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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是用于證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的正確性的一種嚴格的推理方法在數(shù)學競賽中占有很重要的地位(1)第一數(shù)學歸納法設是一個與正整數(shù)有關的命題,如果 (1數(shù)學歸納法的基本形式)時,成立;假設成立,由此推得時,也成立,那么,根據(jù)對一切正整數(shù)時,成立(2)第二數(shù)學歸納法設是一個與正整數(shù)有關的命題,如果當()時,成立;假設成立,由此推得時,也成立,那么,根據(jù)對一切正整數(shù)時,成立2數(shù)學歸納法的其他形式(1)跳躍數(shù)學歸納法當時,成立,假設時成立,由此推得時,也成立,那么,根據(jù)對一切正整數(shù)時,成立(2)反向數(shù)學歸納法設是一個與正整數(shù)有關的命題,如果 對無限多個正整數(shù)成
2、立;假設時,命題成立,則當時命題也成立,那么根據(jù)對一切正整數(shù)時,成立例如,用數(shù)學歸納法證明: 為非負實數(shù),有 在證明中,由 真,不易證出 真;然而卻很容易證出 真,又容易證明不等式對無窮多個 (只要 型的自然數(shù))為真;從而證明 ,不等式成立(3)螺旋式歸納法 P(n),Q(n)為兩個與自然數(shù) 有關的命題,假如 P(n0)成立; 假設 P(k) (k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假設 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立; 綜合(1)(2),對于一切自然數(shù)n(>n0),P(n),Q(n)都成立;(4)雙重歸納法設 是一個含有兩上獨立自然數(shù) 的命題 與 對任意自然數(shù) 成立;若由
3、和 成立,能推出 成立;根據(jù)(1)、(2)可斷定, 對一切自然數(shù) 均成立3應用數(shù)學歸納法的技巧(1)起點前移:有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)都成立,但命題本身對也成立,而且驗證起來比驗證時容易,因此用驗證成立代替驗證,同理,其他起點也可以前移,只要前移的起點成立且容易驗證就可以因而為了便于起步,有意前移起點(2)起點增多:有些命題在由向跨進時,需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎,此時往往需要補充驗證某些特殊情形,因此需要適當增多起點(3)加大跨度:有些命題為了減少歸納中的困難,適當可以改變跨度,但注意起點也應相應增多(4)選擇合適的假設方式:歸納假設為一定要拘泥于“假設時命題成立”不可,需要根
4、據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學歸納法中的某一形式,靈活選擇使用(5)變換命題:有些命題在用數(shù)學歸納證明時,需要引進一個輔助命題幫助證明,或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要,才能順利進行證明5歸納、猜想和證明在數(shù)學中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對象得出的結論可能是正確的,也可能是錯誤的,這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法不完全歸納法得出的結論,只能是一種猜想,其正確與否,必須進一步檢驗或證明,經(jīng)常采用數(shù)學歸納法證明不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù),而只是針對所有大于等于某個數(shù)字b的自然數(shù),那么證明的步
5、驟需要做如下修改: 第一步,證明當n=b時命題成立。 第二步,證明如果n=m(mb)成立,那么可以推導出n=m+1也成立。 用這個方法可以證明諸如“當n3時,n2>2n”這一類命題。 只針對偶數(shù)或只針對奇數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù),而只是針對所有奇數(shù)或偶數(shù),那么證明的步驟需要做如下修改: 奇數(shù)方面: 第一步,證明當n=1時命題成立。 第二步,證明如果n=m成立,那么可以推導出n=m+2也成立。 偶數(shù)方面: 第一步,證明當n=0或2時命題成立。 第二步,證明如果n=m成立,那么可以推導出n=m+2也成立。 遞降歸納法數(shù)學歸納法并不是只能應用于形如“對任意的n”這樣的命題。對
6、于形如“對任意的n=0,1,2,.,m”這樣的命題,如果對一般的n比較復雜,而n=m比較容易驗證,并且我們可以實現(xiàn)從k到k-1的遞推,k=1,.,m的話,我們就能應用歸納法得到對于任意的n=0,1,2,.,m,原命題均成立。(一)第一數(shù)學歸納法:一般地,證明一個與自然數(shù)n有關的命題P(n),有如下步驟:(1)證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1,但也有特殊情況;(2)假設當n=k(kn0,k為自然數(shù))時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。綜合(1)(2),對一切自然數(shù)n(n0),命題P(n)都成立。(二)第二數(shù)學歸納法:對于某個與自然數(shù)有關的命題P(n),(1)驗證n=n0時P(n)成立;(2)假設n0n<=k時P(n)成立,并在此基礎上,推出P(k+1)成立。綜合(1)(2),對一切自然數(shù)n(n0),命題P(n)都成立。(三)倒推歸納法(反向歸納法):(1)驗證對于無窮多個自然數(shù)n命題P(n)成立(無窮多個自然數(shù)可以是一個無窮數(shù)列中的數(shù),如對于算術幾何不等式的證明,可以是2k,k1);(2)假設P(k+1)(kn0)成立,并在此基礎上,推出P(k)成立,綜合(1)(2),對一切自然數(shù)n(n0),命題P(n)都成立;(四)螺旋式歸納法對兩個與自然數(shù)有關的命題P(n),Q(n),(1)驗證
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