高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一含祥解

1、2007年高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題（一）一、 選擇題：1.設(shè)集合，映射使得對任意的，都有是奇數(shù)，則這樣的映射的個數(shù)是 （ A ）（A）45 （B）27 （C）15 （D）11提示：當(dāng)時，為奇數(shù)，則可取1、3、5，有3種取法；當(dāng)時，為奇數(shù)，則可取1、3、5，有3種取法；當(dāng)時，為奇數(shù)，則可取1、2、3、4、5，有5種取法。由乘法原理知共有個映射。2.設(shè)平面上有四個互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知，則ABC的形狀是 （ A ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等邊三角形提示：.3.設(shè)函數(shù)，它們的圖象在軸上的公共點(diǎn)處有公切線，則當(dāng)時，與的大小關(guān)系是 （ B ）（A）（B）（C）（

2、D）與的大小不確定提示：與的圖象在軸上有公共點(diǎn)，.,由題意,令,則在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減.由,當(dāng)時,即.4.設(shè)AB是橢圓（）的長軸，若把AB100等分，過每個分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、 、P99 ，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則+的值是 （ D ）（A） （B） （C） （D）提示：（方法一）由橢圓的定義知()，由題意知關(guān)于軸成對稱分布，又，故所求的值為.（方法二）+（A,B關(guān)于軸成對稱分布）5.已知正方體ABCDA1B1C1D1，過頂點(diǎn)A1在空間作直線，使直線與直線AC和BC1所成的角都等于600，這樣的直線可以作 （ B ）（A）4條（B）3條（C）2條（D）1條提示：易知異面

3、直線AC與BC1所成的角為600，因此，本題等價于：已知直線與所成的角為600，則過空間一點(diǎn)P且與、所成的角都是600的直線有且僅有多少條？這不難可判斷有3條。6.的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后至少連續(xù)有 （ A ）（A）個零（B）個零（C）個零（D）個零提示：由二項(xiàng)式定理知易證，因此與的小數(shù)部分完全相同。，即的小數(shù)表示中小數(shù)點(diǎn)后面至少接連有個零，因此，的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后至少連續(xù)有個零。二、 填空題：7.已知，則的值是_.【答案】.提示：弦切變換,構(gòu)造齊次式解題. .8.乒乓球比賽采用7局4勝制，若甲、乙兩人實(shí)力相當(dāng)，獲勝的概率各占一半，則打完5局后仍不能結(jié)束比賽的概率等于_.【答案】. 提示：（

4、方法一）打完5局后仍不能結(jié)束比賽的情況是甲、乙兩人中任意某個人任意勝3局，另一個人勝2局，其概率為.（方法二）打完5局后能結(jié)束比賽的情況是：甲、乙兩人中任意某個人任意勝4局或5局全勝，其概率等于，所以，打完5局后仍不能結(jié)束比賽的概率等于.9.不等式的解集為_.【答案】.提示：原不等式等價于設(shè)，則，從而原不等式可化為.10.把半徑為1的4個小球裝入一個大球內(nèi)，則此大球的半徑的最小值為_.【答案】.提示：4個小球在大球內(nèi)兩兩相切，4個小球的球心連線構(gòu)成1個正四面體，正四面體的中心與大球的球心重合，大球的半徑等于正四面體的外接球半徑加上小球的半徑，所以大球半徑為.(其中,表示正四面體的高,表示正四面

5、體的棱長.)11.設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_.【答案】. 提示：令，則，且，其中12.關(guān)于的三次函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為P、Q，其中P為原點(diǎn)，Q在曲線上，則曲線的切線斜率的最大值的最小值為_.【答案】. 提示：設(shè)，依題意知：，故，由及點(diǎn)Q在其上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. 由Q為的一個極值點(diǎn)得，顯然，存在最大值，數(shù)形結(jié)合可求得，其最小值為.三、 解答題：13.已知橢圓（），過橢圓中心O作互相垂直的兩條弦AC、BD，設(shè)點(diǎn)A、B的離心角分別為和，求的取值范圍。解：當(dāng)AC、BD與坐標(biāo)軸重合時，；當(dāng)AC、BD與坐標(biāo)軸不重合時，令，則，.由題意知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)，即BD的傾斜角為或時，上式取等號。.14.若、，且滿足，求的最大值。解:由均值不等式得,等號成立當(dāng)且僅當(dāng),故的最大值為100 .15.某電器商經(jīng)過多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個月售出的電冰箱的臺數(shù)是一個隨機(jī)變量，它的分布列如下：12312P設(shè)每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元。如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保養(yǎng)費(fèi)100元。問電器商每月初購進(jìn)多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？解：設(shè)為電器商每月初購進(jìn)的冰箱