點(diǎn)系外力：拉力T，彈力彈力N，重力重力mg22cd xmTNm gdt應(yīng)有應(yīng)有020cvvxxLL02cmm xvTNm gL1()NLx m gL20 xmTm gvLL與例與例3.33.3的結(jié)果一樣的結(jié)果一樣4.4. 質(zhì)心參照系（質(zhì)心系）質(zhì)心參照系（質(zhì)心系）n定義：定義：某坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)在某坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)在質(zhì)心處，坐標(biāo)軸與固定系質(zhì)心處，坐標(biāo)軸與固定系的坐標(biāo)軸始終保持平行，的坐標(biāo)軸始終保持平行，這樣的坐標(biāo)系即稱為質(zhì)心這樣的坐標(biāo)系即稱為質(zhì)心坐標(biāo)

26、系，簡稱質(zhì)心系。坐標(biāo)系，簡稱質(zhì)心系。mio yxzc xyz ri ric rcri = ric+ rcSSo（1 1）各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)視為兩部分運(yùn)動(dòng)的疊加）各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)視為兩部分運(yùn)動(dòng)的疊加n質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m mi i的位矢的位矢ir相對(duì)慣性系（靜系相對(duì)慣性系（靜系s s）相對(duì)質(zhì)心系（動(dòng)系相對(duì)質(zhì)心系（動(dòng)系ss）icr應(yīng)有應(yīng)有i cicrrrn質(zhì)心系的特點(diǎn)質(zhì)心系的特點(diǎn)速度速度iicciiccrrrvvv即即各質(zhì)點(diǎn)隨質(zhì)心一起作平移運(yùn)動(dòng)（相對(duì)質(zhì)心靜止）各質(zhì)點(diǎn)隨質(zhì)心一起作平移運(yùn)動(dòng)（相對(duì)質(zhì)心靜止）質(zhì)心系不一定是慣性系，也可能不是慣性系！質(zhì)心系不一定是慣性系，也可能不是慣性系！（2 2）質(zhì)心系是零動(dòng)量系）質(zhì)心系是零

27、動(dòng)量系證明證明iicciiiicicvvvm vm vm v即即由對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)m mi i求和求和iiiiciciiim vm vm viiciiiciiim vm vm v即即iiiiccciiim vppm vM vpp，0iicim v（3 3）在質(zhì)心系，可不考慮平動(dòng)慣性力的影響）在質(zhì)心系，可不考慮平動(dòng)慣性力的影響 ioicFm a 00iciFFa若若則質(zhì)心系為非慣性系，各質(zhì)點(diǎn)有平動(dòng)慣性力則質(zhì)心系為非慣性系，各質(zhì)點(diǎn)有平動(dòng)慣性力在質(zhì)心系下，質(zhì)點(diǎn)系的合外力被慣性力抵消，所以質(zhì)心系是零動(dòng)量系。()oioiciciiiFFm am aF 0oFF合慣性力合慣性力則則00iciFFa則質(zhì)

28、心系為慣性系則質(zhì)心系為慣性系若若例例3.6 3.6 在光滑平面上，在光滑平面上， m1 m1 和和 m2m2以以 v1 v1 和和 v2 v2 碰撞碰撞后合為一體（完全非彈性碰撞）。求碰撞后二者的共后合為一體（完全非彈性碰撞）。求碰撞后二者的共同速度同速度v v。在質(zhì)心參考系觀察，碰撞前后二者的運(yùn)動(dòng)如。在質(zhì)心參考系觀察，碰撞前后二者的運(yùn)動(dòng)如何？何？n在慣性系中觀察在慣性系中觀察 碰撞前質(zhì)心速度：碰撞前質(zhì)心速度：111212cm vm vvmm 無外力，質(zhì)心速度不變。碰撞后二者共同速度為質(zhì)心速度無外力，質(zhì)心速度不變。碰撞后二者共同速度為質(zhì)心速度111212cm vm vvvmmn在質(zhì)心系在質(zhì)心系

29、中觀察中觀察五五經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題1.1. 經(jīng)典力學(xué)中討論的變質(zhì)量體系的特征經(jīng)典力學(xué)中討論的變質(zhì)量體系的特征 所研究的體系質(zhì)量不為常數(shù)，而是隨時(shí)間變化。這種變化是所研究的體系質(zhì)量不為常數(shù)，而是隨時(shí)間變化。這種變化是由于外部不斷有新質(zhì)量進(jìn)入體系，或體系內(nèi)部不斷有質(zhì)量輸由于外部不斷有新質(zhì)量進(jìn)入體系，或體系內(nèi)部不斷有質(zhì)量輸送給外部；送給外部； 變化部分的質(zhì)量無限小，可視為質(zhì)量元變化部分的質(zhì)量無限小，可視為質(zhì)量元dmdm ； 體系中所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，因而可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來描寫體體系中所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，因而可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來描寫體系的運(yùn)動(dòng)這樣的系的運(yùn)動(dòng)這樣的“變質(zhì)量體系變質(zhì)量體

