上證180指數的時間序列分析

1、word上證180指數的時間序列研究基于ARIMA模型和GARCH模型姓 名： 陳蓉蓉、楊芷、胡賽龍 學 號： 14212778、14212774、14212775 專 業(yè)： 2022應用統(tǒng)計 教 師： 張俊玉 2022年12月21日目 錄第一局部：根底背景11.1 上證180指數11.2 ARIMA模型11.3 GARCH模型3第二局部：對上證180指數進行ARIMA建模分析52.1 數據的平穩(wěn)性檢驗52.2 白噪聲檢驗72.3 模型識別82.4 模型比擬112.5 殘差白噪聲檢驗122.6 模型預測12第三局部：對上證180指數進行GARCH建模分析153.1 原始數據的時序圖153.2

2、序列p的柱狀圖153.3 序列p的平穩(wěn)性檢驗163.4 序列p的白噪聲檢驗173.5 模型定階173.6 模型殘差是否存在條件異方差193.7 正態(tài)-GARCH滯后階數選擇213.8 模型及其預測22附錄：arima模型原程序26.word第一局部：根底背景1.1 上證180指數股票作為一種重要的理財方式越來越為社會群眾接受。股票在交易市場上作為交易對象，同其他所有商品一樣，有著自己的市場行情和市場價格。不同的是，由于股票的價格受到諸如公司經營狀況、市場供求關系、銀行利率和參與者的心理因素多方面影響，其波動隨著時間存在著很大的不確定性。上證180指數是上海證券交易所對原上證30指數進行調整和更

3、名得到，其樣本股選取了所有A股股票中最具市場代表性的180種股票，入選的股票均是一些規(guī)模大、流動性好、行業(yè)代表性強的股票。該指數不僅在編制方法的科學性、成分選擇的代表性和成分的公開性上有所突破，同時也恢復和提升了成分指數的市場代表性，從而能更全面地反映股價的走勢，自2002年7月1日起正式發(fā)布。作為上證指數系列核心的上證180指數的編制方案，其目的是在于建立一個反映上海證券市場的概貌和運行狀況、具有可操作性和投資性、能夠作為投資評價尺度及金融衍生產品根底的基準指數?；谏献C180指數的以上特性，對其的分析研究以及預測具有明顯的實際意義。時間序列作為一種良好的擬合模型及預測方法，在金融、股票、氣

4、象預報等眾多領域發(fā)揮了不可替代的作用?；诖?，本文采用ARIMA模型和GARCH模型對上證180指數進行實證研究分析，一是檢驗這兩種模型的有效性，二是為投資者的決策提供一定的依據。1.2 ARIMA模型ARIMA模型是由AR模型和MA模型以及兩者的合成ARMA模型的根底上開展而來的。(1) AR模型(auto regression model) 具有如下結構的模型稱為p階自回歸模型，記為AR(p)：(2) MA模型(moving average model) 具有如下結構的模型稱為q階移動平均模型，記為MA(q)：(3) ARMA模型(auto regression moving averag

5、e model) 具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，記為ARMA(p,q)： 假設，該模型稱為中心化ARMA(p,q)模型。(4) ARIMA模型Autoregressive Integrated Moving Average Model 以上的3個模型都是針對平穩(wěn)時間序列的，而現實生活中很多絕大局部序列都是非平穩(wěn)的，因而對非平穩(wěn)序列的分析更普遍更重要。對非平穩(wěn)時間序列的分析方法通常是將其分為確定性時序和隨機時序。常用確實定性時序方法包括趨勢分析、季節(jié)效應分析和綜合分析，在此不再詳細展開贅述。事實上，許多非平穩(wěn)序列差分后會顯示出平穩(wěn)序列的性質，稱之為差分平穩(wěn)序列。對差分平穩(wěn)序列可以用A

6、RIMA模型擬合，ARIMA模型的結構如下所示：式中： ； ，為平穩(wěn)可逆ARMA(p,q)模型的自回歸系數多項式； ，為平穩(wěn)可逆ARMA(p,q)模型的移動平滑系數多項式； 為零均值白噪聲序列。1.3 GARCH模型(1) ARCH模型Autoregressive conditional heteroskedasticity model在介紹GARCH模型之前，有必要介紹下ARCH模型，即自回歸條件異方差模型。其相關性質如下：條件：在時間序列中，給出不同的時點的樣本對于不同時點的觀測值，得到殘差的方差是不同的，故方差隨時間給出的條件而變化，即異方差；自回歸：殘差平方服從AR(p)過程；其中：是

