概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6.第六章：樣本及抽樣分布

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上6.1 隨機(jī)樣本一、總體與樣本1.總體：研究對(duì)象的全體。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。組成總體的元素稱為個(gè)體。從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布。2.樣本：來(lái)自總體的部分個(gè)體X1， ，Xn，如果滿足：（1）同分布性：Xi，i=1,n與總體同分布.（2）獨(dú)立性：X1，Xn相互獨(dú)立； 則稱為容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。而稱X1，Xn的一次實(shí)現(xiàn)為樣本觀察值，記為x1，xn來(lái)自總體X的隨機(jī)樣本X1， ，Xn可記為顯然，樣本聯(lián)合分布函數(shù)或密度函數(shù)為或3.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷總體的情況總體分布。樣本是聯(lián)系兩者

2、的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體。二、統(tǒng)計(jì)量定義：稱樣本X1，Xn的函數(shù)g(X1，Xn)是總體X的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,如果g(X1，Xn )不含未知參數(shù)。幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量 ： 3.樣本k階矩6.2 抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布：c2分布、 t 分布和F分布。 一、c2分布2.c2分布的密度函數(shù)f(y)曲線3.分位點(diǎn) 設(shè)X c2(n)，若對(duì)于a：0a1， 存在 滿足則稱為分布的上a分位點(diǎn)。4.性質(zhì)：a.分布可加性:若Xc2(n1)，Yc2(n2)，X，Y獨(dú)立，則X+Yc2(n1+n2 )b.期望與方

3、差:若Xc2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n二、t分布1.構(gòu)造 若XN(0, 1), Yc2(n), X與Y獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t分布。t(n) 的概率密度為2.基本性質(zhì): (1) f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱。 (2) f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即 3.分位點(diǎn)設(shè)Tt(n)，若對(duì)a:0a0， 滿足PTta(n)=a，則稱ta(n)為t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)注: 三、F分布1.構(gòu)造 若h1 c2(n1)， h2c2(n2)，h1， h2獨(dú)立，則稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F分布,其概率密度為2. F分布的分位點(diǎn)對(duì)于a：0a0，滿足PFFa(n1, n2

4、)=a， 則稱Fa(n1, n2)為F(n1, n2)的上側(cè)a分位點(diǎn)；注：6.3 正態(tài)總體的抽樣分布定理證明: ,n 個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,服從正態(tài)分布(3)證明:, 且U與V獨(dú)立,根據(jù)t分布的構(gòu)造,得證!第六章練習(xí)題一、選擇題1.設(shè)總體XN(, 2),x1, x2, , xn是總體X的樣本，下列結(jié)論不正確的是（ ）（A）x-/nN(0,1)；（B）12i=1n(xi-)2x2(n-1)；（C）x-s/nt(n-1)；（D）12i=1n(xi-x)2x2(n-1)2.設(shè)x是來(lái)自總體N(1,12)的容量為m的樣本的樣本均值，Y是來(lái)自總體N(2,22)的容量為n的樣本的樣本均值，兩個(gè)總體

5、相互獨(dú)立，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A）X-YN(1-2, 12m-22n)；（B）X+YN(1-2, 12m-22n)；（C）X+YN(1-2, 12m+22n)；（D）X-YN(1-2, 12m+22n)3.設(shè)總體XN(, 2),x1, x2, , xn是來(lái)自總體X的樣本，則Px-/nu0.025= （ ）（A）0.975； （B）0.025；（C）0.95； （D）0.054.設(shè)x1, x2, , xn是來(lái)自總體XN(0,1)的樣本, X,S為均值和標(biāo)準(zhǔn)差,則（ ）(A) XN(0,1) (B)n XN(0,1)(C) i=1nxi2x2(n) (D) xst(n-1) 5.設(shè)樣本x1,

6、 x2, , x9來(lái)自總體XN(1,9),則（ ）(A) x-13N(0,1) (B) X-1N(0,1).(C) x-19N(0,1). (D) x-13 N(0,1) 6.設(shè)x1, x2, , xn是來(lái)自總體XN(0,1)的樣本，則服從x2(n-1)的是（ ）(A) i=1nxi2. (B) s2.(C)(n-1) X2. (D)(n-1) s2.8.設(shè)x1, x2, , xn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且都服從參數(shù)為2的泊松分布，則當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量X的概率分布近似服從（ ）(A)N(2, 2n). (B)N(2, 4n).(C)N(2,4). (D)N(2n,2).9.設(shè)總體XB(

7、1,p), x1, x2, , xn是來(lái)自總體X的樣本，X為樣本均值，則P X = kn =（ ）(A)P. (B) pk(1-p)n-k.(C) Cnkpk(1-p)n-k. (D)Cnk(1-p)kpn-k. 10.設(shè)Xt(n)(n1),Y=1x2，則（ ）(A)Yx2(n) (B)Yx2(n-1)(C)YF(n,1) (D)YF(1,n)11.設(shè)總體XN(, 2), x1, x2, , xn是來(lái)自總體X的樣本，X,S為樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則（ ）(A)E(X2- s2)= 2-2 (B)E(X2+ s2)= 2+2 (C)E(X2- s2)= - 2 (D)E(X2- s2)= +2 12

8、.設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則（ ）成立。(A)X+Y服從正態(tài)分布(B)X+Y服從c2分布(C)X和Y都服從c2分布(D)X/Y服從F分布二、填空題1設(shè)總體XN(, 2), x1, x2, , xn是來(lái)自總體X的樣本，E(X)則X ，E(X)= ，D(X)= 2設(shè)總體Xx2(n), x1, x2, , xn是來(lái)自總體X的樣本，則E(X)= ，D(X)= ，E(X)= ，D(X)= 3.設(shè)x1, x2, , xn為來(lái)自總體X的樣本,E(X)=,D(X)=9, X為樣本均值, 試用切比雪夫不等式估計(jì)Px-2 , Px-3 .4.設(shè)x1, x2, , x5是總體XN(0,1)的樣本，則當(dāng)K

9、= 時(shí)，Y=k(x1+x2)x32+x42+x52t(3) 5若總體XN(0,1)，x1, x2, , x6是來(lái)自X的樣本，統(tǒng)計(jì)量Y=(x1+x2+x3)2+(x4+x5+x6)2，則當(dāng)C= 時(shí)，CY服從x2分布，自由度為 .三、計(jì)算題1.某種電子元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取出16只，設(shè)它們的壽命相互獨(dú)立，求這16只元件的壽命的和大于1920小時(shí)的概率2.求總體N(20,3)的容量分別為10和15的兩個(gè)獨(dú)立樣本均值之差的絕對(duì)值大于0.3的概率3.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望E(X)=，方差D(X)= 2 ,x1, x2, , xn是來(lái)自總體X的樣本，記Y=1ni=1n(xi-)2，求E(Y)4.設(shè)x1, x2, , x10是來(lái)自總體XN(0, 0.32)的樣本,求。四、證明題1設(shè)XN(, 2),Yx2(1)，且X與Y相互獨(dú)立，X是來(lái)自總體X的容量為n的樣本均值，Y是來(lái)自總體Y的容量為n的樣本均值，證明