30、系”，質(zhì)量發(fā)生變化，質(zhì)量發(fā)生變化， 稱之為稱之為“經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題”。0dmdtn幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意 體系中的總質(zhì)量（質(zhì)量主體與質(zhì)量附體）不變；變化的是質(zhì)體系中的總質(zhì)量（質(zhì)量主體與質(zhì)量附體）不變；變化的是質(zhì)量主體量主體 研究質(zhì)量元不斷的加入或離去對(duì)質(zhì)量主體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，研究質(zhì)量元不斷的加入或離去對(duì)質(zhì)量主體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，實(shí)質(zhì)是質(zhì)量元與質(zhì)量主體的碰撞問題；實(shí)質(zhì)是質(zhì)量元與質(zhì)量主體的碰撞問題； 變質(zhì)量問題（模型）有：軟繩下落、火箭升空、流星對(duì)地球變質(zhì)量問題（模型）有：軟繩下落、火箭升空、流星對(duì)地球的撞擊、冰的融化等等；的撞擊、冰的融化等等；2.2. 變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程變

31、質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程mtvm+dmtdtvdvdmvdvu質(zhì)量離去質(zhì)量離去 dm0dm0dm0n方程推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)方程推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn) 非變化非變化的主要質(zhì)量部分為質(zhì)量主體，變化的（將進(jìn)入或的主要質(zhì)量部分為質(zhì)量主體，變化的（將進(jìn)入或離去）的質(zhì)量元為質(zhì)量附體離去）的質(zhì)量元為質(zhì)量附體 體系總質(zhì)量主體質(zhì)量附體質(zhì)量體系總質(zhì)量主體質(zhì)量附體質(zhì)量 將質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理的微分形式應(yīng)用該問題中將質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理的微分形式應(yīng)用該問題中n方程推導(dǎo)方程推導(dǎo)（設(shè)質(zhì)量減少，（設(shè)質(zhì)量減少，dm0dm0） t t時(shí)刻，體系質(zhì)量：時(shí)刻，體系質(zhì)量：m m （主體附體）（主體附體） 速度：速度： 動(dòng)量：動(dòng)量：vpmv t+dtt+dt時(shí)刻，

32、主體質(zhì)量：時(shí)刻，主體質(zhì)量： ，附體質(zhì)量，附體質(zhì)量 主體速度：主體速度： ， 附體速度：附體速度： 動(dòng)量：動(dòng)量：vdvvdvu()()()vdmdmdvdmdvpmdmvdvdm vdvumvmdvudmmvmdvvdmudm(0)mdmdmdmu是附體脫離主體瞬間，它相對(duì)于主體的速度在相互作用瞬間，體系的動(dòng)量變化在相互作用瞬間，體系的動(dòng)量變化mvdpppmddpmdvudmmvmvudFdtdpmdvudmdvdmFmudtdt可得可得由由即即d vd mmFud td t上式為變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程n方程說明方程說明 F F是作用于質(zhì)量主體上的外力是作用于質(zhì)量主體上的外力設(shè)設(shè)mmFFF在主體與

33、附體的相互作用（碰撞）瞬間，通常外力與質(zhì)量成在主體與附體的相互作用（碰撞）瞬間，通常外力與質(zhì)量成正比（如重力）正比（如重力）此時(shí)此時(shí)mFm當(dāng)當(dāng)0,0,0mtmF 所以所以mFF u u是質(zhì)量元是質(zhì)量元dmdm相對(duì)質(zhì)量主體相對(duì)質(zhì)量主體m m的速度的速度 m m與時(shí)間有關(guān)與時(shí)間有關(guān) 質(zhì)量元質(zhì)量元dmdm，若是離開主體，若是離開主體dm0dm0dm0 反作用力反作用力F Fp p設(shè)外力設(shè)外力F=0F=0，則有，則有dvdmmudtdt若令若令ppdmdvFumFdtdt 即有即有Fp定義為反作用力，它源于質(zhì)量元dm對(duì)質(zhì)量主體m的作用，即碰撞。n方程說明方程說明附體離開主體時(shí)：附體離開主體時(shí)：dm0dm0dm0pF為推力為推力若若 u u 與與 v v 同方向，同方向，若若 u u 與與 v v 反方向，反方向，0pdmFudtpF為阻