抽象函數(shù)的性質(zhì)及其經(jīng)典例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上抽象函數(shù)的性質(zhì)及其金典例題函數(shù)的周期性：1、定義在xR上的函數(shù)y=f(x)，滿足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a0)恒成立，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；2、若y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；3、若y=f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；4、若y=f(x) 的圖像有一個(gè)對稱中心A(a,0)和一條對稱軸x=b（ab），則函數(shù)y=f(x)是周期為4|a-b|的周期函數(shù)；5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f

2、(a-x)，其中a0，且如果y=f(x)為奇函數(shù)，則其周期為4a；如果y=f(x)為偶函數(shù)，則其周期為2a；6、定義在xR上的函數(shù)y=f(x)，滿足f(x+a)=-f(x)，則y=f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)；7、若在xR恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；8、若在xR恒成立，其中a0，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)。函數(shù)圖像的對稱性：1、若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線對稱；2、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱；3、若函數(shù)y=

3、f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形；4、曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y)=0；5、形如的圖像是雙曲線，由常數(shù)分離法知：對稱中心是點(diǎn)；6、設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線對稱；7、若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的圖像關(guān)于直線y=x+a對稱。含有函數(shù)記號“”有關(guān)問題解法由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對解有關(guān)函數(shù)記號的問題感到困難，學(xué)好這部分知識，能加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能

4、力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1：已知 ,求.解：設(shè),則2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3 已知二次實(shí)函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當(dāng) 0時(shí),求

5、解:為奇函數(shù)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故先求0,為奇函數(shù)，當(dāng)0時(shí)例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見+即可消去,求出函數(shù)再代入求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達(dá)式例6：設(shè)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件,及=1,求解：的定義域?yàn)镹，取=1,則有=1,=+2,以上各式相加，有=1+2+3+=二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7 已知,對一切實(shí)數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0=1為偶函數(shù)。2.確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)

6、遞減，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內(nèi)遞減，3.解不定式的有關(guān)題目 例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有=2為拋物線=的對稱軸又其開口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，為增函數(shù)(3)(4),(2)(1)(4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。例2、已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設(shè)條件可猜測：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ，