2020屆湖南省永州市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、-1 -永州市 2020 年高考第三次模擬考試試卷數(shù)學(xué)（理科）目要求的.4.圖 1 為某省 2019 年 1 至 4 月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖，圖2 是該省 2019 年 1 至 4 月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖，下列對統(tǒng)計圖理解錯誤 的是（）（“同比”指與去年同月相比）A. 2019 年 1 至 4 月的快遞業(yè)務(wù)收入在 3 月最高，2 月最低，差值超過 20000 萬元B. 2019 年 1 至 4 月的快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率不低于30%，在 3 月最高C. 從 1 至 4 月來看，該省在 2019 年快遞業(yè)務(wù)量同比增長率月增長D. 從兩圖來看 2019 年 1 至 4 月中的同一個月快遞業(yè)務(wù)量與收入的同

2、比增長率不完全一致5.下列說法正確的是（）A. 若“p q”為真命題，則“p q”為真命題B. 命題“x 0，exx 1 0”的否定是“x00，e0 x。1 0”、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題1. 已知集合M x|x| y Ig x21，則MINA.x| 1B.x| 1 xC.x|1 x 3D.x | 1 x 12. 已知復(fù)數(shù)z滿足z2i3 4i （i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知a0.40.3，b0.30.3，c0.30.4，則()A.a c bB.a

3、 b cC.c a bD.b c a5總以杭X.-11-2 -1C.命題若x 1，則1”的逆否命題為真命題xD.“x 1”是“x25x 60”的必要不充分條件x成立，則實數(shù)a的取值范圍是（6.在銳角 ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，e，若beosC eeosB2e eosC，則角C的取值范圍為（B. 0,67.已知平面向量A.13rr rrrr rc均為單位向量，若a b1，貝Uabbe的最大值是(2B. 3C.33D.12 32 28.我國傳統(tǒng)的房屋建筑中,常會出現(xiàn)一些形狀不同的窗欞，窗欞上雕刻有各種花紋，構(gòu)成種類繁多的精美圖案如圖所示的窗欞圖案,是將邊長為2R的正方形的內(nèi)切圓六等

4、分，分別以各等分點為圓心，以R為半徑畫圓弧，在圓的內(nèi)部構(gòu)成的平面圖形.若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點在窗欞圖案上陰影內(nèi)的概率為B.9.已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函2.若對任意的x 1,2，A.0,2B.0,2 U,6C.2,0D.2,0 U6,10.已知雙曲線2 2x y2 r1 a 0,b0的左、右頂點分別為A，a bB，左焦點為F,P為C上一點,且PF x軸,過點A的直線I與線段PF交于點M（異于P，F(xiàn)），與y軸交于點N，直線MB與y軸( ( ) )-3 -交于點H，若UULTHNUJir3OH（O為坐標(biāo)原點），則C的離心率為（A. 2B. 3C. 4D. 5-4 -15.已知拋物線y2

5、4x的焦點為F，準(zhǔn)線為I，過點F且斜率為.3的直線交拋物線于點M（M在第象限），MN I，垂足為N，直線NF交y軸于點D，則|MD16.在四面體ABCD中，CA CB，DA DB，AB 6，CD 8，AB平面，1平面，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC的中點，當(dāng)四面體以AB為軸旋轉(zhuǎn)時，直線EF與直線l夾角的余弦值的取值范 圍是.三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第 17 題第 21 題為必考題，考生都必須作答，第22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：60 分.17.已知Sn是公差不為零的等差數(shù)列an的前n項和，S36，33是31與3

6、9的等比中項11.已知函數(shù)f Xsin x 31在區(qū)間0,2上有且僅有 2 個零點，對于下列 4個結(jié)論：在區(qū)間0,上存在，X2，滿足f為f x2f x在區(qū)間0,有且僅有 1 個最大值點；f在區(qū)間0,一上單調(diào)遞增；15的取值范圍是11-，其中所有正確結(jié)論的編號是16 2A.B.C.D.12.設(shè)函數(shù)ft In x 2x恰有兩個極值點，則實數(shù)t的取值范圍是（A.亍,B.eU31,1,D.1,二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分.213.二項式-：.sx x的展開式中x2的系數(shù)是14.在今年的疫情防控期間，某省派出5 個醫(yī)療隊去支援武漢市的4 個重災(zāi)區(qū)，每個重災(zāi)區(qū)至少分配一個醫(yī)療

