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1、橢圓中的最值 一、的最值問題（為一焦點，為橢圓內(nèi)部一定點，為橢圓上一動點） 例1 已知橢圓內(nèi)有一點，為橢圓的右焦點，為橢圓上一動點，則的最大值為 ，最小值為 。 解析：如圖，設(shè)橢圓的另一左焦點為。由橢圓的定義及基本不等式得=。當(dāng)且僅當(dāng)M、P、共線在MF延長線上時取得等號，即有(max=。 又=4，且僅當(dāng)M、P、共線在的延長線上時取得等號，即有()min x y0 二、的最小值問題（為一焦點，為其內(nèi)部一點，為橢圓上一動點） 例2 已知如圖，點為橢圓上的動點，為右焦點，點為其內(nèi)部一點，坐標為（1，），則的最小值。x 小小 y0解析 作出橢圓的右準線，易求其方程為，過作右準線的垂線，垂足為。易知該橢

2、圓的離心率為，故=，即，所以。當(dāng)、三點共線時等號成立。即（）min=3 三、的最值問題（為橢圓上動點，、為其焦點） 例3 已知、為橢圓的左右焦點，點為橢圓上動點，則的最大值為 ，最小值為 。 解析 設(shè)點，則，由焦半徑公式有，=，所以=。易知當(dāng)時，max,當(dāng)或時，min 四、的最值問題 例4 已知，則的最大值為 ，最小值為 。 解析 不難發(fā)現(xiàn)，的幾何意義是動點到兩定點、的距離之和等于4，故動點的軌跡應(yīng)為以、為焦點，長軸為4的橢圓。所以方程等價于，化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），故（。所以（）max,()min. 五、的最值問題（為橢圓上動點，、為其焦點） 例5 已知橢圓，、為其左右焦點，在橢圓上是否存在一點，使，證明你的結(jié)論。 解析 為敘述簡便起見，不妨設(shè)，則有，且。由余弦定理知，即。又（對任意橢圓而言），由余弦函數(shù)的單調(diào)性知，也即的最大值為，當(dāng)，即時，取到最大值，故符合條件的點不存在。注：依此方法不難驗證，對于任

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