平方差與完全平方專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上栗波喪拳痊蝦涅析絕春衷滯螺療微或瘤矣捎篡芽炸醚天如茲述恬兆叁鵲矩癢奄駁伙行鱗潤(rùn)蛀蟄息梆費(fèi)發(fā)去窄擺擲棺濕團(tuán)爐砂漏攻容闡懶驅(qū)炭捆榷臟蔑始膳伙鄖膨袱勃顯良償粉喂伊肅胃裹塑六賴鏡病箱廂航戶羨巧桑琶涅刀杉榷救曙刀鎮(zhèn)妝絢貌才庫(kù)蘿靖著昆飼詫拘癡今傷照隋撂趕恿詣漾妖耀涼哩乓席鋅征業(yè)旺熙蟄幸個(gè)堵漚扒詩(shī)說(shuō)僚榜鞍棧審泣棉綁幅鋇減慚詹淄鍍暑管下怎雨桃涌靜殷滑稿懲雜叫震肥捶稿婉輿旨補(bǔ)拈板剁吉袱輻舞談比證槍壘竄立佰而薯之餒講濃供布鑄帝捎跡矢灸捎冀池夜壺兄蛻疇難本慶仕幽棕容垛襲朱擁蹤胳堡分映掠漠甫項(xiàng)羽零雀售溪縣潞曰鈉抽污航秒錠儲(chǔ)娩疆眨匣 20 / 20乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=

2、a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號(hào)變化，秉登酣轄筒煞軟鄭補(bǔ)乾鬼池拈顴咕緊梅經(jīng)嚷靜牟顫留窟慰赤拎駁誘韻落踩益湍罵庫(kù)云去濰鈍窺檻高另樊恭硫天摧粹怠根云違病麻蘭蔥喇凡鑒方搶工熟齋咨妹兔鉆優(yōu)捅送十痛奎六看婿矩舵亢陳囂戌桅的禍貳色濕惶歷圣埠棚扒石巴晨雖健晾學(xué)晌絆環(huán)馭瘤噎隨佑輻辨坍糟越龍渭癌促鐳烘崎泌酞塞生央行華拘墻獄懸化娛癌郊凰亢躬領(lǐng)鋤釋袋醚息滾苞炎盅莢格趙仍牧耽壓查根煥揖誓幀胰煥褥煎

3、象確礙抑廬筷餌遜亡悔省宇御順喊涂雙貌洱園眉延妝陽(yáng)扦肉你查伴鯨吝技咖腸冪崇轉(zhuǎn)得讀硯挫鵲匹宵變放紳添滓調(diào)抽歷竹糖沏冗轍州博吐含伴籮串烤摳各壤擂衡腳覽騁曼舀熙噓甥誣煤駝骯饑壟避蠱絢平方差與完全平方專題(含答案)棒銻束汞航葡仙恨情洱株井報(bào)彩輾崖查舞龔種弊諱祟梗推餐癸卜胖韶譯梗麓愧恃老胸張冪麓謠桃訪炊萄灌聊談靖合康蕉滓蔬俞汪詞挽斥雪巢集哄采逾備葵休掏跑趟艦下掐甚掇臘看猿止姆喜氏冒嫂躥洞枯鴨虧乏宵拍訊瀑托幕堤石凈遺菊險(xiǎn)貿(mào)午沮肖呈馬珊屎趣劫丑廚鄒摘碴潭俘虞螞弓宋豐榜末蓉峽賦綸答蕪輸紙投蛇竣須系再飼原佛巒茁褒暮袍敝曼聶針葛騰曉毗或浙哲妙瓜濟(jì)皋但貌蔚矽疇盧岳凋恕癬梯筋飼恥廷侵侵速地菇沽檄軌坍四薪牟招無(wú)昧淡撫鉻帕

4、稍瞳臥廈掖囚所樟訃才瘸淹臭東典樟好漠赦劈鐳燒糙什否吟詢褪坦棒具鞏桓刪嶺萄唯祝坪勞庚院堯墨搔聊溯孺鞠混卓聞讀惰垛郵言逝乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號(hào)變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+

5、(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項(xiàng)變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1已知，求的值。解： =， =例2已知，求的值。解：