7、一個白噪聲，其無條件方差是一個常數，但的條件方差隨時間而變化。ARCH模型對參數的限制非常嚴格，隨著ARCH階數的增加，其對參數的限制更為復雜，在實際的回歸過程中，很難滿足這樣的條件，現在ARCH模型主要是用來檢驗金融時間序列是否具有條件異方差效應，即ARCH檢驗。(2) GARCH模型Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity ModelARCH(q)模型是關于的分布滯后模型，為防止的滯后項過多，可采用的滯后項的方法，對于 ARCH(q)式，可給出如下形式：，用GARCH(1，1)表示。其中成為ARCH項，稱為GARCH

8、項，表示的條件方差。上式應該滿足的條件是：，當，上式變?yōu)椋核訥ARCH模型可以看成是無限階的ARCH模型。 GARCH模型允許條件方差依賴自身的前期，一般是含有q個ARCH項和p個GARCH項，即：GARCH(p,q):GARCH模型中的參數約束：第二局部：對上證180指數進行ARIMA建模分析由之前的介紹可知，ARIMA模型的實質就是差分運算與ARMA模型的組合。進一步的，在對時間序列進行ARIMA模型建模時，遵循如下的建模步驟：圖 2.1：ARIMA模型建模步驟示意圖對上證180指數的ARIMA建模，選取了上證指數180從2022年1月2日到2022年12月3日的指數序列，除去周末股市停

9、盤等其他意外狀況沒有的數據外共225個數據數據來源于wind資訊作為時間序列進行分析，其中前210個數據用于建模，后15個數據用于模型的預測檢驗。2.1 數據的平穩(wěn)性檢驗 首先，繪制數據的時序圖以及自相關ACF圖和偏自相關PACF圖如下：圖 2.2：原時間序列時序圖及ACF和PACF圖由上圖可知，可直觀地看到該指數的時序圖有明顯的上升趨勢，自相關系數下降地十分緩慢也充分證明了這一點,即原始序列不平穩(wěn)。因此對數據做一階和二階差分，一階差分仍然未滿足平穩(wěn)性要求，得到二階差分的時序圖如下：圖 2.3: 二階差分的時序圖直觀上，可以看出二階差分后的數據已是平穩(wěn)數據，為了增加說服力，接著對二階差分數據采

10、用ADF檢驗和單位根檢驗來判斷該時序的平穩(wěn)性。圖 2.4：ADF檢驗結果圖圖 2.5：單位根檢驗結果圖以上兩種檢驗結果都顯示了不能接受原假設“存在單位根的結果，因此拒絕該序列存在單位根的原假設，即二階差分序列是平穩(wěn)序列。2.2 白噪聲檢驗在證明了上述二階差分數據為平穩(wěn)序列后，對其進行白噪聲檢驗。白噪聲檢驗又稱為純隨機檢驗，假設檢驗的檢驗定理為Barlett 定理，統(tǒng)計量有Q 統(tǒng)計量和LB 統(tǒng)計量，兩者均漸進服從卡方分布。原假設H0為“該序列為白噪聲序列，即拒絕原假設時認為序列為非白噪聲序列，接受原假設時為不能顯著拒絕其的純隨機假定。在R語言中，關于白噪聲檢驗的函數Box.test()只能針對一

11、個特定的階數進行檢驗，通過程序對1-12階延遲皆進行檢驗，并整合到一個表格，結果如下：圖 2.6：白噪聲檢驗結果示意圖由上圖可知，1-12階延遲的p值都遠小于臨界值，顯著性十清楚顯，因此拒絕原假設，認為該序列是非白噪聲序列。綜上，在對原時間序列進行二階差分后，得到了一個平穩(wěn)且非白噪聲序列，根據之前的ARIMA模型建模過程圖，此時可以對該序列進行ARIMA模型的擬合。2.3 模型識別 方法1：利用ACF和PACF定階ARMA模型的根本識別過程如下表所示：表 2.1：ARMA(p,q)模型識別依據模型自相關系數偏自相關系數AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾首先利

