一次函數(shù)知識點經(jīng)典例題練習

1、一次函數(shù)及其性質(zhì)l 知識點一 一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，當時，即，這時即是前一節(jié)所學過的正比例函數(shù)一次函數(shù)的解析式的形式是，要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式當，時，仍是一次函數(shù)當，時，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)l 知識點二 一次函數(shù)的圖象及其畫法一次函數(shù)（，為常數(shù)）的圖象是一條直線由于兩點確定一條直線，所以在平面直角坐標系內(nèi)畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩個點，再連成直線即可如果這個函數(shù)是正比例函數(shù)，通常取，兩點；如果這個函數(shù)是一般的一次函數(shù)（），通常取，即直線與兩坐標軸的交點由函數(shù)圖象的意義知，

2、滿足函數(shù)關(guān)系式的點在其對應的圖象上，這個圖象就是一條直線，反之，直線上的點的坐標滿足，也就是說，直線與是一一對應的，所以通常把一次函數(shù)的圖象叫做直線：，有時直接稱為直線l 知識點三 一次函數(shù)的性質(zhì)當時，一次函數(shù)的圖象從左到右上升，隨的增大而增大；當時，一次函數(shù)的圖象從左到右下降，隨的增大而減小l 知識點四 一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與、的符號一次函數(shù)，符號圖象性質(zhì)隨的增大而增大隨的增大而減小一次函數(shù)中，當時，其圖象一定經(jīng)過一、三象限；當時，其圖象一定經(jīng)過二、四象限 當時，圖象與軸交點在軸上方，所以其圖象一定經(jīng)過一、二象限；當時，圖象與軸交點在軸下方，所以其圖象一定經(jīng)過三、四象限反之，由一次函數(shù)的圖象

3、的位置也可以確定其系數(shù)、的符號l 知識點五 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式定義：先設出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待字系數(shù)法用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的解析式；將的幾對值，或圖象上的幾個點的坐標代入上述的解析式中，得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組；解方程（組），得到待定系數(shù)的值；將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中，得到所求的函數(shù)解析式類型一：點的坐標方法： x軸上的點縱坐標為0，y軸上的點橫坐標為0；若兩個點關(guān)于x軸對稱，則他們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；若兩個點關(guān)于y軸對稱，則它們的縱坐標相同

4、，橫坐標互為相反數(shù)；若兩個點關(guān)于原點對稱，則它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù)；1、已知A（4，b），B（a,-2），若A，B關(guān)于x軸對稱，則a=_,b=_;若A,B關(guān)于y軸對稱，則a=_,b=_;若若A，B關(guān)于原點對稱，則a=_,b=_；舉一反三：【變式1】若點M（1-x,1-y）在第二象限，那么點N（1-x,y-1）關(guān)于原點的對稱點在第_象限?！咀兪?】若點A（m,n）在第二象限，則點（|m|,-n）在第_象限；【變式3】若點P（2a-1,2-3b）是第二象限的點，則a,b的范圍為_。類型二：關(guān)于點的距離的問題方法：點到x軸的距離用縱坐標的絕對值表示，點到y(tǒng)軸的距離用橫坐標的絕對值

5、表示； 任意兩點的距離為； 若ABx軸，則的距離為； 若ABy軸，則的距離為； 點到原點之間的距離為 2、已知點P（3,0），Q(-2,0),則PQ=_,已知點,則MQ=_;,則EF兩點之間的距離是_;已知點G（2，-3）、H（3,4），則G、H兩點之間的距離是_；舉一反三：【變式1】兩點（3，-4）、（5，a）間的距離是2，則a的值為_；【變式2】已知點A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C點在x軸上，且ACB=90，則C點坐標為_.【變式3】點D（a,b）到x軸的距離是_；到y(tǒng)軸的距離是_；到原點的距離是_；類型三：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義方法：若y=kx+b(k,b是常數(shù)，k