7、隊，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字填寫答案）-5 -（1）求數(shù)列an的通項公式；4a*（2） 設(shè)數(shù)列bn（ 1）n宀n N,數(shù)列bn的前2n項和為 ，若P2n4n 1的最小值.（1）證明：DF AC；（2）求二面角B AD E的正弦值.2 219.已知橢圓C:務(wù) 每1 a b 0與拋物線D:寸4x有共同的焦點F，且兩曲線的公共點到a bF的距離是它到直線x 4（點F在此直線右側(cè)）的距離的一半 .（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線I過點F且與橢圓交于A，B兩點，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAMB. 是否存在直線l，使點M落在橢圓C或拋物線D上？若存在，求出點M坐標(biāo)；若不存在，

8、請說明理由.20.為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進行：第一階段由評委給出 所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對X都在70,100內(nèi)，在以組距為 5 畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（1）試確定 n 的所有取值，并求k；，求正整18.在如圖的空間幾何體中，四邊形BCED為直角梯形,DBC 90，BC 2DE，AB AC 2，CEAE3，且平面BCED平面ABC，F(xiàn)為棱AB的中點.第一階段的分?jǐn)?shù)進行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)8n 109（設(shè)“頻率 Y”時，發(fā)現(xiàn)Y滿足Y組距300,n16丄k丄n1520 n，n N,5n X

9、 5 n 11695,100的-6 -185,90的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有丄的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降7低獲獎等級）.已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段評為二等獎.參賽者評為一等獎；分?jǐn)?shù)在90,95的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在11（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85 分的參賽者無緣獲獎也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在-7 -(i)求學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級的概率;(ii )已知學(xué)生A和B都獲獎，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為21.已知函數(shù)f x x 1 ln x21，g x axx cos

10、x.22x(1)當(dāng)x 0時，總有f x2(二)選考題：10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做第一題計分22.選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為2x2(2)設(shè)P是橢圓y21上的動點，求423.選修 4-5 :不等式選講2020 年高考第三次模擬考試試卷數(shù)學(xué)(理科)參考答案要求的(2)對于0,1中任意 x 恒有f xg x，求a的取值范圍.3(1)寫出曲線 C 的極坐標(biāo)方程，并求出直線I與曲線C的交點M,N的極坐標(biāo);已知f x x22x1.(1)解關(guān)于 x 的不等式:2x；x(2)若f x的最小值為M，且a bM a,b,c R，求證:a

11、2b22 ,2j 2.a、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目1-5： CDBCC6-10: ACBDB11-12： BD1.解析：Nx|x21 0 x| x 1或x1，M I N x|1 x 3，選 C.2.解析：z5(1 2i)1 2i (1 2i)(12i)1 2i，在第四象限，選 D.，求的分布列和數(shù)學(xué)期望mx，求m的最在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的方程為2 2x 2x y 0.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立PMN永州市3-8 -3.解析:小小0.30.4a 0.40.30.3，即b c,而b 0.30.30.3

12、C，選 B.4.解析:由圖表易知，選C.5.解析:“ p q”為真,則命題p,q有可能一真一假，則q”為假，故選項 A 說法不正確；命題“x0，exx 10”的否定應(yīng)該是“x。0,eXo10”，故選項 B 說法不正確；因命題11，則1”為真命題，則其逆否命題為真命題， 故選項 C 說法正確；因x 1 x25x 6 0,x但x25x所以“x 1”是“x5x 6 0”的充分不必要條件，選項D說法不正確; 選 C.6.解析：T Tsin BcosCsinC cosB2sin CcosC , sinCsin2C, BC 4C7.解析:當(dāng)且僅當(dāng)8.解析:b與c反向時取等號先計算半片花瓣面積:R2(29.

