柱體錐體臺體的表面積與體積

1、 柱體、錐體、臺體的表面積與體積教學目標 1.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式（不要求記憶），提高學生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，增加學生學習數(shù)學的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學生的運算能力，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點難點教學重點：了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式及其應(yīng)用.教學難點：表面積和體積計算公式的應(yīng)用.教學過程導(dǎo)入新課思路1.在過去的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、

2、臺體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計算？思路2.被譽為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎？提出問題 在初中，我們已經(jīng)學習了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？ 正方體及其展開圖(1) 長方體及其展開圖(2)

3、圖1棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺的上、下底面半徑分別是r,r，母線長為l，你能計算出它的表面積嗎？圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關(guān)系？活動：學生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.學生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個面的面積的和.讓學生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀.學生思考圓臺的側(cè)面展開圖的形狀.提示學生用動態(tài)的觀點看待這個問題.討論結(jié)果：正方體、長方體是由多個平面圖形圍成的幾何體，

4、它們的表面積就是各個面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個面的面積的和；棱臺的側(cè)面展開圖是由多個梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺的各個面的面積的和.它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形. 我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長

5、為l，那么圓柱的底面面積為r2,側(cè)面面積為2rl.因此，圓柱的表面積S=2r2+2rl=2r(r+l). 圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它的表面積S=r2+rl=r(r+l).點評：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側(cè)面的面積，即S=(r2+r2+rl+rl).圖4圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積的關(guān)系： 圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺，圓錐可看作是上底面退化成一點的圓臺，觀察它們的側(cè)面積

6、，不難發(fā)現(xiàn)：S圓柱表=2r(r+l)S圓臺表=(r1l+r2l+r12+r22)S圓錐表=r(r+l).從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺側(cè)面積公式演變而來.提出問題 回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？ 比較柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)； V錐體=(S為底面積，h為錐體的高)；V臺體=h(S,S分別為上、下底面積，h為臺體的高).你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式？活動：讓學生思考和討論交流長方

7、體、正方體和圓柱的體積公式.讓學生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關(guān)系？討論結(jié)果：棱長為a的正方體的體積V=a3=a2a=Sh；長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=r2h=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.圓錐的體積公式是V=(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V= (S為底面面積，h為高).由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的. 由于圓臺（棱臺）是由圓

8、錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式V=(S+S)h,其中S，S分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體.當S=0時，臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當S=S時，臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式. 柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5

9、：圖5思路1例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6），求它的表面積.圖6活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體SABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過點S作SDBC，交BC于點D.因為BC=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此，四面體SABC的表面積S=4.點評：本題主要考查多面體的表面積的求法.例2 如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂10

10、0個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計算器）圖7活動：學生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.只要求出每個花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積S=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100個這樣的花盆需油漆：0.1100100=1 000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點評：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知

11、底面是正六邊形，邊長為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個?（取3.14）圖8活動：讓學生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=122610-3.14()2102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個數(shù)為5.81 000(7.82.956)252(個).答：這堆螺帽大約有252個.點評：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.思路2例1 （2007山東煙臺高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個空間

12、幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（ ）圖11A.1 B. C. D.活動：讓學生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PAAB，PAAC，ABAC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V=.圖12答案：D點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標高考的熱點，應(yīng)引起重視.例2 圖17所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（取3.14）圖17活動：因為正方體的棱長為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒有被打透.這樣一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.解：正方體的表面積為166=96（cm2），一個圓柱的側(cè)面積為211=6.28（cm2），則打孔后幾何體的表面積為966.286=133.68（cm2）.答：幾何體的表面積為133.68 cm2.點評：本題主