極限練習總結

1、極限一、極限運算的法則若均存在，且分別等于a和b，則：二、無窮小量 1、性質(zhì)： 若，則 均為無窮小量； 若f(x)為無窮大量，則為無窮小量；若f(x)為無窮小量，且f(x)0,則為無窮大量。2、比較（階） ，稱較高階,記為=o(); ,稱較低階；，稱與同階；，稱與等價，記作（求極限時會用到）。3、常用的等價無價小量 當x0時，有 sinxx, tanxx, ln(1+x)x, 1-cosx, ex-1x, 例1：已知當x0時，a(1-cosx)與xsinx是等價無窮小，則a = 2 . 解： 令，解得a=2 (06、7) 例2：已知當x0時，x2ln(1+x2)是sinnx的高階無窮小，而si

2、nnx又是1-cosx的高階無窮小，則n = 3 （07、2） 解：要使 要使 綜上所述，得n = 3.三、兩個重要極限 四、求極限的常用方法 1、極限存在的充要條件： 2、無窮小量與有界函數(shù)之積仍為無窮小量： 3、無窮小量的倒數(shù)為無窮大量，無窮大量的倒數(shù)為無窮小量； 4、用極限的四則運算法則； 5、利用兩個重要極限。五、幾種特殊類型的極限求法 （一）型 1、消去“零”因子法：如 又如 2、有理化：如 3、利用等價無窮小代換：如 （二）型 有理分式函數(shù)的分子、分母同除以分子分母中的最高次冪。如 （三）型 將其化為。如 又如 （四）型 通過通分化為。如 （五）型 利用重要極限例1 求解：原式，一

3、般地：0， m<n =例2 討論的正確性。（錯，數(shù)列，先求前n項的和，再求極限）解：原式例3 求（分子、分母同時有理化）解：原式例4 求的常數(shù)）解：原式例5 求 （cos-cos=-）解：原式例6 求解：原式 例7 求 （先化成部分分式）解：原式例8 求 （變量替換）解：令原式 例9 求 （用等價無窮小代換） 解：當x0時，sinxx 原式 例10 求 （用等價無窮小代換） 解：當x0時，-1 原式例11判斷的正確性。 （錯，加減運算不能用等價無窮小替換） 解：原式例12 求解：法一 原式 （提取公因子，用等價無窮小替換） 法二 原式 （添項后用等價無窮小替換）例13 求解：原式 例14

4、 求 （先通分，化成） 解：原式 例15 求 (n為正整數(shù)，x>0且x0) 解： （利用） 原式 例16 若，求c 解：左 ,由左=右，得： 3x+2, x0 x2+1, 0<x<1例17 設f(x)= ,求解： 例18 若，試求a,b (05、13)分母零因子解：因 所以例19 計算 （06、13）分子分母同時因式分解或有理化解：原式例20 已知解：設，則當x0時，u，代入已知極限得： 即例21 求極限 （08、13）利用兩個重要極限解：原式連續(xù)一、 概念1、在x0處連續(xù)的定義：f(x)在x0鄰域內(nèi)有定義，且；或。 2、間斷點的定義：f(x)在x0鄰域內(nèi)有定義(也可沒有定義

5、)，若x0處不連續(xù)，稱x0為間斷點（一般是使函數(shù)無意義的點）。 3、間斷點的分類：第一類：均存在，但不相等（又稱跳躍間斷點）；（又稱可去間斷點）； 第二類：至少有一個單側極限不存。二、幾個定理 1、最值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，則y=f(x)在a,b上一定有最大值與最小值。（證明不等式） 2、介值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，m與M是其在a,b區(qū)間上的最小值與最大值，且m<u<M,則在a,b上至少存在一點，使f()= u。 3、零點定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使f()= 0。（確定方程的根） 應用此定理需要注意以下

6、幾點： 如何定義。區(qū)間的選擇，在證明題，有明確的線索。 驗證在閉區(qū)間上的連續(xù)性， 驗證在兩端的符號。 此定理不能確定是否具有唯一零點，但有唯一性的要求時，應驗證 在內(nèi)的單調(diào)性（參見導數(shù)應用部分）三、分段函數(shù)在其分段點處的連續(xù)性x+1, x0 1、在分段點處的兩側的表達式不同，要分左右極限來討論；ex , x>0 例1 討論f(x)= 在x=0處的連續(xù)性。 解： 故f(x) 在x=0處的連續(xù)。 2、在分段點處的兩側的表達式相同，不必分左右極限來討論（指數(shù)函數(shù)的某種情況除外）；1, x=0 x=0例2討論f(x)= 在x=0處的連續(xù)性。解：故f(x) 在x=0處間斷。3、在分段點的兩側的表達

7、式雖相同，但需分左右極限來討論；0, x=1 x=0例3 討論f(x)= 在x=1處的連續(xù)性。解：四、求間斷點及判斷類型 （依所給函數(shù)而定，不能化簡） 例4 求的間斷，并判斷其類型。解：間斷點：x=0,x=1,x=-1 在x=0處，故x=0為第一類間斷點，且為可去間斷點。 在x=1處，故x=1為第一類間斷點，且為可去間斷點。 在x=-1處，故x=-1為第二類間斷點。例5 x=0是函數(shù)的（ A ） （05、1）A、可去間斷點 B、跳躍間斷點 C、第二類間斷點 D、連續(xù)點x+2a , x0例6 函數(shù)f(x)= ,若f(x)在x=0處連續(xù)，求a.（05B、8）解： f(0)=0+2a=2a ,故2a

8、=2 ,解得a = 1.例7 若且f(x)在x=x0處有定義，則當A= f(x0) 時f(x)在x0處連續(xù)。 （06、8）解：要使f(x)在x0處連續(xù)，必有，而f(x)在x=x0處有定義，即f(x0)存在，故只要A= f(x0)時，f(x)在x0處就連續(xù)。2 , x=0例8 設函數(shù)f(x)= 在點x=0處連續(xù)，求常數(shù)k.（07、7）解： 所以，k=ln2例9 函數(shù)的第一類間斷點是 x=1 (08、7)例10 函數(shù)f(x)= 在x=0處連續(xù)，則a = 3 .（08、8）例11 證明方程至少有一個實根介于1和3之間。證：令，f(1)=-1.f(3)=27,由零值定理知在(1,3)內(nèi)至少有一點，使f()=0,即方程至少有一個實根介于1和3之間。例12 設f(x)在0,2a上連續(xù)，且f(0)=f(2a)f(a),證明在0,a上至少存在一點,使f()=f(+a). 08、23） 證：令(x）=f(x)-f(x+a),則(x）在0,a上連續(xù)