曲線積分與曲面積分補充題

1、曲線積分與曲面積分補充題1.設(shè)有表示曲面: ,表示曲面. (1) 求及所圍立體的體積；（2）求被所截部分的表面積； (3) 求被所截部分的側(cè)面積； (4) 若表示被所截的部分曲面,求 ； (5) 若表示被所截的部分曲面,求 ； (6) 若表示被所截曲面的上側(cè)部分,求 ； (7) 若表示曲面的交線在第一卦限部分曲線,從軸正向往下看是逆時針; 設(shè)力,求該力沿曲線從到所做的功.(8) 若其他條件同（7）,力為,此時功為多少? 若點為上任一點，功又為多少？2.(1)設(shè)為連續(xù)函數(shù),且對任意平面閉曲線都有.試證:.(2)設(shè)為連續(xù)函數(shù),且對任意空間閉曲面都有.試證:.(3)設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意封閉曲線,

2、有.試證:.(4)設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意封閉曲面都有.試證:.3.設(shè)為從點到點的有向光滑曲線弧.函數(shù)連續(xù).證明:; ; .4.設(shè)有向光滑曲線弧在面上的投影曲線為,其正向與的正向相應(yīng),且在光滑曲面上,函數(shù)連續(xù).證明:(1) (2) 5. 設(shè)在內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 求:，其中是從點到點的直線段. 答案:-46. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).曲線積分 其中為平面上任一簡單封閉曲線.(1) 求使.（2）計算沿任一條曲線從到的積分. 答案:7. 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),對平面上任意一條分段光滑曲線,積分 與路徑無關(guān).(1) 當(dāng)時,求(2) 設(shè)是從到的分段光滑曲線,求. 答案:8. 設(shè)連續(xù)可導(dǎo),為不含原點的單連通區(qū)域.任

3、取,在內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān). (1) 求; (2) 求,其中為取正向.答案:.9. 設(shè)為連續(xù)函數(shù),為平面上分段光滑閉曲線,證明: .10. 設(shè)曲線的方向為逆時針,證明: 11. 若對平面上任何簡單閉曲線恒有 , 其中在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且,試求: (1) ; (2) . 答案:.12. 設(shè)在圓盤內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且, 則. (是的外單位法向量). 13. 求 其中是繞原點兩周的正向閉曲線. 答案:. 14. 計算.其中是平面 與柱面的交線,從軸正向看是逆時針. 答案:.15. 已知平面區(qū)域,為的邊界,試證: (1). ; (2). . 16. 確定常數(shù), 使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度,并求. 答案:.17. 計算,其中取外側(cè).答案:.18. 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),計算. 其中是所圍立體的外側(cè). 答案: .19. 計算曲面積分. 其中是曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸的正向夾角為銳角. 答案:.20. 求 其中為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面下側(cè). 答案: .21. 設(shè)為橢球面的上半部分,點,為在點的切平面,為點到平面的距離.求. 答案: .22. 設(shè)是圓周的正向邊界曲線.為大于零的連續(xù)函數(shù).證明:.23. 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足,閉曲線C包圍原點