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1、一、導數(shù)概念()10定義 左導數(shù)右導數(shù) 可以證明:可導連續(xù)。即可導是連續(xù)的充分條件。 連續(xù)是可導的必要條件。20導數(shù)的幾何意義曲線在點處切線: 例1:討論在x=0處可導性解: 在x = 0連續(xù)不存在 在x = 0不可導例2:已知存在則 例3:設(shè)函數(shù)可微, 則例4:P63 例2-5 設(shè) 為使在x = x0 處可導,應(yīng)如何選取常數(shù)a、b解:首先必須在x0連續(xù) (由得)存在 從而例5: = x (x-1)(x-2)(x-9) , 則 例6:設(shè)在x = 0 領(lǐng)域內(nèi)連續(xù), 則 (分母0) 例7:設(shè)函數(shù) f (1+x) = a f ( x ) , 且 (a , b 0), 問 存在否?解: 二、導數(shù)的求法
2、 10 顯函數(shù)導數(shù)求一個顯函數(shù)的導數(shù)需解決: 基本初等函數(shù)導數(shù)(P64); 導數(shù)四則運算法則(P65); 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導法則(P66)。定理:在X有導數(shù),在對應(yīng)點u有導數(shù),則復(fù)合函數(shù)在X處也有導數(shù),。例1:求解: 例2:求解: 例3:求解: 例4:求解: 例5:求解: 例6:求解: 例7:求解: 例8: 求解: 例9:求解: 高階導數(shù)、二階: 例10:, 求解: 先講微分(后頁)20 隱函數(shù)導數(shù)參數(shù)方程導數(shù) 如方程F(x,y)=0確定了y=y(x),只需方程兩邊對x求導,注意y=y(x)例10:求下列隱函數(shù)的導數(shù)(1)設(shè)求解: 方程兩邊對x求導, (2)設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù), 求解:
3、 由原方程知當x=0時, 方程兩邊對x求導。 ,將x=0,代入得:(3) 是由方程所確定的隱函數(shù), 試求,。解: 方程兩邊對x求導: 方程兩邊再對x求導: 由原方程知,當時,代入得再將,代入式,得(4) 設(shè)求解: (5) 設(shè)是由方程組所確定的函數(shù),求:。解: (6) P90習題1330 分段函數(shù)的導數(shù)1) 設(shè)求:解:當 不存在,故 高階導數(shù)(n階)略, 例 2) 設(shè)在()上具有二階連續(xù)導數(shù),且,對函數(shù) (1) 確定的值,使在()上連續(xù)(2) 對(1)中確定的,證明在()上 一階導數(shù)連續(xù)解: 即當 在連續(xù), 也就是在()連續(xù) 而在連續(xù),即在連續(xù)三、 微分 一階微分形式不變 (自變量) 如 (中間變量)例: , , 可導 可微三、中值定理,泰勒公式(放入泰勒級數(shù)中講)1 羅爾定理如滿足:(1)在連續(xù). (2)在可導. (3) 則至少存在一點 使例 設(shè),則 在區(qū)間(-1,0)內(nèi),方程 有2個實根;在(-1,1)內(nèi)有2個根例 設(shè)在0,1可導,且, 證明存在,使。證: 設(shè)在a,b可導, 存在使 即例 設(shè)在0,1可導,且, 證明存在 。解: 設(shè),且 由羅爾定理 存在 使 即, 亦即例 P91 習題29 設(shè)2、 拉格朗日中值定理如滿足:在a,b連續(xù);在(a,
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