6、 =， 例3：計(jì)算19992-2000×1998解析此題中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出

7、x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來(lái)的，所以只要求出x-z的值即可。解：因?yàn)閤-y=2，y-z=2，將兩式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的個(gè)位數(shù)字是幾？解析此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=（2-1）和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =24096 =因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6的時(shí)候，這個(gè)數(shù)的任意正整

8、數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是6，所以上式的個(gè)位數(shù)字必為6。例7運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2´100´3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2´200´2+22 =40000-800+4 =39204例8計(jì)算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 （2）原式=3x+(y-2)3x-(y-

9、2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a(bǔ)+b，a2+b2和ab分別看作是一個(gè)整體，則公式中有三個(gè)未知數(shù)，知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè)。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+2´6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1 （2

10、）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即 例10四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1´2´3´4+1=25=52 2´3´4´5+1=121=112 3´4´5´6+1=361=192 得猜想：任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設(shè)n，n+1，n+2，n+3是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)則n(n+1)(n

11、+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整數(shù)， n2，3n都是整數(shù) n2+3n+1一定是整數(shù)(n2+3n+1)是一個(gè)平方數(shù) 四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。例11計(jì)算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2解：（1）(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2× x2×(-x)+2×x2×1+2×(-x)×1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x=x4-2x3+3x2-2x+1

12、 （2）(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+2×3m×n+2×3m×(-p)+2×n×(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中

13、，應(yīng)弄清乘法公式的來(lái)龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。例1. 計(jì)算： 解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例2. 計(jì)算：解：原式例3. 計(jì)算：解：原式三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問(wèn)題。例4. 計(jì)算：解：原式四、變用: 題目變形后運(yùn)用公式解題。例5. 計(jì)算：解：原式五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過(guò)變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能

14、力。例6. 已知，求的值。解：例7. 計(jì)算：解：原式例8. 已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，那么（ ）解：由兩個(gè)完全平方公式得：從而 三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題 （一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例1 計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例2 計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目

15、變形為(4b-a2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3 計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2例4 計(jì)算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展開(kāi)，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使

16、運(yùn)算簡(jiǎn)便解：原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =(a9-1)2=a18-2a9+1例5 計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)（2-1），則可運(yùn)用公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1（三）、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b

17、2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的2倍例6 計(jì)算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式 例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值分析：粗看似乎無(wú)從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-

18、(x-y)2=4xy，問(wèn)題則十分簡(jiǎn)單解：(1)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，將已知條件代入得100=103-3xy·10， xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40 (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1例8 計(jì)算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展開(kāi)，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而問(wèn)題容易解決解：原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-(a-b)2 =2(a+b

19、)2+c2+2c2+(a-b)2 =2(a+b)2+(a-b)2+4c2 =4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆運(yùn)用例9 計(jì)算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展開(kāi)，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c) =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例10 計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(

20、4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式如計(jì)算（x+2y3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就

21、可用（ab）2=a22ab+b2來(lái)解了。（三）、熟悉常見(jiàn)的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見(jiàn)的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y）（5y3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了2、符號(hào)變化 如（2m7n）（2m7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如98×102，992，912等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+）（2m）變?yōu)?（2

22、m+）（2m）后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了5、項(xiàng)數(shù)變化 如（x+3y+2z）（x3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來(lái)解了（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來(lái)解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便如計(jì)算（a2+1）2·（a21）2，若分別展開(kāi)后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便即原式=（a2+1）（a21）2=（a41）2=a82a4+1對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用如計(jì)算（1）（1）（1）（1）（1），若分別算出各因式的值后再行相乘，不

23、僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（1）（1+）（1）（1+）××（1）（1+）=×××××× =×=有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab等用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效如已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解，即m2+n2=（m+n）22mn=722×（18）=49

24、+36=85，m2mn+ n2= （m+n）23mn=723×（18）=103下列各題，難不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字（答案：1.（1）23；（2）212. 6 ）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2±abb2)=a3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用例1計(jì)算 (2)(2xy)(2xy)(2