12、用該時間序列的ACF和PACF對模型的參數p、q進行定階，ACF和PACF圖如下所示：圖 2.7：二階差分序列的ACF和PACF圖由上圖可知，該序列的ACF圖1階截尾，PACF圖拖尾，因此初步判定該時間序列模型為MA(1)，即原始時間序列為ARIMA(0,2,1)模型。對原始時間序列進行ARIMA(0,2,1)擬合，結果如下列圖所示：圖 2.8: ARIMA(0,2,1)對原始時間序列擬合結果由此可得，模型為：，此時ma1的系數值小于1，說明該模型所代表的序列是平穩(wěn)的。進一步用tsdiag()函數對模型的參數進行檢驗得到下列圖。圖2.9：ARIMA(0,2,1)模型的參數檢驗結果圖中第二行的A

13、CF 檢驗說明殘差沒有明顯的自相關性，第三行的Ljung-Box 測試顯示所有的P-value>0.1，說明殘差為白噪聲，由此可知模型合格。 方法2：選擇最小AIC時的p、q對p=03，q=03進行全組合并做ARIMA模型擬合，得到各個p、q值所對應的模型AIC值如下列圖所示：圖2.10：不同的ARIMA模型的AIC值可見當p=2，q=3時模型的AIC值最小為2211.504，因此對原時間序列進行ARIMA(2,2,3)擬合，結果如下列圖所示：圖2.11：ARIMA(2,2,3)對原始時間序列的擬合結果由此可得模型為：同樣對模型進行tsdiag()函數檢驗，得到的檢驗圖如下所示。下列圖的

14、第二行和第三行同樣可以得到同樣的結論，即該模型的參數是合理的。圖2.12：ARIMA(2,2,3)模型的參數檢驗結果2.4 模型比擬上述2個模型中，第一個模型是較為簡單的，但其中p、q確實定有很大的主觀因素，因此在對原始數據的擬合性上會較差些；第二個模型的依據是最小AIC原那么，對p和q的值同時進行循環(huán)得到最小AIC值時的p、q值作為模型的參數，因此對原始時間序列的擬合性會比第一個模型好。2.5 殘差白噪聲檢驗在模型識別中運用了兩種函數對時間序列進行模型擬合，在此同樣分別對兩種方法的殘差做白噪聲檢驗。殘差的白噪聲檢驗是驗證模型是否充分提取了原時間序列所包含的信息。假設殘差通過白噪聲檢驗，那么說

15、明所擬合的模型合理。與原序列一樣，用Box.test()對ARIMA(0,2,1)和ARIMA(2,2,3)模型做殘差白噪聲檢驗，兩者皆使用LB統(tǒng)計量做檢驗。結果如下表所示：表2.2：ARIMA(0,2,1)和ARIMA(2,2,3)模型的殘差白噪聲檢驗結果ARIMA(0,2,1)模型殘差檢驗結果ARIMA(2,2,3)模型殘差檢驗結果由上表可知，無論哪一種模型的殘差都通過了白噪聲檢驗，因此可以接受上述兩種模型。需要特別指出的是，在使用Box.test()對殘差進行白噪聲檢驗時，需要對其中的參量fitdf賦值fitdf=p+q，表示對殘差的自由度限制。此外，盡管在AIC原那么上，會認為ARIM

16、A(2,2,3)模型更加適宜，進一步用模型對原始數據進行預測來探究這種適宜性是否對預測能力同樣適用。2.6 模型預測及解釋確定以上模型后，對原始時間序列向前做15次向前1步預測，得到的預測結果以及真實值的情況比擬表，以及相應的走勢圖如下所示：表 2.3: 15次1步預測值及真實值比擬表日期真實值法1預測值誤差率日期真實值法2預測值誤差率2022/11/135672.325700.3270.49%2022/11/135672.325676.5120.07%2022/11/145675.975680.8570.09%2022/11/145675.975693.3930.31%2022/11/175