6、0)，那么y叫做x的一次函數(shù)，特別的，當b=0時，一次函數(shù)就成為y=kx(k是常數(shù)，k0)，這時，y叫做x的正比例函數(shù)，當k=0時，一次函數(shù)就成為若y=b，這時，y叫做常函數(shù)。A與B成正比例A=kB(k0)3、當m為何值時，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)？思路點撥：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k0舉一反三：【變式1】如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么（ ）.Am=2或m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當x=4時，求y的值；（3）當y=4時，求x的值【變式3】已知一次函

7、數(shù) （1）當m取何值時，y隨x的增大而減??？ （2）當m取何值時，函數(shù)的圖象過原點？類型四：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式方法：依據(jù)兩個獨立的條件確定k,b的值，即可求解出一次函數(shù)y=kx+b（k0）的解析式。 已知是直線或一次函數(shù)可以設y=kx+b（k0）； 若點在直線上，則可以將點的坐標代入解析式構(gòu)建方程。4、求圖象經(jīng)過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達式思路點撥：圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達式的一次項系數(shù)為2，則可設此表達式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可舉一反三：【 變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（kg）的一次

8、函數(shù)，現(xiàn)已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函數(shù)的表達式分析:題中并沒給出一次函數(shù)的表達式，因此應先設一次函數(shù)的表達式y(tǒng)=kx+b，再由已知條件可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2求出k，b即可【變式2】已知直線y=2x+1（1）求已知直線與y軸交點M的坐標；（2）若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對稱，求k，b的值【變式3】判斷三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上分析：由于兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經(jīng)過這兩點的函數(shù)表達式，再把第三個點的坐標代入表達式中，若成立，說明第三點在此直線上；若不

9、成立，說明不在此直線上類型五：函數(shù)圖象及其應用方法：函數(shù)圖象性質(zhì)經(jīng)過象限變化規(guī)律y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k0）k0b0b=0b0k0b0b=0b0一次函數(shù)y=kx+b（k0）中k、b的意義： k(稱為斜率)表示直線y=kx+b（k0） 的傾斜程度；b（稱為截距）表示直線y=kx+b（k0）與y軸交點的 ，也表示直線在y軸上的。同一平面內(nèi)，不重合的兩直線 y=k1x+b1（k10）與 y=k2x+b2（k20）的位置關(guān)系：當時，兩直線平行。 當時，兩直線垂直。當時，兩直線相交。 當時，兩直線交于y軸上同一點。特殊直線方程：X軸 : 直線Y軸 : 直線與X軸平行的直線 與Y軸平行的直線一、

10、三象限角平分線 二、四象限角平分線5、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)汽車共行駛了_ km；(2)汽車在行駛途中停留了_ h；(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為_ km/h；(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是_.舉一反三：【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系，求它們行進的速度關(guān)系?！咀兪?】（2011四川內(nèi)江）小高從家騎自行車去學校上學，先走上坡路到達點A，再走下坡路到達點B，最后走

11、平路到達學校，所用的時間與路程的關(guān)系如圖所示。放學后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學時一致，那么他從學校到家需要的時間是( )A.14分鐘 B.17分鐘 C.18分鐘 D.20分鐘【變式3】某種洗衣機在洗滌衣服時,經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示：根據(jù)圖象解答下列問題： （1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升. 求排水時y與x之間的關(guān)系式； 如果排水時間為 2分鐘，求排水結(jié)束時洗衣機中剩下的水量.分析：依題

12、意解讀圖象可知：從04分鐘在進水，415分鐘在清洗，此時，洗衣機內(nèi)有水40升，15分鐘后開始放水.類型六：一次函數(shù)的性質(zhì) 方法：當時，一次函數(shù)的圖象從左到右上升，隨的增大而增大；當時，一次函數(shù)的圖象從左到右下降，隨的增大而減小6、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點A（一6，0），交y軸于點B，且AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值思路點撥：設函數(shù)的圖象與y軸交于點B（0，b），則OB=,由AOB 的面積，可求出b，又由點A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質(zhì)確定k的取值舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)（1）m為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點?（2）m為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)