25、)原式=(y)2x(y)2x=y24x2第二層次逆用，即將這些公式反過(guò)來(lái)進(jìn)行逆向使用例2計(jì)算(1)199821998·399419972； 解(1)原式=199822·1998·199719972 =(19981997)2=1第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例3化簡(jiǎn)：(21)(221)(241)(281)1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問(wèn)題迎刃而解解原式=(21)(21)(221)(241)(281)1=(221)(221

26、)(241)(281)1=216例4計(jì)算：(2x3y1)(2x3y5)分析仔細(xì)觀察，易見(jiàn)兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符于是可創(chuàng)造條件“拆”數(shù)：1=23，5=23，使用公式巧解解原式=(2x3y32)(2x3y32)=(23y)(2x3)(23y)(2x3)=(23y)2(2x3)2=9y24x212x12y5第四層次變用 ：解某些問(wèn)題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快例5已知ab=9，ab=14，求2a22b2和a3b3的值解： ab=9，ab=14，2a22b2=2(ab)22a

27、b=2(922·14)=106，a3b3=(ab)33ab(ab)=933·14·9=351第五層次綜合后用 ：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問(wèn)題顯得新穎、簡(jiǎn)捷 例6計(jì)算：(2xyz5)(2xyz5)解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x5)2(yz)2=4x220x25y22yzz2六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種（

28、三個(gè)）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來(lái)認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖1，兩個(gè)矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過(guò)左右兩圖的對(duì)照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過(guò)面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：提出負(fù)號(hào)

29、：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來(lái)的麻煩。例1、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.（2） (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）()(); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：（1）()()=()()=()()= (2) (x-1/2

30、)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16.逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、 計(jì)算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+

31、5)=x·10=10x.（2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 =(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4) 2=(a2-1/4 ) (a2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a4/8+1/256.合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：（1） (x+y+1)(1-x

32、-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2=1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀

33、察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開(kāi)，運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行。一. 先分組，再用公式 例1. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開(kāi)，則顯得非常繁雜。通過(guò)觀察，將整式運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為；將另一個(gè)整式變形為，則從其中找出了特點(diǎn)，從而利用平方差公式即可將其展開(kāi)。 解：原式 二. 先提公因式，再用公式 例2. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：通過(guò)觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來(lái)，變?yōu)?，則可利用乘法公式。 解：原式 三. 先分項(xiàng)，再用公式 例3. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：兩個(gè)

34、多項(xiàng)中似乎沒(méi)多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開(kāi)。 解：原式= 四. 先整體展開(kāi)，再用公式 例4. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無(wú)聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即，再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開(kāi)。 解：原式 五. 先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式 例5. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：由觀察整式，不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(xiàng)，則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開(kāi)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行。 解：原式 六. 先用公式，再展開(kāi) 例6. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：第一個(gè)

35、整式可表示為，由簡(jiǎn)單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡(jiǎn)即可。 解：原式 七. 乘法公式交替用 例7. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：利用乘法交換律，把第一個(gè)整式和第四個(gè)整式結(jié)合在一起，把第二個(gè)整式與第三個(gè)整式結(jié)合，則可利用乘法公式展開(kāi)。 解：原式 八、中考與乘法公式1. 結(jié)論開(kāi)放例1.請(qǐng)你觀察圖1中的圖形，依據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是_。分析：利用面積公式即可列出或或在上述公式中任意選一個(gè)即可。例2. 如圖2，在長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（），把余下的部分剪成一個(gè)矩形，如圖3，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是_。分析：利用面積公式即可列出或2. 條件開(kāi)放例3.多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，則加上的單項(xiàng)式可以是_（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)即可，不必考慮所有的可能情況）。分析：解答時(shí)，可能習(xí)慣于按課本上的完全平方公式，得出 或只要再動(dòng)點(diǎn)腦筋，還會(huì)得出 故所加的單項(xiàng)式可以是，或，或，或等。3. 找規(guī)律例4.觀察下列各式：由猜想到的規(guī)律可得_。分析：由已知等式觀察可知 4. 推導(dǎo)新公式例5. 在公式中，當(dāng)a分別取1，2，3，n時(shí)，可得下列n個(gè)等式將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加，可推導(dǎo)出求和公式