淺談Lebesgue積分與Riemann積分的聯(lián)系與區(qū)別

1、淺談Lebesgue積分與Riemann積分的聯(lián)系與區(qū)別 有人說(shuō)，Lebesgue積分是Riemann積分的推廣。然而對(duì)廣義Riemann積分來(lái)說(shuō)，Riemann積分的可積性并不意味著Lebesgue積分的可積性。那么，他們之間有怎么樣的聯(lián)系和區(qū)別呢，首先，我們先來(lái)回顧一下兩種積分的定義。一、積分定義Riemann積分定義 假設(shè)是區(qū)間上的函數(shù)，若存在某個(gè)常數(shù)A，使得對(duì)區(qū)間的任意分割：及任意只要就有 則稱(chēng)在上Riemann可積。 Lebesgue積分定義 設(shè)是測(cè)度有限的可測(cè)集，是定義在E上的有界可測(cè)函數(shù)，即存在,使若是得任一分點(diǎn)組，則記，對(duì)任意，作和式 ，則稱(chēng)在上是Lebesegue可積的。若是

2、上的可測(cè)函數(shù)，且，如果在上的積分至少有一個(gè)不為，則稱(chēng)在上有積分，并記 若為有限數(shù)，則稱(chēng)在上Lebesgue可積。二、L積分與R積分的聯(lián)系由于在通常意義下的R可積性意味著L可積性，所以我們有定理 如果有界函數(shù)在閉區(qū)間是R可積的，則在也是L可積的，且 ，此處表示在上的L積分，表示在上的R積分。證明： 因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，所以只需證明是上的可測(cè)函數(shù)。由于是R可積的，取的分點(diǎn)組， ，記分別為在的下確界與上確界，由R積分的定義知 。令為如下的函數(shù)列： = 則因，故當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度縮小時(shí)，上確界不增，下確界不減，所以 于是，即 注意到都是有機(jī)可測(cè)的，所以是非負(fù)L可積函數(shù)，從而。 又，這說(shuō)明 ，所以 即，由定理3（曹

3、廣福版<實(shí)變函數(shù)>上76頁(yè)）知 ,進(jìn)一步 。因此在上可測(cè)。證畢。上述定理中，如果是在上廣義R可積，則不一定成立。然而，通過(guò)一些條件變換，我們有定理 若在上廣義R可積，且不變號(hào)，則 L可積，且積分值相等。證明： 就無(wú)界函數(shù)，積分值域?yàn)椋瑑H在無(wú)界，在上非負(fù)來(lái)證明。令 則每個(gè)，都是非負(fù)的有界可測(cè)函數(shù)，容易證明 ，且由Levi定理 = =。證畢三、L積分與R積分的區(qū)別從L積分與R積分的定義來(lái)看，兩種積分的主要區(qū)別是，R積分是將給定函數(shù)的定義域分小而產(chǎn)生的，而L積分則是劃分函數(shù)的值域而產(chǎn)生的。R積分的優(yōu)點(diǎn)是得度量容易給出，但是當(dāng)分發(fā)的細(xì)度充分小時(shí)，函數(shù)在上的振幅仍可能較大。L積分的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)

4、在上的振幅較小，但不再是區(qū)間，而是可測(cè)集。L積分理論是在測(cè)度理論基礎(chǔ)上建立的，而測(cè)度是平面上度量的推廣，故而L積分可以處理有界函數(shù)和無(wú)界函數(shù)的情形，而且把函數(shù)定義在更一般的點(diǎn)集上，而不僅僅局限于上，從而使L積分的積分范圍比R積分更廣泛。而在重積分運(yùn)算時(shí)，R積分理論要求重積分和兩個(gè)累次積分都存在時(shí)才相等，而L積分則只需可測(cè)且有一個(gè)累次積分存在即可，也就是說(shuō)在L積分理論下重積分化累次積分的條件減弱了。另一方面，R積分中的逐項(xiàng)積分問(wèn)題，也就是積分與極限交換問(wèn)題，條件要求非?？量?，被積函數(shù)必須一致收斂，極限才能通過(guò)積分號(hào)，不僅計(jì)算起來(lái)不方便，而且限制過(guò)強(qiáng)，L積分的要求就要比R積分少得多，只要函數(shù)非負(fù)即

5、可。就L控制收斂定理而言，只需存在控制函數(shù)使得 < 即可，因此在積分與極限交換次序這個(gè)問(wèn)題上，L積分要比R積分靈活方便的多。L積分與R積分的區(qū)別，受限于自身的學(xué)力，只能對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行初步探討。三、總結(jié)本文從L積分與R積分的定義，相關(guān)積分計(jì)算，積分范圍，積分與極限交換次序等簡(jiǎn)要敘述了兩種積分的區(qū)別；在普遍意義與廣義R積分兩種情況下用兩個(gè)定理表述了兩種積分的聯(lián)系。L積分的誕生是基于R積分本身出現(xiàn)的問(wèn)題，如在某些求極限問(wèn)題上，涉及到無(wú)界區(qū)間時(shí)等，L積分的出現(xiàn)，使可積函數(shù)的范圍擴(kuò)大，為積分與極限交換次序等問(wèn)題提供了更方便實(shí)用的理論，也為泛函分析的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)，當(dāng)然L積分的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，不過(guò)由于自身的的學(xué)識(shí)，只能較淺顯的對(duì)兩種積分進(jìn)行討論。參考文獻(xiàn)1 曹廣福，實(shí)變函數(shù)與泛函分析（上）（M），高等教育出版社，2011；2 華師大數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（M），高等教育出版社，2001；3