13、解析：依題意作出向右（a 0時）平移才能滿足f x才能滿足f x,C2 8口r廣 a 2a b.選 C.60 R2.32- - R3604,3,3 , ,A.R2,3 3） R2，故所求概率為f x的圖象，y33) R2_4R22f x a的圖象可以看成是y f x的圖象向左（a 0時）或a個單位而得.當(dāng)a 0時，y f x的圖象至少向左平移 6 個單位（不含 6 個單位）f x成立，當(dāng)a 0時，f x成立（對任意的x10.解析：不妨設(shè)P在第二象項,FMy f x的圖象向右平移至多 2 個單位（不含 2 個單位）1,2)，故x 2,0 U6,，選 D.H 0,hlurh 0，由HNumr3OH

14、知N 0, 2h，由m c a AFM : AON，得c a2h1(1) , (2)兩式相乘得2（1）,由 BOH :a口，即c 3a，離心率為c a BFM,3.選 B.11.解析：T Tx 0,3-9 -10 -X 1兩側(cè)附近同號，使得X 1不是極值點不合選 D.、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上13.-8014. 24015.2、316.0,5x)5r25 3r13. 解析：展開式通項c；（-53 rr C( 2)rx2，依題意，乞-2，得r 3，X2的系數(shù)是X2C；3280.由題意，sinz 1在3,上只能有兩解z和z133

15、66136176,（*）因為在z3上必有sin sin 2,故在0,322上存在Xi,X2滿足f X1f x22:成立;對應(yīng)的X（顯然在20,上）一定是最大值點，因z 5T對應(yīng)的x值有可能在0,上，故結(jié)論錯誤；解（*）得1165，所以成立；當(dāng)x 0,時，z215,由于耳3 15365，故2z3,15，此時2y sin z是增函數(shù)，從而f x上單調(diào)遞增綜上，成立，選 B.12解析：求導(dǎo)得x 1Tx2x 1 t有兩個零點等價于函數(shù)ex2x 1 t有一個不等于 1 的零點，分離參數(shù)得Xt - 2x 1h X，令Xe2x 1h X2X厶ex，h1圖像,2X遞減，在12,遞增, 顯然在1Je取得最小值

16、，作h x22并作y1時直線t的圖象, 注意到1，（原定義域x0，這里為方便討論，考慮） ，ex2x2x只有一個交點即2x 11在x兩側(cè)附近同號,21t有兩個不同零點（其中一個零點等于只有一個零點（該零點值大于 1）；當(dāng)te時函數(shù)3x 1X2e 2x x不是極值點；當(dāng)t-時函數(shù)21），但此時f X-11 -14. 解析：依題意，先選出一個重災(zāi)區(qū)（有1C4種選法），分配有兩個醫(yī)療隊，有2C5種分配法， 另 3 個重災(zāi)-12 -區(qū)各分配一個醫(yī)療隊，有A種分配法，所以不同的分配方案數(shù)共有CdA3240.15解析：設(shè)準(zhǔn)線I與x軸交于E易知F 1,0，由拋物線定義知MN MF，由于NMF 60，所以 N

17、MF為等邊三角形，三角形邊長為NM 2 FE 4，又OD是厶 FEN的中位線，MD就是該等邊三角形的高，MD 2J3.16解析：易證AB CD，又GE/CD,GF/AB,二GE GF，得EF 5當(dāng)四面體繞AB旋轉(zhuǎn)時，由GF/AB即EF繞GF旋轉(zhuǎn)，故EF與直線l所成角的范圍為90 GFE,90,直線EF與直線l夾角的余弦值的取值范圍是04.，5三、解答題：本大題共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.命題意圖：第 1 問考查等差、等比數(shù)列基本量的運算求數(shù)列通項公式； 第 2 問考查利用裂項相消法求數(shù)列前n和.2解：（1）a1aga3,二a1d,S33a 3d 6,a1d 1.所

18、以數(shù)列an是以 1 為首項和公差的等差數(shù)列，故綜上ann,n N12n 1故n的最小值為 505.18.命題意圖：第 1 問考查線線平行與垂直的證明; 第 2 問考查利用線線、線面垂直的判定，求二面角 解：（1）證明：取AC中點為G，連接GE和GF，因為GF/BC，（2）（裂項相消）：由上題可知 bnn4n4n212n 112n 1所以Pn12n 312n 11 12n 1 2n 1所以P2n1120194n 12020n41BC，又因為DE/BC,2-13 -且GF-14 -且DE1BC，故GF /DE，且GF DE,2即四邊形GFDE為平行四邊形，故GE/DF./CE AE , GE AC

19、，又GE/DF，貝U DF AC.(2)v)v 平面BCED平面ABC，平面BCED I平面ABC BC,DB BC,DB平面ABC，又AC平面ABC,DB AC，又DF AC,/BDI DF D,BD, DF平面ABD, AC平面ABD,AC AB，:AB AC 2, BC 2 2,DE、2,取BC中點O連接OE和OA，四邊形BCED為直角梯形，則OE/DB, DB平面ABC,OE平面ABC，故OE BC,OE OA，:AB AC,OA BC,所以可以以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， CE AE、3,OE則D 0八2,1,E0,0,1,A .2,0,0,C0, 2,0