17、637.865684.3690.82%2022/11/175637.865689.310.91%2022/11/185571.045645.1061.33%2022/11/185571.045625.1520.97%2022/11/195557.205576.6850.35%2022/11/195557.205583.7410.48%2022/11/205561.845562.470.01%2022/11/205561.845564.4770.05%2022/11/215674.555567.089-1.89%2022/11/215674.555554.772-2.11%2022/11/245

18、819.735681.846-2.37%2022/11/245819.735699.039-2.07%2022/11/255891.795830.336-1.04%2022/11/255891.795844.827-0.80%2022/11/265998.585904.272-1.57%2022/11/265998.585891.443-1.79%2022/11/276081.396014.561-1.10%2022/11/276081.396026.934-0.90%2022/11/286222.956100.625-1.97%2022/11/286222.956114.562-1.74%2

19、022/12/16230.726252.1170.34%2022/12/16230.726236.9180.10%2022/12/26490.726257.364-3.60%2022/12/26490.726265.773-3.47%2022/12/36564.296556.693-0.12%2022/12/36564.296555.234-0.14%圖 2.13：15次1步預測值及真實值比擬圖上表中，誤差率的計算公式為誤差率=預測值-真實值/真實值，因此誤差率的正負代表了預測值比真實值大小。通過上表可以發(fā)現，兩種方法的預測能力相差不大，在個別數據上的誤差率甚至只有0.01%。計算兩種方法的1

20、5次1步平均誤差率可知，ARIMA(0,2,1)的平均誤差率為-0.68%，ARIMA(2,2,3)的平均誤差率為-0.67%，相差不大。由此說明了以上兩個模型在預測能力上都有較強的準確性。上圖的趨勢首先說明了未來15日內股市呈總體上漲趨勢。兩種方法的預測值始終保持相對平衡的狀態(tài)。同時可以看出，兩種方法在前期的預測效果都比擬好，而在后期的偏離較前期有所變大。查閱相關資料新聞可以了解到，11月下半月到12月初上證股市的行情一路看好，主要的利好原因包括以下三點：、2萬億地方養(yǎng)老金入市，A股或迎來萬億元級別的“活水；、保監(jiān)會下發(fā)征求意見稿，保險投資再松綁，有望為A股輸血4000億元。歷史上2022年

21、8月份的險資松綁，曾引發(fā)了滬指20%以上的漲幅，這也是有利于多頭的信號。、十八屆三中全會的改革內容公布，將會刺激市場之中更多的題材熱點進入新一輪的上漲周期，也會引導市場主力資金逐漸逢低進行戰(zhàn)略性布局，從而勢必會對市場帶來更多的投資時機，后市應該要更加樂觀才對。鑒于市場上的利好因素如此之多，從而造就了這一段根本穩(wěn)步上漲的股市行情。第三局部：對上證180指數進行GARCH建模分析3.1 原始數據的時序圖 數據是選取上證180指數于2022年1月2日到2022年12月3日的指數值，共1682個觀測值，其中以前1672個觀測值作為訓練集建立序列p，對序列p建立GARCH模型，將后10個數據作為測試集檢

22、驗所建立的GARCH模型的預測準確度。序列p的時序圖如下所示：圖3.1：原始序列的時序圖3.2 序列p的柱狀圖 從圖中可以看出上證180指數序列表現出了尖峰厚尾的特點，而且其均值Mean為5989.035，標準差Std. Dev.為1337.104，偏度Skewness為1.769241，大于0，說明序列分布有長的右拖尾。峰度Kurtosis為7.818608，高于正態(tài)分布的峰度值3，說明序列具有尖峰和厚尾的特征。圖3.2：原始序列的柱狀圖3.3 序列p的平穩(wěn)性檢驗 采用ADF檢驗和單位根檢驗來判斷該序列的平穩(wěn)性，檢驗的結果如下所示： 圖3.3：ADF檢驗結果圖 ADF檢驗的p值為0.0203