13、過點（0，2）?（3）m為何值時，函數(shù)的圖象和直線y=x平行?（4）m為何值時，y隨x的增大而減??？【變式2】函數(shù)在直角坐標系中的圖象可能是（ ）【變式3】一次函數(shù) y=(6-3m)x(2n4)不經(jīng)過第三象限，則m、n的范圍是_。類型七：平移方法：直線y=kx+b與y軸交點為（0，b），直線平移則直線上的點（0，b）也會同樣的平移，平移不改變斜率k， b則將平移后的點代入解析式求出b即可。直線y=kx+b向左平移2向上平移3 y=k(x+2)+b+3;（“左加右減，上加下減”）。7、過點（2，-3）且平行于直線y=2x的直線是_ _。舉一反三：【變式1】 過點（2，-3）且平行于直線y=-3x

14、+1的直線是_.【變式2】直線m:y=2x+2是直線n向右平移2個單位再向下平移5個單位得到的，而（2a,7）在直線n上，則a=_；【變式3】把函數(shù)y=3x+1的圖像向右平移2個單位再向上平移3個單位，可得到的圖像表示的函數(shù)是_。類型八：交點問題及直線圍成的面積問題方法：兩直線交點坐標必滿足兩直線解析式，求交點就是聯(lián)立兩直線解析式求方程組的解；復雜圖形“外補內(nèi)割”即：往外補成規(guī)則圖形，或分割成規(guī)則圖形（三角形）；往往選擇坐標軸上的線段作為底，底所對的頂點的坐標確定高；8、已知直線m經(jīng)過兩點（1,6）、（-3，-2），它和x軸、y軸的交點式B、A，直線n過點（2，-2），且與y軸交點的縱坐標是-

15、3，它和x軸、y軸的交點是D、C；（1） 分別寫出兩條直線解析式，并畫草圖；（2） 計算四邊形ABCD的面積；（3） 若直線AB與DC交于點E，求BCE的面積。舉一反三：【變式1】如圖，A、B分別是x軸上位于原點左右兩側(cè)的點，點P（2，p）在第一象限，直線PA交y軸于點C（0,2），直線PB交y軸于點D，AOP的面積為6；（4） 求COP的面積；（5） 求點A的坐標及p的值；（6） 若BOP與DOP的面積相等，求直線BD的函數(shù)解析式?！咀兪?】已知：經(jīng)過點（-3，-2），它與x軸，y軸分別交于點B、A，直線經(jīng)過點（2，-2），且與y軸交于點C（0，-3），它與x軸交于點D （1）求直線的解析式

16、； （2）若直線與交于點P，求的值?！咀兪?】如圖，已知點A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求ABC的面積。類型九：一次函數(shù)綜合10、已知：如圖，平面直角坐標系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），過點C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點D，交線段AB于點E。（1）求OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；（2）若OCD與BDE的面積相等，求直線CE的解析式；若y軸上的一點P滿足APE=45，請直接寫出點P的坐標。思路點撥：（1）由A，B兩點的坐標知，AOB為等腰直角三角形，所以OAB=45（2）OCD與BDE的面積相等，等價于ACE與AOB面積相等，故可求E點坐標，從而得到CE的解析式

17、；因為E為AB中點，故P為（0,0）時，APE=45.舉一反三：【變式1】在長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點P沿邊按ABCD的方向向點D運動（但不與A，D兩點重合）。求APD的面積y()與點P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍。【變式2】如圖，直線與x軸y軸分別交于點E、F，點E的坐標為（-8，0），點A的坐標為（-6，0）。（1）求的值；（2）若點P（，）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點，在點P的運動過程中，試寫出OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）探究：在（2）的條件下，當點P運動到什么位置時，OPA的面積為，并說明理由。【變式

