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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上抽象函數(shù)的性質(zhì)及其金典例題函數(shù)的周期性:1、定義在xR上的函數(shù)y=f(x),滿足f(x+a)=f(x-a)(或f(x-2a)=f(x))(a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);2、若y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù);3、若y=f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和(b,0)對稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù);4、若y=f(x) 的圖像有一個(gè)對稱中心A(a,0)和一條對稱軸x=b(ab),則函數(shù)y=f(x)是周期為4|a-b|的周期函數(shù);5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f
2、(a-x),其中a0,且如果y=f(x)為奇函數(shù),則其周期為4a;如果y=f(x)為偶函數(shù),則其周期為2a;6、定義在xR上的函數(shù)y=f(x),滿足f(x+a)=-f(x),則y=f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù);7、若在xR恒成立,其中a0,則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù);8、若在xR恒成立,其中a0,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)。函數(shù)圖像的對稱性:1、若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線對稱;2、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;3、若函數(shù)y=
3、f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c,則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形;4、曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y)=0;5、形如的圖像是雙曲線,由常數(shù)分離法知:對稱中心是點(diǎn);6、設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上,則y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線對稱;7、若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù),則y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的圖像關(guān)于直線y=x+a對稱。含有函數(shù)記號“”有關(guān)問題解法由于函數(shù)概念比較抽象,學(xué)生對解有關(guān)函數(shù)記號的問題感到困難,學(xué)好這部分知識,能加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解,更好地掌握函數(shù)的性質(zhì),培養(yǎng)靈活性;提高解題能
4、力,優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?,F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下:一、求表達(dá)式:1.換元法:即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式,從而求出,這也是證某些公式或等式常用的方法,此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1:已知 ,求.解:設(shè),則2.湊合法:在已知的條件下,把并湊成以表示的代數(shù)式,再利用代換即可求.此解法簡潔,還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。 例2:已知,求解:又,(|1)3.待定系數(shù)法:先確定函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件,定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3 已知二次實(shí)函數(shù),且+2+4,求.解:設(shè)=,則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當(dāng) 0時(shí),求
5、解:為奇函數(shù),的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,故先求0,為奇函數(shù),當(dāng)0時(shí)例5一已知為偶函數(shù),為奇函數(shù),且有+, 求,.解:為偶函數(shù),為奇函數(shù),,不妨用-代換+= 中的,即顯見+即可消去,求出函數(shù)再代入求出5.賦值法:給自變量取特殊值,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律,求出的表達(dá)式例6:設(shè)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集,且滿足條件,及=1,求解:的定義域?yàn)镹,取=1,則有=1,=+2,以上各式相加,有=1+2+3+=二、利用函數(shù)性質(zhì),解的有關(guān)問題1.判斷函數(shù)的奇偶性:例7 已知,對一切實(shí)數(shù)、都成立,且,求證為偶函數(shù)。證明:令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0=1為偶函數(shù)。2.確定參數(shù)的取值范圍例8:奇函數(shù)在定義域(-1,1)內(nèi)
6、遞減,求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由得,為函數(shù),又在(-1,1)內(nèi)遞減,3.解不定式的有關(guān)題目 例9:如果=對任意的有,比較的大小解:對任意有=2為拋物線=的對稱軸又其開口向上(2)最小,(1)=(3)在2,)上,為增函數(shù)(3)(4),(2)(1)(4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù),是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y,均有f(xy)f(x)f(y),且當(dāng)x0時(shí),f(x)0,f(1)2,求f(x)在區(qū)間2,1上的值域。分析:由題設(shè)可知,函數(shù)f(x)是的抽象函數(shù),因此求函數(shù)f(x)的值域,關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解:設(shè),當(dāng),即,f(x)為增函數(shù)。在條件中,令yx,則,再令xy0,則f(0)2 f(0), f(0)0,故f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù),f(1)f(1)2,又f(2)2 f(1)4, f(x)的值域?yàn)?,2。例2、已知函數(shù)f(x)對任意,滿足條件f(x)f(y)2 + f(xy),且當(dāng)x0時(shí),f(x)2,f(3)5,求不等式的解。 分析:由題設(shè)條件可猜測:f(x)是yx2的抽象函數(shù),且f(x)為單調(diào)增函數(shù),如果這一猜想正確,也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號,從而可求得不等式的解。 解:設(shè),當(dāng),則, 即,f(x)為單調(diào)增函數(shù)。 ,
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