23、9，單位根檢驗的p值為0.0188，均是小于臨界值0.05的，因此拒絕該序列存在單位根的原假設，原始序列p是平穩(wěn)序列。圖 3.4：單位根檢驗結果圖3.4 序列p的白噪聲檢驗 圖3.5：原始序列的白噪聲檢驗結果 對序列p進行白噪聲檢驗的結果如上圖所示：1-12階延遲的p值都為0，顯著性十清楚顯，因此拒絕原假設，認為該序列是非白噪聲序列。綜上，原時間序列是一個平穩(wěn)非白噪聲序列，因此可以對序列p進行建模。3.5 模型定階(1) 模型參數估計通過序列p滯后12階的自相關系數和偏自相關系數圖可以看出：自相關圖顯示出拖尾的性質而偏自相關圖除一階在兩倍標準差范圍之外，其余的都在兩倍標準差范圍以內波動，呈一階

24、截尾，因此根據這個特點可以判斷該序列具有短期相關性。綜合自相關系數和偏自相關系數的性質為擬合模型定階為AR1。圖3.6：原始序列的自相關圖和偏自相關圖擬合的模型的表達式為：AR(1)模型：估計的模型為：t=4.299 457.431從下表可以看出常數項和的系數的p值均接近0，因此參數估計的假設檢驗均顯著。對數似然值為-10345.65，AIC=12.38498，SC=12.39147。圖3.7：AR1模型的參數估計3.6 模型殘差是否存在條件異方差(1) 方程殘差下列圖是該回歸方程殘差的時序圖，可以發(fā)現波動的聚集性：波動在一些時間段內非常小，而在另一段時間非常大，較大的波動出現往往隨后會出現較

25、大的波動，即波動是相關的，這說明殘差序列存在ARCH效應。圖3.8：回歸方程殘差的時序圖圖3.9：回歸方程殘差的柱狀圖(2) 殘差平方的自相關和偏自相關系數圖 從下列圖可以看出，各階所對應的Q統(tǒng)計量的值均較大，而p值均為0，說明殘差平方存在自回歸，因此也進一步驗證了殘差序列具有ARCH效應。圖3.10：殘差平方的自相關和偏自相關系數圖(3) ARCH LM檢驗： 對估計的模型進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到在滯后階數p=3時的ARCH LM檢驗結果如下，p=0，拒絕原假設，驗證了殘差序列是存在ARCH效應的。圖3.11：模型的ARCH LM檢驗結果3.7 正態(tài)-GARCH滯后階數選擇(

26、1) 首先選取參數項最少的模型GARCH1，1進行擬合，得到的擬合結果如下列圖所示。從圖中可以看到各參數的估計效果較好，p值均較小較顯著。圖3.12：GARCH(1,1)的參數估計結果(2) GARCH(2,1) 從表中可以看出參數估計中殘差平方的滯后一階和二階的系數均不顯著。圖3.13：GARCH(2,1)的參數估計結果(3) GARCH1,2從表中可以看出參數估計中常數項和方差的滯后二階系數均不顯著。圖3.14：GARCH(1,2)的參數估計結果綜合三個模型最終選擇GARCH1,1模型，其AIC=11.91306，SC=11.92280。3.8 模型及其預測(1) 模型方程模型的表達式均值

27、方程為：t=4.299 457.431方差方程為： z =2.588834(7.214355(187.0538)對數似然值為-9950.364，AIC為11.91306，SC為11.92280，方程中的各項的系數是統(tǒng)計顯著的，并且對數似然值有所增加，同時AIC值和SC值均都變小了，這說明GARCH1,1)模型能夠更好的擬合數據。參數的約束條件均值方程AR1平穩(wěn)的條件是，擬合的<1,所以滿足平穩(wěn)性條件；方差方程中的，因此也滿足約束條件。模型解釋 上證180指數成份股選擇所有A股股票中180只最具價值特征的個股組成，成分股呈現出“三低一高市盈率低、市凈率低、市現率低、股息收益率高的特征。上證

28、180價值指數的樣本規(guī)模大，具備較高的市場代表性。從2022年到2022年的指數的時序圖可以看出，2022年整體呈遞減的趨勢，這主要是由于金融危機所造成的，在之后的6年里的波動較平穩(wěn)，都圍繞6000左右波動。上證180價值指數的波動率一般小于其他中小市值指數，比擬適合追求低風險、穩(wěn)定收益的個人投資者，以及追求長期穩(wěn)定收益、有戰(zhàn)略配置需求的機構投資者。(2) 模型擬合圖圖3.15：GARCH(1,1的擬合圖(3)殘差白噪聲檢驗圖3.16：GARCH(1,1)殘差的白噪聲檢驗結果通過滯后12階的白噪聲檢驗結果可以看出，各階的p值均大于0.05，因此接受原假設，認為模型擬合后的殘差是白噪聲序列，模型