20、,uuurADuuiu,AE-uuu.2,0,1,CA-2, ,2,0,uiu則CA、 、2八2,0為平面ABD的一個法向量,設(shè)平面ADE的一個法向量為nx, y,z，則r uuurn ADr uuiun AE0，即0-2y1,0, &-15 -解：（1）如圖，由題意知F 1,0，因而c即a2b21,又兩曲線在第二象限內(nèi)的交點到F的距離是它到直線x4的距離的一半,224 xQ 2( xQ 1)，得XQ3，則yQQ XQ”Q-，代入到3設(shè)二面角AD，則cos.r uuu cosn,CA-r -utunCA故二面角ADE的正弦值為二0619.命題意圖:1 問考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第 2 問考查直線

21、與圓錐曲線位置關(guān)系r uiun CA61.2(1)(1)-16 -20.命題意圖：第 1 問考查頻率分布直方圖；第 2 問考查概率、分布列、數(shù)學(xué)期望.解:( 1)X在70,100內(nèi)，按組距為 5 可分成 6 個小區(qū)間分別是70,75，75,80，80,85，90,95，95,100，因70 X 100，由5n X-5k - ,n 17,18,19橢圓方程,83b2由9a2a8213b2，解得b2a24，b23，所以所求橢圓的方程為(2)當(dāng)直線AB的斜率存在，且不為 0 時，設(shè)直線AB的方程為y由x2k(x2y1)，得(3 4k2)x28k2x 4k2121設(shè)M(xo, yo),A(xi, yi

22、),B(X2, y2)，則XiX8k4k2,x1X24k2122，3 4k由于OABM為平行四邊形,uuun uuu uuu則OMOA OB，8k2x0故xix2yoyiy2k(xii)k(x.|i) k(xix22)6k3 4k2若點M2X在橢圓C上，則42亙1，代入得16k4(312k214k2)2，解得k無解,若點M在拋物線D上，則D:2y。4xo，代入得36k22 2(3 4k )32k2k 解得k無解-當(dāng)直線斜率不存在時，易知存在點2,0在橢圓C上,故不存在直線I，使點M落在拋物線D上，存在直線I，使點M2,0落在橢圓C.85,90，14,15,16,17,18,19，8n 109每

23、個小區(qū)間對應(yīng)的頻率值分別是P 5Y60,n14,15,161.2(1)(1)-17 -11196060605k1， 解得k ，320 n2-18 -21.命題意圖：第 1 問考查不等式恒成立問題;第 2 問考查不等式放縮求參數(shù)取值范圍2xmx x 1 ln(x 1), x x m In x 11,II3故n的取值是 14, 15, 16, 17, 18, 19,k250（2） （i）由于參賽學(xué)生很多， 可以把頻率視為概率,由（1）知，學(xué)生B的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間70,75,75,80,311191411280,85,85,90,90,95,95,100的概率分別是 ,19,14,，我們用符號Aj606

24、060606060則P WP B1B21B22A22B32A22P B1P B21P B22P A22P B32PA?2211 111 10 1014 110516060 1160 11 1160 711220.11，2 11 12727 111,180P(0)11 -119991 ,11 118P(1)1 -111911 999111P(2)11999的分布列為PE()08019999992099解：（1）令xj i i,j 1,2,3，記W“學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級”，（ii）學(xué)生A最終獲得一等獎的概率是P A21學(xué)生B最終獲得一等獎的概率是P B；B213-19 -x在0,上單調(diào)遞增，且0 m 1,3-20 -若m 1,x在0,上單調(diào)遞增,即m 1滿足條件,t x 0,則g x f x xt x 0,故fx g x不恒成立.綜上所述：實數(shù)a取值范圍是2,.22.命題意圖：第 1 問考查曲線的普通方程化極坐標(biāo)方程和解極坐標(biāo)方程組;第 2 問考查三角函數(shù)的最值問題 .解：(1)曲線C的極方程：2cos,令h xgxxx2，則h(x) (a 1)xx cosxx(a 1 cosx),h(x) x(a1 cosx) 0,則a1 cosx 0,a 1cosx,a 2.若h x0,必有