18、3】已知一個正比例函數(shù)與一個一次函數(shù)的圖象交于點A（3,4），且OA=OB(1)求兩個函數(shù)的解析式；(2)求AOB的面積。一次函數(shù)練習一、選擇題1.若是正比例函數(shù)，則b的值是（ ） A.0 B. C. D.2.當時,函數(shù)的函數(shù)值為 ( )A.-25 B.-7 C. 8 D.113.函數(shù)y=(k-1)x，y隨x增大而減小，則k的范圍是 ( )A. B. C. D.4.一次函數(shù)不經(jīng)過的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5.若把一次函數(shù)y=2x3,向上平移3個單位長度，得到圖象解析式是( )A、y=2x B、 y=2x6 C、 y=5x3 D、y=x36.一次函數(shù)的圖象與直

19、線y= -x+1平行，且過點（8，2），此一次函數(shù)的解析式為：（ ） A、y=2x-14 B、y=-x-6 C、y=-x+10 D、y=4x7如果直線y2xm與兩坐標軸圍成的三角形面積等于m，則m的值是（）A、3B、3C、4D、48點A（，）和B（，）在同一直線上，且若，則，的關(guān)系是（ ）A、 B、 C、 D、無法確定9.若m0, n0, 則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過 （ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2xy0210、一次函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象如圖所示，則不等式的解集是（ ）ABCD11.已知函數(shù),當-1x1時，y 的取值范圍是（ ）A. B. C. D.12

20、已知兩個一次函數(shù)y=x+3k和y=2x6的圖象交點在y軸上，則k的值為（ ）A、3 B、1 C、2 D、213已知一次函數(shù)y=kxk，若y隨x的增大而減小，則該函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D(zhuǎn)、第一、三、四象限14.當時，函數(shù)y=ax+b與在同一坐標系中的圖象大致是（）15一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論k0；當x3時，y10)CS=30t (0t40) DS=30t (t4)二、填空題1.若關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)，則m=，n.2在函數(shù)中，自變量的取值范圍是。3把函數(shù)的圖像向平移個單位得到函數(shù)。4直線y=2x+b經(jīng)過點

21、(1，3)，則b= _5. 已知一次函數(shù)y=-3x+2，它的圖像不經(jīng)過第象限.6.若一次函數(shù)ymx-(m-2)過點(0,3)，則m=7.函數(shù)y= -x+2的圖象與x軸，y軸圍成的三角形面積為_.8已知函數(shù)y=3x+b的圖象過點（1，2）和（a，4），則a=_9某一次函數(shù)圖象過點（1，5），且函數(shù)y的值隨自變量x的值的增大而增大，請你寫出一個符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式_10已知直線y=x-3與y=2x+2的交點為（-5，-8），則方程組的解是_11.若直線y=kx+b平行直線y=5x+3，且過點（2，-1），則k=_ ,b=_ .12直線y=2x+3與y=3x2b的圖象交x軸上同一點，則b=_.1

22、3寫出一個圖象經(jīng)過點（1，1），且不經(jīng)過第一象限的函數(shù)關(guān)系式_.14一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)的圖象平行，且與直線y=2x1交于y軸上同一點，則這個一次函數(shù)的關(guān)系式為_.0340.71y(元)x(分)15.在某公用電話亭打電話時，需付電話費y（元）與通話時間 x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示如圖.小明打了2分鐘需付費_元；小莉打了8分鐘需付費_元.三、計算題1畫出函數(shù)y=-2x+5的圖象，結(jié)合圖象回答下列問題： （1）這個函數(shù)中，隨著x的增大，它的圖象從左到右是怎樣變化的？ （2）當x取何值時，y=0？ （3）當x取何值時，函數(shù)的圖象在x軸的下方？2已知一次函數(shù)y=（4m+1）x-（m+1）， （1）m為何值時，y隨x的增大而減小？ （2）m為何值時，直線與y軸的交點在x軸的下方？ （3）m為何值時，直線位于第二，三，四象限？3已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=（3a-7）x+a-2的圖象與y軸的交點在x軸的上方，且當x1y2，求a的取值范圍4.已知直線.(1) 求已知直線與y軸的交點A的坐標;(2)若直線與已知直線關(guān)于y軸對稱，求k與b的值.5已知直線y=-x+3與y=2x-1，求它們與y軸所圍成的三角形的面積6如圖，已知直線L1：