29、提取的比擬充分。(4)模型預測 樣本外多步預測： 對預設范圍內的10個值進行預測，選擇的是動態(tài)預測，預測結果如下：即從表中的相對誤差可以看出前期的預測值與真實值的相對誤差較小，然而后期的預測值的相對誤差較大，說明了模型只適合于短期的預測，對于長期的預測，誤差較大。10步的平均相對誤差為6.387%。表3.1：10步預測對原始數據的預測值與真實值比擬時間真實值預測值相對誤差2022/11/205,561.845557.68450.07%2022/11/215,674.555558.16412.05%2022/11/245,819.735558.63884.49%2022/11/255,891.7

30、95559.10865.65%2022/11/265,998.585559.57377.32%2022/11/276,081.395560.0348.57%2022/11/286,222.955560.489610.65%2022/12/16,230.725560.940610.75%2022/12/26,490.725561.38714.32%2022/12/36,564.295561.828915.27% 預測值及預測方差的時序圖 根據模型得到的預測值如下兩圖所示： 圖3.17：預測值及預測方差的時序圖圖中的預測區(qū)間的范圍隨著時間的增加而擴大，預測的方差的值也隨著時間的增加呈上升趨勢，進一

31、步說明了后期的預測值的誤差較大，模型只能進行短期預測。假設要進行長期預測可以引入后期的真實值，這樣可以使得預測的精確度更高。樣本外一步預測 表3.2：一步預測對原始數據的預測值與真實值比擬時間真實值預測值相對誤差2022/11/205,561.845557.68450.07%2022/11/215,674.555558.16412.05%2022/11/245,819.735673.83932.51%2022/11/255,891.795817.54071.26%2022/11/265,998.585888.86681.83%2022/11/276,081.395994.56911.43%20

32、22/11/286,222.956076.53572.35%2022/12/16,230.726216.65400.23%2022/12/26,490.726224.34494.10%2022/12/36,564.296481.69681.26%樣本外一步預測是每次只進行一步預測，每次預測的時候都引入前期的真實值，最終的平均相對誤差為1.709%，這說明了運用模型進行短期預測的效果較好。附錄：arima模型原程序#1、讀入數據shangzheng=read.csv("e:/shangzheng2022.csv",T)head(shangzheng)install.packa

33、ges("tseries")library(tseries)shangzhengts=ts(shangzheng)head(shangzhengts)#2、平穩(wěn)性判別par(mfrow=c(2,2)plot(shangzhengts)acf(shangzhengts);pacf(shangzhengts)par(mfrow=c(1,1)#差分平穩(wěn),平穩(wěn)性檢驗shangzhengtsdiff2=diff(shangzhengts,differences=2)plot(shangzhengtsdiff2)#單位根檢驗H0：假設原序列有單位根無單位根序列平穩(wěn)install.pac

34、kages("fUnitRoots")library(fUnitRoots)adfTest(shangzhengtsdiff2) unitrootTest(shangzhengtsdiff2)#3、白噪聲檢驗result=0;lag=0;LB=0;p=0for(i in 1:12) Btest=Box.test(shangzhengtsdiff2,type="Ljung-Box",lag=i) lagi=i LBi=Btest$statistic pi=Btest$p.value (result=cbind(lag,LB,p)#4、模型擬合及殘差白噪聲檢

35、驗#法1:看acf和pacfacf(shangzhengtsdiff2);pacf(shangzhengtsdiff2) #ma(1)(ARIMA=arima(shangzhengts,order=c(0,2,1),method="CSS")tsdiag(ARIMA) #模型檢驗 #殘差白噪聲檢驗resid1=ARIMA$residuals res.result=0;res.lag=0;res.LB=0;res.p=0 for(i in 1:12) Btest=Box.test(resid1,type="Ljung-Box",lag=i,fitdf=1) res.lagi=i res.LBi=Btest$statistic res.